精品解析：江苏省扬州市高邮市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025～2026学年度第二学期期末学业质量监测试题八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 检测一批灯泡的使用寿命 B. 了解某品牌冰淇淋的质量情况 C. 调查某班学生的身高情况 D. 调查某条河流水质污染情况 2. 在正常条件下，“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 无法确定 3. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　） A. 55° B. 40° C. 35° D. 20° 6. 若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形，、分别为、上一点，且，连接、．若菱形的面积为10，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 8. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 若式子有意义，则的取值范围是______． 10. 因式分解：______． 11. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查头盔的数量 合格头盔的数量 合格头盔的频率 估计抽查一个头盔，是合格头盔的概率为___________（结果保留小数点后两位） 12. 如图，为了测量池塘边、两地之间的距离，在线段的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得、分别是、的中点，若，则、两地之间的距离为________m． 13. 已知最简二次根式与可以合并，则x的值为_________． 14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 15. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 16. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 17. 如图，正方形，直线经过的中点，分别交、于点、，将线段绕点顺时针旋转到处，连接，．若，，则的面积为________． 18. 如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再代入求值：，其中． 22. 为响应国家政策要求，保证学生睡眠时长，某校从八年级随机抽取部分学生，统计其某天睡眠时长（单位：小时），得到以下两幅图表： 睡眠时长情况统计表 等级 睡眠时长 频数 频率 严重不足 2 不充足 14 0.35 基本充足 充足 8 0.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）计算：________，________； （2）扇形统计图中的________； （3）根据睡眠不足的原因调查，请你对家庭教育和学校管理两个方面提出合理建议． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 24. 如图，在等腰梯形中，，，平分，延长到点，连接，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 25. 2017年，“复兴号”动车组投入运营，这是由我国自主研发，具有完全知识产权，达到世界先进水平的动车组列车．某条铁路干线上的甲、乙两地相距约，已知“复兴号”动车组列车速度约为普通动车组列车的1.5倍，从甲地到乙地“复兴号”动车组列车比普通动车组列车少用，求普通动车组列车和“复兴号”动车组列车的速度． 26. 用无刻度直尺和圆规作图（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明），已知，点为内一点． （1）如图1，点在上，求作菱形，使点在上； （2）如图2，分别在、上求作点、，在内求作点，使四边形为平行四边形，且对角线、交于点． 27. 定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． （1）分式与互为“__________阶分式”； （2）设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； （3）分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 28. 已知线段，点为线段上一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，且， （1）如图1，若，则的度数为__________； （2）如图2，若，求的面积； （3）如图3，在点的运动过程中． ①直线与的位置关系是否发生变化，请说明理由； ②、分别为对角线，的中点，连接，的最小值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末学业质量监测试题八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 检测一批灯泡的使用寿命 B. 了解某品牌冰淇淋的质量情况 C. 调查某班学生的身高情况 D. 调查某条河流水质污染情况 【答案】C 【解析】 【分析】需根据普查的适用条件判断各选项，当调查范围小、无破坏性、易全面统计时适合采用普查，反之适合抽样调查． 【详解】解：∵普查适用于范围较小，无破坏性，易于统计的调查场景， A选项、检测灯泡使用寿命，检测过程具有破坏性，不适合普查； B选项、了解某品牌冰淇淋质量，调查总体数量大，且检测具有破坏性，不适合普查； C选项、调查某班学生身高，范围小，易逐个测量统计，适合采用普查； D选项、调查河流的水质污染情况，调查范围大，无法全面检测，适合抽样调查． 2. 在正常条件下，“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，据此可得答案． 【详解】解： “种瓜得瓜，种豆得豆”一定会发生，符合必然事件的定义． 3. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式， 因式分解要求结果必须是几个整式的积的形式． 【详解】解：A选项等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； B选项的变形是整式乘法，是将整式的积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； C选项等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D选项将多项式化为两个整式和的积，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 故选：D． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据二次根式的加减乘除运算法则，逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A，与不是同类二次根式，无法合并，，A计算错误． 选项B，根据二次根式乘法法则，可得，B计算正确． 选项C，计算得，C计算错误． 选项D，化简得，D计算错误． 5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　） A. 55° B. 40° C. 35° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=55°，由直角三角形的性质求出∠ODE=20°，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠AOD=110°， ∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE=90°-∠DOE=20°， ∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 7. 如图，菱形，、分别为、上一点，且，连接、．若菱形的面积为10，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】因为菱形四边相等，所以，结合可推出．可设菱形高，利用三角形面积与菱形面积的关系，分别将和的面积用菱形的底、高表示．因为两个三角形面积的和可通过转化，与菱形面积建立比例关系，所以代入菱形面积数值即可求解． 【详解】解：菱形中，， 设菱形以为底的高为， 则菱形面积， ∵， ∴．  ∵以为底，高等于菱形边上的高，；  以为底，高等于菱形边上的高，； ∴两面积相加：  ． 8. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件得到求解即可确定答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：式子有意义， ，解得， 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 11. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查头盔的数量 合格头盔的数量 合格头盔的频率 估计抽查一个头盔，是合格头盔的概率为___________（结果保留小数点后两位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近．观察表格中合格头盔的频率，随着抽查数量增加，频率在附近波动，因此估计概率为． 【详解】解：从表格数据可知，当抽查数量较大（如，，）时，合格头盔的频率分别为，，，这些值均在附近稳定， 故估计抽查一个头盔是合格头盔的概率为． 故答案为：． 12. 如图，为了测量池塘边、两地之间的距离，在线段的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得、分别是、的中点，若，则、两地之间的距离为________m． 【答案】16 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 13. 已知最简二次根式与可以合并，则x的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则解题即可； 【详解】解：∵知最简二次根式与可以合并， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算法则，掌握相关知识是解题的关键． 14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 15. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 16. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 17. 如图，正方形，直线经过的中点，分别交、于点、，将线段绕点顺时针旋转到处，连接，．若，，则的面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】证明，从而求出，，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，则四边形、是矩形，得出，，由旋转性质可知：，，证明，得出，，即可求出，最后根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， ∴， ∴四边形、是矩形， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 18. 如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线与轴交于点，先求出，，继而可得，则，设，表示出，，再将点代入反比例函数表达式解方程即可． 【详解】解：设直线与轴交于点 对于一次函数，当时，； 当时，，解得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵与轴垂直， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴ 整理得， 解得或（舍） ∴． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法公式去括号，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）无解 【解析】 【分析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开整理得：， 化简得， 解得， 检验：当时，分母，原分式无意义， ∴是分式方程的增根， 因此原分式方程无解． 21. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 为响应国家政策要求，保证学生睡眠时长，某校从八年级随机抽取部分学生，统计其某天睡眠时长（单位：小时），得到以下两幅图表： 睡眠时长情况统计表 等级 睡眠时长 频数 频率 严重不足 2 不充足 14 0.35 基本充足 充足 8 0.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）计算：________，________； （2）扇形统计图中的________； （3）根据睡眠不足的原因调查，请你对家庭教育和学校管理两个方面提出合理建议． 【答案】（1）；16 （2）45 （3）合理建议：家庭教育方面：1、控制孩子使用电子产品的时间，睡前避免接触手机、平板等设备；2、营造安静、舒适的睡眠环境，督促孩子养成规律的作息习惯； 学校管理方面：1、合理控制作业量，减轻学生学业负担，避免占用过多休息时间；2、开展睡眠健康主题教育，引导学生认识充足睡眠的重要性． 【解析】 【分析】（1）先由这一组的频数除以频率求解调查的总数，再由总数减去已知三组的频数即可求解，由这一组的频数除以总数即可求解频率； （2）先求出生活环境的占比，再由乘以占比即可求解； （3）通过扇形统计图分析即可． 【小问1详解】 解：调查人数为， ， ． 【小问2详解】 解：生活环境的占比为：， ， ． 【小问3详解】 略 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 24. 如图，在等腰梯形中，，，平分，延长到点，连接，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）通过平行线以及角平分线证明，再由三角形的外角性质证明，即可得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）过点作于点，求出，然后根据含角直角三角形的性质求出，，然后由勾股定理求解，而，再由梯形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴四边形的面积． 25. 2017年，“复兴号”动车组投入运营，这是由我国自主研发，具有完全知识产权，达到世界先进水平的动车组列车．某条铁路干线上的甲、乙两地相距约，已知“复兴号”动车组列车速度约为普通动车组列车的1.5倍，从甲地到乙地“复兴号”动车组列车比普通动车组列车少用，求普通动车组列车和“复兴号”动车组列车的速度． 【答案】普通动车组列车速度为，“复兴号”动车组列车速度为 【解析】 【分析】设普通动车组列车速度为，则“复兴号”动车组列车速度为，根据从甲地到乙地“复兴号”动车组列车比普通动车组列车少用建立分式方程求解． 【详解】解：设普通动车组列车速度为，则“复兴号”动车组列车速度为 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， “复兴号”动车组列车速度为 答：普通动车组列车速度为，“复兴号”动车组列车速度为． 26. 用无刻度直尺和圆规作图（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明），已知，点为内一点． （1）如图1，点在上，求作菱形，使点在上； （2）如图2，分别在、上求作点、，在内求作点，使四边形为平行四边形，且对角线、交于点． 【答案】（1）如图菱形即为所求， （2） 如图，平行四边形即为所求， 【解析】 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，连接，再分别以为圆心，为半径画弧交于点，连接，则，故四边形为菱形； （2）连接并延长，截取，过点作和的平行线，分别交和于点，连接，则，故四边形为平行四边形； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． （1）分式与互为“__________阶分式”； （2）设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； （3）分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 【答案】（1） （2）证明：∵，互为倒数， ∴， ∴， ， ∴分式与互为“阶分式”． （3） 或 【解析】 【分析】（1）将两个分式求和，根据结果判断即可； （2）由倒数的意义可得，再与求和即可； （3）根据题意可得分式方程，求解得，结合整数的性质可得或，排除其中无意义的根即可． 【小问1详解】 解：， ∴分式与互为“阶分式”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵分式与互为“阶分式”， ∴， 解得， ∵、都是整数， ∴是的因数，即或， 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 综上所述，或． 28. 已知线段，点为线段上一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，且， （1）如图1，若，则的度数为__________； （2）如图2，若，求的面积； （3）如图3，在点的运动过程中． ①直线与的位置关系是否发生变化，请说明理由； ②、分别为对角线，的中点，连接，的最小值为__________． 【答案】（1） （2） （3）①不变，垂直，理由如下， 如图，连接，， 由（2）可得 由∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∴直线与的位置关系不发生变化； ② 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，结合已知可得是等边三角形，计算得出，进而可得，即可求解； （2）证明，可得，勾股定理求得高，再根据三角形的面积公式，即可求解； （3）①由（2）可得，结合菱形的性质，即可得出结论； ②连接，证明，根据勾股定理表示出，进而根据配方法求得最值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵线段，，四边形、是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 由∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， 同（1）可得是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴; 【小问3详解】 ①略 ②如图，连接 ∵分别为对角线，的中点，则分别过点， ∴分别平分，， ∴ ∴， 同（1）可得是等边三角形， 设，则，， ， ∴时，有最小值，最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $