精品解析：湖北武汉市青山区2025-2026学年高一下学期调研考试数学试卷

高一数学试卷 2026.6. 满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5 2. 函数是（ ） A. 周期为的奇函数 B. 周期为的奇函数 C. 周期为的偶函数 D. 周期为的偶函数 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 在四边形中，，，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 6. 一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东，距离为海里，灯塔C在A的北偏东，距离为海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西方向，则此时渔船距离灯塔C为（ ）海里 A. B. C. D. 12 7. 的边在平面内，在平面外，和分别在与平面成30和45的角，且平面与平面成60的二面角，那么的值为（ ） A. 1 B. C. D. 1或 8. 平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 9. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. 的面积最大值为 D. 若二面角的大小为，则 10. 已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最小值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 12. 已知平面向量，，且，则__________. 13. 《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 14. 已知，若在内的解为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 15. 已知，，，为坐标原点． （1）若，求的值； （2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 16. 已知函数. （1）求的对称轴和在上的值域； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 17. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 18. 在中，三内角、、的对边分别为、、，满足． （1）求角的大小； （2）若，，的平分线交于，求线段的长； （3）当，时，设表示成的形式，求的最值． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 2026.6. 满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由， 所以的虚部为． 2. 函数是（ ） A. 周期为的奇函数 B. 周期为的奇函数 C. 周期为的偶函数 D. 周期为的偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦型函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】因为， 而，所以，即为偶函数， 周期，所以是周期为的偶函数，故C正确. 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 4. 在四边形中，，，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 则 . 5. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再利用几何体体积公式计算即可. 【详解】由题意，， 所以 ， 如图，原四边形 中，， 则以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台， 故其体积为. 6. 一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东，距离为海里，灯塔C在A的北偏东，距离为海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西方向，则此时渔船距离灯塔C为（ ）海里 A. B. C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】正弦定理和余弦定理综合应用. 【详解】 灯塔 在A的南偏东 ，渔船到 后， 在 的南偏西 ， 所以，，因此 ， 在 中，由正弦定理 因为 ，，，所以 灯塔 在北偏东 ，渔船沿正东航行，因此 ， 在 中，已知 ，，， 由余弦定理 因此 海里. 7. 的边在平面内，在平面外，和分别在与平面成30和45的角，且平面与平面成60的二面角，那么的值为（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】从向平面作垂线，作，证得，分为锐角和钝角，由线面角及二面角结合勾股定理及余弦定理求解即可. 【详解】从向平面作垂线，连接，作，连接，，则，平面，则平面，又平面，则，如图所示： 设，是二面角的平面角，，由勾股定理， 当为锐角，在内， ， 即,; 当为钝角，在之外，， 根据余弦定理， ，，综上：的值为1或. 故选：D． 8. 平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面与球相交截面是一个圆，首先确定外接球球心及半径，再求球心到平面距离，最后根据勾股定理求截面半径． 【详解】 如图，设中点为，，， ，，即， ，则，． 又平面，平面，， 则，，即， 三棱锥中，，均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， 对于三棱锥，高为，底面积， 故， ， ，，解得， 截面半径，面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 9. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. 的面积最大值为 D. 若二面角的大小为，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积计算即可；利用三角形面积计算三角形面积、结合二面角的知识计算线段长； 【详解】依题意，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项正确； C选项，，所以， 在中，，，， 当点在底面圆周上运动时，的最大值为底面圆的直径，最小值为， 在中，由余弦定理：， 当的最大值为底面圆的直径时， ，即， 当最小时，最小，此时最大，的范围是 因为在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值，此时， 因此的面积最大值为，C选项错误； D选项，设是的中点，连接，， 因为二面角的大小为，则， 因为，所以， 故，D选项错误； 10. 已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，，且，应用复数的乘除法、共轭复数的定义及模的概念依次判断A、B，应用共轭复数的运算及特殊值法判断C、D. 【详解】设，，且，则，， 所以， ，即，A对； ， ， 所以，B对； 由，且，则，故，C对； 若，满足，此时不满足，D错. 11. 在中，已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最小值为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由条件可得，再由正弦定理及同角三角函数关系式可判断A；由两角差的正切公式可得B；对CD由平面向量的数量积坐标运算可得. 【详解】如图： 以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系： 设，，则 ，，， . ， 由，所以， 即，解得. A，由正弦定理，且，得. 因为， 所以， 因此，，得. 由同角三角函数关系得，故A错误； B，再由，故B正确； C，由得，则， 对平方得： ， ， 当且仅当时等号成立，因此C正确； D，若​，则​， 得坐标：， 因此 ，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 12. 已知平面向量，，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，将平方，求解即可. 【详解】因为， 所以， 又，则， 所以， 所以， 所以， 13. 《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积. 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 14. 已知，若在内的解为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，作出函数的图象，得到，代入可得，由题意知，根据范围求出即可求出答案. 【详解】由题意知，的最小正周期， 令，则， 即图象的对称轴为， 如图，作出在上的图象， 因为，所以，即， 所以， 由题意知，且， 所以， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 15. 已知，，，为坐标原点． （1）若，求的值； （2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行坐标关系得方程，可求得的值； （2）利用模长条件得，化简求​，结合象限得，再代入投影向量公式计算． 【小问1详解】 因为，，， 所以， ， 又，所以，则，即． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以，即，． 又是第二象限角，所以， 因为，，所以， 所以． 16. 已知函数. （1）求的对称轴和在上的值域； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】（1）对称轴； （2） ． 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变形化简可得，再利用整体法求对称轴及值域； （2）先由三角函数平移变换得到，再整体代入求单调区间即可． 【小问1详解】 由题意得 ， 令，，则 ， 所以对称轴为 ， 因为，所以，所以， 则的对称轴为 ，在上的值域； 【小问2详解】 向右平移个单位长度得到， 再向上平移1个单位长度得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到， 令， 解得， 所以的单调递增区间为 ． 17. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以 . 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证平面平面，从而证得平面； （2）由（1）知异面直线与所成角为，求出各边长，根据余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值； （3）先求得正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 18. 在中，三内角、、的对边分别为、、，满足． （1）求角的大小； （2）若，，的平分线交于，求线段的长； （3）当，时，设表示成的形式，求的最值． 【答案】（1） （2） （3）；无最大值． 【解析】 【分析】（1）依题意，利用三角恒等变换可得，进而可得； （2）利用等面积法结合条件计算即可； （3）由（1）知，解直角三角形可得，，利用换元法及辅助角公式可将函数变形，再次换元结合单调性可得结果. 【小问1详解】 依题意得， 则， 可得，即 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即． 【小问2详解】 由（1）知，，而的平分线交于，得， 因为，即， 所以，所以． 故线段的长为． 【小问3详解】 由（1）知，在中，，则，所以，， 故，． 令，由得，且，则． 令，则，则， 显然在上单调递增， 则在上单调递减， 所以当时，即，即时，取最小值，； 函数无无最大值． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给的定义，表示，再相加，即可求解； （2）首先根据题设中垂直关系结合点C处的离散曲率求得、，构造线面角，再设，表示出，再利用余弦定理求，再由余弦值，转化为正切值，得到关于的等式求解即可得答案. 【小问1详解】 根据离散曲率的定义得， ， 又因为 所以． 【小问2详解】 ∵平面平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面 ∵平面，∴， ∵，即 ∴，∴， 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，， ， ， 设，则， 在中， ， 又，所以， 则， 所以， 解得：或（舍） 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $