6.3 二项式定理 专项检测卷(基础)-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3 二项式定理 专项检测卷（基础版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 1、 单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．的展开式共12项，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．的展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第109项 B．第110项 C．第111项 D．第112项 5．的展开式的二项式系数和为（   ） A．1 B． C． D． 6．在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 7．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若的展开式中的系数为，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2、 多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．展开式中共有9项 B．第3项为 C．各项系数的和为256 D．二项式系数的最大值为70 10．设，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（ ） A． B． C． D． 3、 填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。） 12．在的展开式中，二项式系数的最大值为，含的系数为，则________． 13．的展开式中，各项系数中的最大值为____________． 14．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即________． 4、 解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知. (1)求展开式第3项的二项式系数； (2)求的值； (3)求的值； 16．已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等. (1)求n的值与展开式中各项的系数和； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 17．在的展开式中，第4项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 18．已知. (1)求的值； (2)求的值． 19．已知的展开式中，各项的系数之和为729. (1)求的值； (2)求展开式中第三项的二项式系数和第三项； (3)求展开式的常数项． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 二项式定理 专项检测卷（基础版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 1、 单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．的展开式共12项，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】因为的展开式有项， 由，可得． 故选：C. 2．的展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是． 故选：C. 3．的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 4．在的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第109项 B．第110项 C．第111项 D．第112项 【答案】C 【详解】在的展开式中，系数最大的项是，是第111项. 故选：C. 5．的展开式的二项式系数和为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式的二项式系数和为. 故选：C 6．在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 【答案】B 【详解】根据题意可得， 所以n＝2＋12＝14． 故选：B 7．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 令，得到，所以. 8．若的展开式中的系数为，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为，的展开式的通项公式为 所以，的展开式中的系数为， 解得， 故选：B. 2、 多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．展开式中共有9项 B．第3项为 C．各项系数的和为256 D．二项式系数的最大值为70 【答案】ABD 【详解】对于A，二项式的展开式中共有项，故A正确； 对于B，第3项为，故B正确； 对于C，令，得各项系数的和为，故C错误； 对于D，二项式系数的最大值为，故D正确. 10．设，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由二项式定理，得的展开式通项为， 对于AB，由，得，即，解得，A正确，B错误； 对于C，在中，令，得，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 11．已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】的展开式中二项式系数最大值为， 的展开式通项公式为， 令得，， 故展开式中的系数为，故，解得. 故选：AB 3、 填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。） 12．在的展开式中，二项式系数的最大值为，含的系数为，则________． 【答案】35 【详解】由二项式定理得的通项为， 由二项式性质得第4项的二项式系数最大，则， 令，解得，则，可得. 故答案为：35 13．的展开式中，各项系数中的最大值为____________． 【答案】/ 【详解】在的展开式中， 第一项的系数为：； 第二项的系数为：； 第三项的系数为：； 第四项的系数为：； 第五项的系数为：； 第六项的系数为：. 所以第五项的系数最大，为. 故答案为： 14．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即________． 【答案】 【详解】由二项式的展开式 ，， 令，可得； 令，可得， 可得. 故答案为：. 4、 解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知. (1)求展开式第3项的二项式系数； (2)求的值； (3)求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由二项式展开式的通项公式为， 所以展开式的第3项的二项式系数为. （2）由， 令，可得； 令，可得， 所以 （3）由， 令，可得， 令，可得， 两式相减可得，所以. 16．已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等. (1)求n的值与展开式中各项的系数和； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)6,1； (2). 【详解】（1）由题知，，由组合数性质可知，； 令得展开式中各项的系数和为 （2）因为，所以展开式共有7项， 由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大， 所以. 17．在的展开式中，第4项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 【答案】(1)， (2)16 【详解】（1）因为的通项为， 由题知时，，解得，所以常数项为． （2）由（1）知，令，得到， 则展开式中所有项的系数之和为16． 18．已知. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 则展开式的通项为（且）， 所以展开式中不含的奇数次幂的项， 又， 所以， 所以； （2）因为， 令，得； 令，得； 又，则， 所以． 19．已知的展开式中，各项的系数之和为729. (1)求的值； (2)求展开式中第三项的二项式系数和第三项； (3)求展开式的常数项． 【答案】(1)； (2)第三项的二项式系数为，第三项为； (3). 【详解】（1）由题设，令有，可得； （2）由（1）得，则展开式通项为，， 所以，第三项的二项式系数为，第三项为； （3）由（2），令，即，故常数项为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $