精品解析：江苏省扬州市高邮市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024～2025学年度第二学期期末学业质量监测试题 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 2. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 调查开州区初中生的视力情况 B. 调查五一期间全国观众最喜爱的电影 C. 调查一批灯泡的使用寿命 D. 调查神舟十七号载人飞船各零部件的情况 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A. 白球 B. 黑球 C. 红球 D. 黄球 5. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 6. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 7. 下列命题：①若，则；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④在反比例函数中，若函数值时，则自变量．其中真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 使有意义的x的取值范围是_____． 10. 一个样本的40个数据分别落在4个组内，第1、2、3组数据的频数分别是2、6、20，则第4组数据的频率为__________． 11. 如图，在平行四边形中，，，则的度数为________． 12. 若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是_______． 13. 如图，点在反比例函数（）的图象上，轴，若的面积为，则的值为________． 14. 如图，中，，，分别是的中位线和中线，，则_____． 15. 已知关于的方程有两个实数根，的取值范围是________． 16. 已知关于x方程的解是负数，则m的取值范围为______． 17. 已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为_________． 18. 如图，矩形中，，，点M是的中点，点P在直线上运动，连接，点O是的中点，连接，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2） 21. 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试．将成绩分为五组：，，，，，绘制成如下不完整的统计图： （1）本次抽查的学生人数为________名，成绩所对应的圆心角为________； （2）补全频数分布直方图； （3）若七年级有名学生，成绩不低于分为优秀，请估计该校七年级学生优秀的人数． 22. 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副，则羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？ 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值． 24. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集为________； （3）若在y轴上找一点P，使最大，则点P的坐标为________． 25. 如图，已知矩形． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图，在边上找一点E，边上找一点F，使得四边形为菱形（保留作图痕迹）； （2）若，，求菱形面积． 26. 已知是的对角线，M、N分别是的中点，，，垂足分别为E、F． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，若，，若四边形是矩形时，则的长为________． 27. 阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． （1）若，则________，________； （2）解分式方程组； （3）若，，，求值． 28. 已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． （1）如图1，当点M落在边上时，求线段的长； （2）如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期末学业质量监测试题 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 调查开州区初中生的视力情况 B. 调查五一期间全国观众最喜爱的电影 C. 调查一批灯泡的使用寿命 D. 调查神舟十七号载人飞船各零部件的情况 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全面调查与抽样调查，正确把握相关定义是解题关键．直接利用利用全面调查与抽样调查的意义进而分析得出答案． 【详解】解：A、调查开州区初中生的视力情况，适合抽样调查，故该选项不符合题意； B、调查五一期间全国观众最喜爱的电影，适合抽样调查，故该选项不符合题意； C、调查一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故该选项不符合题意； D、调查神舟十七号载人飞船各零部件的情况，适合全面调查，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项中的式子不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，故本选项中的式子不是最简二次根式； D、，故本选项中的式子不是最简二次根式； 故选：B. 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，熟知概念是关键. 4. 一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A. 白球 B. 黑球 C. 红球 D. 黄球 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 5. 若点在反比例函数图象上，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，即． 将代入代数式，得：． 故选：D 6. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 7. 下列命题：①若，则；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④在反比例函数中，若函数值时，则自变量．其中真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，涉及到的知识点有：平方根，菱形的判定，平行四边形的判定，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 逐一分析各命题的真假：①平方相等的数可能互为相反数；②对角线垂直平分的四边形是菱形；③两组对角相等的四边形是平行四边形；④反比例函数中时的范围需考虑负数情况． 【详解】解：命题①：若，则，不一定，例如，时成立但，故①为假命题； 命题②：菱形的判定条件之一是“对角线互相垂直平分”，符合题意，故②为真命题； 命题③：平行四边形的判定中，若两组对角分别相等，则四边形为平行四边形，故③为真命题； 命题④：解，根据图象得或，但命题仅指出，忽略的情况，故④为假命题； 综上，真命题为②和③，共2个． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 使有意义的x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 一个样本的40个数据分别落在4个组内，第1、2、3组数据的频数分别是2、6、20，则第4组数据的频率为__________． 【答案】0.3 【解析】 【分析】求出第4组数据的频数，即可确定出其频率． 【详解】解：第4组数据的频数为：， 则第4组数据的频率为：， 故答案为：0.3． 【点睛】本题主要考查了频率与频数，弄清频率与频数之间的关系是解本题的关键． 11. 如图，在平行四边形中，，，则的度数为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解决此题的关键．首先根据平行四边形对角相等，可知，再由平行四边形对边平行和等腰三角形的性质，推出，则的度数可求． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： 12. 若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．设方程的另一个根为，得到，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，点在反比例函数（）的图象上，轴，若的面积为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据图形面积求比例系数（解析式），解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 设点，由图象可得，，结合轴可推得，点在反比例函数图象上，则． 【详解】解：设点，其中，， 轴， ， ， 点在反比例函数（）的图象上， ． 故答案为：． 14. 如图，中，，，分别是的中位线和中线，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出的长，再根据 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，计算即可． 【详解】解：在中，， 是的中位线，， ． 是的中线， ． 故答案为：4． 15. 已知关于的方程有两个实数根，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握根的判别式． 结合根的判别式即可得解． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， ． 故答案为：． 16. 已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为______． 【答案】m>－6且m≠－2 【解析】 【分析】先根据原方程解得方程的解，再根据分式方程的解是负数，以及分母不为0，即可求解． 【详解】解：原方程， 解得． 因为，即， 因为解是负数，即， 所以， 所以m的取值范围是且． 故答案为：且 【点睛】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解是负数，容易求出其中字母系数的取值范围，但需要特别注意的是要把在这个范围内使分式的分母为零的字母系数的值排除，这也是大部分学生的出错点． 17. 已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，得，再结合关于x的方程的一个根为，得出关于的方程的一个根为，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵关于x的方程的一个根为， ∴关于的方程的一个根为， ∴， 即关于x的方程的一个根为， 故答案为： 18. 如图，矩形中，，，点M是的中点，点P在直线上运动，连接，点O是的中点，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，则点O在直线上移动，即当时，有最小值，连接，过点H作于K，再证明四边形是平行四边形，结合四边形是矩形，得，，运用勾股定理得，则，因为点H是的中点，则，算出，即可作答． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接，并延长交于N， ∵点O是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点P在直线上运动，且点O是的中点， ∴点O在直线上运动， ∴当时，有最小值， 如图，连接，过点H作于K， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，点M是的中点， ∴，， ∴， 则， ∵点H是的中点， ∴， 则， ∴， 即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴则的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，难度较大，综合性较强，确定点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求一个数的绝对值、二次根式的混合运算、分式加减乘除混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算． （1）综合运用求一个数的绝对值、利用二次根式的性质化简、实数的混合运算进行计算即可； （2）结合完全平方公式分解因式、分式加减乘除混合运算法则即可得解． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）或5 【解析】 【分析】本题考查解分式方程和解一元二次方程，掌握相关的解题方法是解题的关键 （1）先去分母转化为整式方程，解整式方程，检验后得到分式方程的解； （2）先把方程左边分解因式，再用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， 去分母，得， 解得：， 经检验，是原方程的解 小问2详解】 ， ， 即或， 解得，，． 21. 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试．将成绩分为五组：，，，，，绘制成如下不完整的统计图： （1）本次抽查的学生人数为________名，成绩所对应的圆心角为________； （2）补全频数分布直方图； （3）若七年级有名学生，成绩不低于分为优秀，请估计该校七年级学生优秀的人数． 【答案】（1）；； （2）图见解析； （3）估计该校七年级学生优秀的人数为人． 【解析】 【分析】（1）结合频数分布直方图和扇形统计图中成绩为所对的频数和比例即可求出本次抽查的学生人数，再由频数分布直方图中成绩的频数为，即可求出所对应的圆心角度数； （2）结合题意求出成绩为的学生人数，再补全频数分布直方图即可； （3）先找出样本中符合条件的数量，即可利用样本估计总体． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可知成绩为的频数为， 由扇形统计图可知成绩为所占比例为， 本次抽查学生人数为名； 频数分布直方图中成绩的频数为， 成绩所对应的圆心角为． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：本次抽查的学生人数为名， 成绩为的学生人数为， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：抽取的学生中成绩不低于分有人 ， 则该校七年级学生优秀的人数为人． 【点睛】本题考查的知识点是频数分布直方图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图圆心角、补全频数分布直方图、用样本的频数估计总体的频数，解题关键是能够从频数分布直方图和扇形统计图中获取正确信息． 22. 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副，则羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？ 【答案】羽毛球单价为80元，乒乓球单价为50元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元，根据“花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副”列方程求解即可． 【详解】解：设乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， 元， 答：羽毛球单价为80元，乒乓球单价为50元． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】（1）证明△≥0即可； （2）求出方程的解，根据△ABC是等腰三角形分类讨论即可． 【小问1详解】 证明：∵Δ＝(k＋1)2−4(2k−2) ＝k2＋2k＋1−8k＋8 ＝k2−6k＋9 ＝(k−3)2≥0， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：原方程分解因式得：(x−2)[x−(k−1)]＝0， ∴x1＝2，x2＝k−1， 当等腰三角形的腰是2时，2＋2＜6，不合题意， ∴等腰三角形的腰是6， ∴k−1＝6， ∴k＝7． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是对原方程进行因式分解，求出方程的根． 24. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集为________； （3）若在y轴上找一点P，使最大，则点P的坐标为________． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把点代入反比例函数，可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再利用待定系数法可求出一次函数的解析式； （2）直接观察图象，即可求解； （3）求出一次函数的图象与y轴的交点，即可． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数得： ， ∴反比例函数的解析式为； 把点代入得：， 解得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式； 【小问2详解】 解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或； 故答案为：或 【小问3详解】 解：如图，设一次函数的图象与y轴交于点P，此时最大， 当时，， ∴点P的坐标为． 25. 如图，已知矩形． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图，在边上找一点E，边上找一点F，使得四边形为菱形（保留作图痕迹）； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见详解 （2）20 【解析】 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接即可． （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得．设，则，在 中，由勾股定理得，，代入求出的值可得的长，再根据菱形的面积为可得答案． 【小问1详解】 解：如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则四边形即为所求． 证明：根据作图可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在矩形中，平行， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ， ∵四边形为矩形， ， 设，则， 在 中，由勾股定理得，， 即， 解得， ， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、菱形的判定与性质、矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26. 已知是的对角线，M、N分别是的中点，，，垂足分别为E、F． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，若，，若四边形是矩形时，则的长为________． 【答案】（1）证明见详解 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，进而得到，再根据直角三角形斜边上的中线推出，得到，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，证明，得到，连接，推出四边形是平行四边形，得到，根据矩形的性质，得到，利用和勾股定理，求出的长，进而求出长，利用进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∵， ， ∵分别是的中点， ， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 连接，如图 2 ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当四边形是矩形时，， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理．本题的综合性较强，熟练掌握并灵活运用相关知识点，是解题的关键． 27. 阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． （1）若，则________，________； （2）解分式方程组； （3）若，，，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干中所给的倒数法即可求解； （2）先结合倒数法得出新的方程组，再结合二元一次方程组的加减消元法即可求解，注意最后需进行检验； （3）结合倒数法求出，，，三式相加再除以可推出，则根据倒数法即可得解． 【小问1详解】 解：， ， 即， ， ， 则， 即， ， ． 故答案为：，． 【小问2详解】 解： 由得，， 由得，, 得，， 得，， 得，， ， ， ， ， 将代入得，， 解得， 经检验是分式方程组的解， 该分式方程组的解为． 【小问3详解】 解：， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查知识点是完全平方公式、分式的通分和约分、解二元一次方程组，解题关键是理解题意并能学以致用． 28. 已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． （1）如图1，当点M落在边上时，求线段的长； （2）如图2，当绕着点C顺时针旋转到位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】（1）7 （2）①，理由见解析；②；③ 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $