第六章 计数原理 期末复习卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本卷为高二数学人教A版选择性必修第三册第六章计数原理单元复习卷，涵盖二项式定理、排列组合等核心知识，结合“五一”旅游选景点、杨辉三角等情境，适配期末复习，培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|二项式展开（题1）、排列组合（题2）、涂色问题（题4）|基础巩固与能力提升结合，如星期几问题（题7）考查模运算推理| |填空题|3题/15分|方程求解（题12）、系数计算（题13）、实际情境应用（题14）|联系生活实际，如景点选择问题（题14）体现模型意识| |解答题|5题/77分|球盒问题（题16）、杨辉三角探究（题19）|综合性强，如杨辉三角求和与存在性问题（题19）培养创新意识与逻辑推理|

2025-2026年高二数学人教A版选择性必修第三册期末复习 第六章 计数原理 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·浙江金华·期末）的展开式中，第3项为常数项，且该常数项为60，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，先根据第三项为常数项求出展开式的次数，再结合常数项的值为求解正数. 【详解】对于，其展开式通项， 第3项对应，即，由第3项是常数项，得，解得. 已知常数项为，代入得，即，解得， 又，所以. 2．（25-26高二下·安徽安庆·期中）甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（    ） A．360种 B．480种 C．540种 D．720种 【答案】C 【分析】先将6个人分成3组，每组至少一人，求出总的分法数，再将这3组人，分配到3个活动项目中去，即可得答案. 【详解】将6个人分成3组，每组至少一人： 当三组人数为4，1，1时，有种分法； 当三组人数为3，2，1时，有种分法； 当三组人数为2，2，2时，有种分法； 所以一共有， 将这三组人数分别分配到3个活动项目中去， 所以共有种分配方式. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（     ）种 A．48 B．288 C．312 D．336 【答案】B 【分析】方法一，根据分步计数原理，分一男两女、两男一女两种情况分别计算出选派方案数后，再根据分类加法计数原理求和即可；方法二，用总选派方案数减去全男、全女不符合要求的方案数即可. 【详解】方法一：直接法． 男女教师都有的情况分为两种： 第一种，选派1名男教师，2名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 第二种，选派2名男教师，1名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 根据分类加法计数原理，总选派方案数共有种； 方法二：间接法. 从8名教师中任选3名教师分配到3个班的总选派方案数为种， 其中全是男教师或全是女教师的情况不符合要求， 两类不符合的选派方案数均为种， 故符合要求的选派方案数为种. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（     ）种． A．1440 B．120 C．72 D．1560 【答案】D 【分析】分别用种颜色，种颜色和3种颜色，根据相邻的区域不能涂同一种颜色求解. 【详解】如图所示： 当选择种颜色时，从种颜色中选种共有种方法， 将选出的种颜色分配给个区域有种方法，总方法数为种， 当选择种颜色时，从种颜色中选种共有种方法， 从（A，D）或（B，C）中选择一组涂同一颜色，有种选择， 比如选择（A，D）组，将选出的4种颜色分配有种方法，总方法数为种， 当选择种颜色时，从种颜色中选种共有种方法， 则（A，D），（B，C）各涂同一颜色，有种选择， 将选出的种颜色分配有种方法，总方法数为种， 则所有的方法数为种. 5．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知，则的值为（   ） A．220 B．450 C．455 D．715 【答案】D 【分析】先根据等式两边的常数10确定，再根据二项式系数的性质，即可求得. 【详解】由题可知，等式左边每一个二项式展开之后常数项均为1，等式右边常数项为10， 则左边展开共有10个1，则由可得， 因为为的系数，所以结合等式左边，可得， 则. 6．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）的展开式中的系数为（     ） A． B． C．48 D．288 【答案】B 【详解】的展开式通项为：， 要得到的展开式中的系数，分两类讨论： ①取1乘的项：令，解得，对应系数为， ②取乘的项：令，解得，对应系数为， 将两类系数求和，得的总系数为. 7．（25-26高二下·全国·期末）如果今天是星期五，那么天后是星期几？（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六 【答案】B 【分析】利用二项式定理求除以7的余数，再结合星期的周期规律，从星期五往后数对应天数即可求得. 【详解】因为一周是7天，所以只需计算除以7 的余数. 因为 ，（） 因为除最后一项，其余项都是7的倍数，所以除以7的余数等于除以7 的余数， 又因为， 而 ，（） 除最后一项1，其余项都是7的倍数，都能被7 整除，所以除以7 的余数是1， 因此除以7的余数为，今天是星期五，往后数4天就是星期二. 8．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（    ） A．20 B．70 C．84 D．864 【答案】B 【分析】先得到，对变形后，由展开式通项公式进行求解 【详解】的展开式中只有第3项的二项式系数最大， 故展开式共5项，所以， 变形为， 展开式为， 令得，所以常数项为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·全国·期末）现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有42种 C．若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有72种 【答案】BC 【分析】根据分类、分步计数原理，结合各选项的限制条件逐一计算判断选项. 【详解】选项A中，每个同学都可从3项工作中任选1项，每人有3种选择， 4名同学总安排方法为种，不是，故A错误， 选项B中，恰有一项工作无人参加，先从3项工作中选1项无人参加， 有种选法，再将4人分配到剩余2项工作，排除4人都去同一项的2种情况， 共种分配方法，总方法数为种，故B正确， 选项C中，甲乙不能参加A工作且每项工作都有人，分两类： ①A工作仅1人参加，从丙丁中选1人去A，有种， 剩余3人分配到B、C且两项都有人，共种， 此类共种，②A工作有2人参加，即丙丁都去A， 剩余甲乙分别去B、C，有种，总方法数为种，故C正确， 选项D中，每项工作都有人，需先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法， 再将三组分配到3项工作，有种，总方法数为种，故D错误. 10．（25-26高二下·吉林通化·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】的展开式中含的项为， 所以，故A错误； 令，可得，令可得， 两式相加可得，故B正确； 令可得，所以，故C错误； 等式两边对求导可得：， 令，得，故D正确. 11．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列说法正确的是（   ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 【答案】AB 【详解】， 所以，A正确； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，B正确； ，C错误； 第行数字的最大值为，第行数字的最大值为， 则，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·新疆喀什·期中）方程的解是______. 【答案】或 【详解】由及组合数的定义，得，解得， 由组合数的性质得或，解得或， 所以或. 13．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中，的系数为________． 【答案】9 【分析】利用通项公式求解. 【详解】 的通项公式为 ，, 第一部分 产生 ， 令 不是整数，此部分无项，系数为 0； 第二部分产生， ，令,解得 ，此部分系数为 ， 所以系数为0+9=9. 14．（25-26高二下·北京·期中）在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为______. 【答案】 【分析】先根据每个景点都有人选，确定分组情况，再结合甲没有选景点，分情况讨论不同的选法种数，将各种情况种数相加即为所有不同选法种数. 【详解】解：由四名学生选三个景点，且每个景点都有人，则必有一个景点有2人，另外两个景点各1人， 情况1，甲单独去一个景点，由甲没有选景点，则甲选景点或，共有种， 由于甲单独在一个景点，因此需将剩下人分配到剩下两个景点， 则有一个景点有2人，另一个景点1人，有种， 所以根据分步计数原理，这种情况选法种数共有种； 情况2，甲和另外一个人一起去景点或，共有种， 剩下2人选剩下的2个景点，共有种， 所以根据分步计数原理，这种情况选法种数共有种， 因此，每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·宁夏·期中）（1）解方程：． （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用组合数公式化简可得出关于x的方程，再结合且解方程即可； （2）利用排列数公式可得出关于x的不等式，再结合且可得出x的取值集合. 【详解】（1）由题可知且，则 ， 整理得，解得或（舍去），故． （2）由可得， 由题意可知且，整理可得，即， 解得，又因为且，所以． 16．（25-26高二下·湖北武汉·期中） 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内， (1)恰有一个盒子不放球，有多少种放法 (2)每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，有多少种不同的放法 (3)将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定不放球的盒子，将个球分成组， 将分好的组球放入剩下的个盒子，根据分步乘法计数原理求解； （2）从个球中选个与盒子编号相同，对剩下的个球进行讨论，根据分步乘法计数原理求解； （3）确定空盒，将个相同的球放入剩下的个盒子，且每个盒子至少放个球，根据分步乘法计数原理求解. 【详解】（1）从个盒子中选个不放球，有种选法， 把个球分成组，可先从个球中选个为一组，其余个各为一组，有种分法， 将分好的组球全排列，放入剩下的个盒子，有种放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种； （2）从个球中选个，使其编号与盒子编号相同，有种选法， 剩下个球的编号与盒子编号均不相同， 先放其中一个小球，有2种不同的放入方法，再放剩下两个小球只有一种方法， 所以个球的编号与盒子编号均不相同有种不同的放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种； （3）从个盒子中选个为空盒，有种选法。 将个相同的球放入剩下的个不同的盒子，要求每个盒子至少有个球，根据隔板法，有种放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种. 17．（25-26高二下·江苏镇江·期末）在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为. (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)，常数项为 (2) 【分析】(1)推导二项展开式的通项公式，根据第4项与第5项的系数比值建立方程求解，令的指数为0确定常数项位置，代入通项计算得到常数项. (2)设第项为系数最大项，依据该项系数不小于相邻两项系数列不等式组，求解得到的整数值，代入通项得到系数最大的项. 【详解】（1）二项展开式的通项为，其中. 第4项对应，系数为；第5项对应，系数为. 由题意得，化简得，即，解得. 令，解得，故常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大，对应系数为，则需满足， 即， 化简第一个不等式得，解得； 化简第二个不等式得，解得. 由且，得，对应系数最大的项为. 18．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）解答以下问题： (1)已知（），求． (2)已知对任意给定的实数，都有．求：； (3)本不同的书，分给甲、乙、丙个同学，每个同学至少得本，则共有多少种不同的分法？ 【答案】(1) 或 (2) (3) 【分析】（1）利用组合数相等的性质列方程求解，验证组合数下标取值合理性； （2）用赋值法求二项展开式的系数和； （3）先按要求分组（平均分组需去重）再分配给人计算总方法数. 【详解】（1）根据组合数性质，由可得： 要么，解得； 要么，即，解得， 验证得、均满足组合数上下标取值要求，故的值为或， （2）令，代入等式得，即； 再令，代入得，即， 两式作差得. （3）先将本不同的书分成组，每组至少本，分两类： ①分组为：分组数为； ②分组为：分组数为， 再将分好的组分配给名同学，有种分配方法， 总方法数为种. 19．（25-26高二下·全国·课后作业）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【分析】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【详解】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高二数学人教A版选择性必修第三册期末复习 第六章 计数原理 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·浙江金华·期末）的展开式中，第3项为常数项，且该常数项为60，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二下·安徽安庆·期中）甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（    ） A．360种 B．480种 C．540种 D．720种 3．（25-26高三·全国·一轮复习）从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（     ）种 A．48 B．288 C．312 D．336 4．（25-26高三·全国·一轮复习）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（     ）种． A．1440 B．120 C．72 D．1560 5．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知，则的值为（   ） A．220 B．450 C．455 D．715 6．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）的展开式中的系数为（     ） A． B． C．48 D．288 7．（25-26高二下·全国·期末）如果今天是星期五，那么天后是星期几？（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六 8．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（    ） A．20 B．70 C．84 D．864 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·全国·期末）现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有42种 C．若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有72种 10．（25-26高二下·吉林通化·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列说法正确的是（   ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·新疆喀什·期中）方程的解是______. 13．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中，的系数为________． 14．（25-26高二下·北京·期中）在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·宁夏·期中）（1）解方程：． （2）解不等式：． 16．（25-26高二下·湖北武汉·期中） 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内， (1)恰有一个盒子不放球，有多少种放法 (2)每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，有多少种不同的放法 (3)将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种 17．（25-26高二下·江苏镇江·期末）在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为. (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 18．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）解答以下问题： (1)已知（），求． (2)已知对任意给定的实数，都有．求：； (3)本不同的书，分给甲、乙、丙个同学，每个同学至少得本，则共有多少种不同的分法？ 19．（25-26高二下·全国·课后作业）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $