精品解析：江苏宿迁市钟吾初级中学2025-2026学年度初二年级第二学期期末测试数学试卷

2025-2026学年度初二年级第二学期期末测试 数学试卷 试卷满分：150分考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项：找不到一点，使图形绕这一点旋转后能够与原来的图形重合，故选项不是中心对称图形； 选项：找不到一点，使图形绕这一点旋转后能够与原来的图形重合，故选项不是中心对称图形； 选项：找不到一点，使图形绕这一点旋转后能够与原来的图形重合，故选项不是中心对称图形； 选项：能找到一点（正六边形的中心），使图形绕这一点旋转后能够与原来的图形重合，故选项是中心对称图形． 2. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 对乘坐飞机的旅客进行安检 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某市居民垃圾分类的情况 D. 调查市场上冷冻食品的质量情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，进行判定即可． 【详解】解：A、调查对乘坐飞机的旅客进行安检，应用全面调查，故此选项符合题意； B、调查某批次的汽车抗撞击能力，因为抗撞击能力检测属于有损检测，故应用抽样调查，故此选项不符合题意； C、调查某市居民垃圾分类的情况，人数众多，应用抽样调查，故此选项不符合题意； D、调查市场上冷冻食品的质量情况，应用抽样调查，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式的化简与运算，涉及分式约分、符号处理、算术平方根性质及二次根式运算．根据分式约分、算术平方根性质及二次根式运算法则逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，故A正确． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C错误． 选项D：，故D错误． 故选：A． 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：∵ A选项中，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，任意四边形有一组邻边相等不能判定是菱形，∴ A错误； ∵ B选项中，对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，∴ B错误； ∵ C选项中，两组对角分别相等的四边形才是平行四边形，两组邻角相等不能判定是平行四边形，∴ C错误； ∵ D选项中，矩形本身对角线互相平分且相等，四个角都是直角，若对角线再互相垂直，符合正方形的判定定理， ∴ 对角线互相垂直的矩形是正方形，D正确． 6. 如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、加上，无法构成完全平方式，符合题意； 故选D． 7. 某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 8. 已知，如图，在中，，，，以为边在异侧作正方形，过点E作，垂足为F，交于G，连接，则的周长等于（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点H，则四边形为矩形，通过证明，推出，，进而得出，，再证明，得出，最后根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：过点A作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长． 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸相应位置上） 9. 若分式有意义，则的满足的条件为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 10. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式3后再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 答案为：． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则将已知算式通分，再转化为所求分式的值． 【详解】∵， ∴， ∴． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，求出红球的个数，再计算出黄球的个数即可． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴摸出红球的概率为， ∴袋子中红球的个数为（个）， ∴ 袋子中黄球的个数为（个）， 故答案是：15． 14. 若与互为相反数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由相反数的定义可得，再结合非负数的性质得出，，求出，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 15. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用矩形的对角线相等且互相平分得出及，结合已知得出，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：连接，设与交于点． 四边形是矩形， ，， ． ， ， ． 是的外角， ， ． 16. 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根，所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 故答案为：2． 17. 小宇利用尺规在内作出点E，又在边上作出点F，作图痕迹如图所示，若，则之间的距离为___． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图，角平分线的性质定理： 过点E作于点M，交的延长线于点N，则由平行四边形得到，而，故． 【详解】解：过点E作于点M，交的延长线于点N． 由作图可知，平分，平分，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴之间的距离为4． 故答案为：4． 18. 如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，作，垂足为，交于，则，，证明和均为等边三角形，推出，可得，当时最小，即的长度，然后利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，作，垂足为，交于， 由旋转得，，， ∴，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴当点，，M，E四点共线时最小，即的长度， ∵点E为边上任意一点， ∴当时，即点E和点H重合时，取得最小值，即的长度， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解决下列问题： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 20. 解方程：． 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 21. 先化简：，再从中选合适的数代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵且， 且， ∴， 当时，原式 22. 为了进一步丰富学生的课外阅读，学校欲增购一些课外书，为此抽取学校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是_______； （2）将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，最喜欢“科普”类书籍所占的圆心角度数为______°； （4）如果全校共有学生1600人，请估计该校最喜欢“体育”类书籍的学生人数． 【答案】（1）200 （2）见解析 （3） （4）240人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，正确计算样本容量是解题的关键． （1）根据样本容量频数所占百分数，计算解答． （2）利用频数之和等于样本容量，根据计算补图即可． （3）利用圆心角计算公式计算即可． （4）利用总人数乘以最喜欢“体育”类书籍的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：∵（人）， 故答案为：200． 【小问2详解】 解：根据题意，科普类的人数，得（人）， 补图如下： 【小问3详解】 解：根据题意，得． 故答案为：90． 【小问4详解】 解：根据题意，得（人）， 答：全校喜欢“科普”的学生有240人． 23. 某文创店推出A，B两款主题纪念钥匙扣．已知款钥匙扣的单价是款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买款钥匙扣的数量，比用120元购买款钥匙扣的数量少3个．求这两款钥匙扣的单价． 【答案】款钥匙扣单价为15元，款钥匙扣单价为12元 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设B款钥匙扣单价是x元，则A款钥匙扣的单价是元，根据用105元购买A款钥匙扣的数量，比用120元购买B款钥匙扣的数量少3个，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设款钥匙扣的单价为元，则款钥匙扣的单价为元． 根据题意列方程：， 解得：， 经检验是原方程的解． 款钥匙扣单价：（元）． 答：款钥匙扣单价为15元，款钥匙扣单价为12元． 24. 口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． 如果事件A是必然事件，则　　；如果事件A是随机事件，则　　； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值． 【答案】（1）3，1或2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，利用概率求数量． （1）根据必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件进行求解即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如果事件A是必然事件，则袋子里全是红球， ∴； 如果事件A是随机事件，则袋子里还剩余白球， ∴或2； 故答案为：3，1或2； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：． 25. 如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 矩形的面积． 26. 【问题提出】是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示的小数部分呢？ 【问题解决】因为，即， 所以的整数部分是1， 所以用来表示的小数部分． 【类比应用】 （1）的整数部分是______；小数部分是______； （2）如果的小数部分为的整数部分为，则______； 【拓展应用】 （3）已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1）2， （2）7 （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分的理解与应用，以及代数式的化简分母有理化的运用． （1）找到最接近7的平方数，确定的范围即可知道整数部分和小数部分； （2）分别确定的小数部分和的整数部分，然后代入式子即可； （3）先确定的范围，再同时加4即可得出的整数部分和小数部分，代入代数式，最后进行化简即可． 【详解】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是， 故答案为：2，； （2）∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是， ∵，即， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：7； （3）∵， ∴， ∴的整数分是6，小数部分， ∵，其中x是整数且， ∴，， ∴． 27. 先阅读下面的内容，再解答问题． 【阅读】例题：求多项式的最小值． 解： ， ，． 多项式的最小值为4． 【解答问题】 （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； （2）已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围； （3）求多项式的最大值． 【答案】（1） （2） （3）30 【解析】 【分析】（1）根据例题中的公式求解即可； （2）首先利用完全平方公式将变形为，然后利用平方的非负性得到，，进而求解即可； （3）首先利用完全平方公式将变形为，然后利用平方的非负性得到，，进而求解即可． 【小问1详解】 根据题意可得， 例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式； 【小问2详解】 ， ， ， ∵、、是的三边， ，即； 【小问3详解】 ，， 的最大值是30． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 28. 在矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为（），得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G． （1）如图1，当点E恰好落在边上时，求的长； （2）如图2，当点C，E，F在一条直线上时，设与相交于点H，求的长； （3）如图3，设点P为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）根据即可证明，推出，推出，设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （3）连接，作于当AM与AB共线，且时，面积最大，利用求出，再根据计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1中， 四边形是矩形， ，，， 矩形是由矩形旋转得到， ， 在中，， ． 【小问2详解】 解：如图2中，连接， 由旋转的性质可得，， 点E落在线段上， ， 在和中， ， ， ， ，设，则， 在中，， ， ， ． 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 如图3中，连接，作于， 当与共线，且时，面积最大， 由题意：， ，， ， ， ， 则， 的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初二年级第二学期期末测试 数学试卷 试卷满分：150分考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 对乘坐飞机的旅客进行安检 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某市居民垃圾分类的情况 D. 调查市场上冷冻食品的质量情况 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 6. 如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（ ） A. B. C. D. 7. 某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，如图，在中，，，，以为边在异侧作正方形，过点E作，垂足为F，交于G，连接，则的周长等于（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸相应位置上） 9. 若分式有意义，则的满足的条件为______． 10. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 11. 分解因式：______． 12. 若，则______． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个． 14. 若与互为相反数，则的值为______． 15. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则______． 16. 若关于x的分式方程有增根，则________． 17. 小宇利用尺规在内作出点E，又在边上作出点F，作图痕迹如图所示，若，则之间的距离为___． 18. 如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解决下列问题： （1）； （2） 20. 解方程：． 21. 先化简：，再从中选合适的数代入求值． 22. 为了进一步丰富学生的课外阅读，学校欲增购一些课外书，为此抽取学校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是_______； （2）将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，最喜欢“科普”类书籍所占的圆心角度数为______°； （4）如果全校共有学生1600人，请估计该校最喜欢“体育”类书籍的学生人数． 23. 某文创店推出A，B两款主题纪念钥匙扣．已知款钥匙扣的单价是款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买款钥匙扣的数量，比用120元购买款钥匙扣的数量少3个．求这两款钥匙扣的单价． 24. 口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． 如果事件A是必然事件，则　　；如果事件A是随机事件，则　　； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值． 25. 如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 26. 【问题提出】是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示的小数部分呢？ 【问题解决】因为，即， 所以的整数部分是1， 所以用来表示的小数部分． 【类比应用】 （1）的整数部分是______；小数部分是______； （2）如果的小数部分为的整数部分为，则______； 【拓展应用】 （3）已知，其中是整数，且，求的值． 27. 先阅读下面的内容，再解答问题． 【阅读】例题：求多项式的最小值． 解： ， ，． 多项式的最小值为4． 【解答问题】 （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； （2）已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围； （3）求多项式的最大值． 28. 在矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为（），得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G． （1）如图1，当点E恰好落在边上时，求的长； （2）如图2，当点C，E，F在一条直线上时，设与相交于点H，求的长； （3）如图3，设点P为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $