2.2 函数基本性质（15大题型）（讲义+精练）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学讲义聚焦函数单调性、奇偶性、最值等高考核心考点，按基础知识点梳理、方法总结、真题回顾、题型归纳的逻辑架构组织内容，通过考点精讲、方法提炼、真题训练等环节帮助学生构建知识网络，突破抽象函数、分段函数等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于将方法总结（如单调性“同增异减”、奇偶性结论）与15类经典题型深度结合，通过“题型-方法-真题”联动训练培养学生数学思维与逻辑推理能力，设置分层练习与拓展精练，确保高效突破考点，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

2.2 函数基本性质 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点1、函数的单调性 3 知识点2、函数的最值 3 知识点3、函数的奇偶性 4 方法总结1：单调性常见方法及结论 4 方法总结2：奇偶性常用结论 5 方法总结3：常用奇偶函数模型 5 方法总结4：中值模型 6 方法总结5：不动点与稳定点 6 方法总结6：悬链线——双曲正弦、余弦、正切函数 6 03 真题回顾 8 04 经典题型归纳总结 27 题型1：函数单调性的判定 27 题型2：函数单调区间的求解 29 题型3：单调性应用与不等式求解 32 题型4：单调性约束下的参数范围求解 35 题型5：抽象函数的单调性分析 38 题型6：分段函数的单调性应用 40 题型7：函数单调性的唯一性分析 42 题型8：函数奇偶性的判定 44 题型9：奇偶性约束下的参数求解 47 题型10：利用奇偶性确定函数解析式 49 题型11：中值模型的应用 51 题型12：奇偶性的图象分析 54 题型13：奇偶性与单调性综合运用 58 题型14：不动点与稳定点问题 62 题型15：悬链线与双曲三角函数 67 05 课后拓展精练 71 知识点1、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 知识点2、函数的最值 1、最大值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最大值，记作； 2、最小值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最小值，记作． 知识点3、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 方法总结1：单调性常见方法及结论 1、 单调性定义的变式：设，且， ①在是增函数恒成立 ②在是减函数恒成立 2、判断函数单调性 设，具有单调性，常数，常数，则 ①，，与有相同的单调性 ②，与有相反的单调性 ③若，都是区间上的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． ④设，都是区间上的恒正的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． ⑤增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数， 增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数； 3、复合函数单调性 讨论复合函数 的单调性时要注意: ①若 在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则 为增函数; ②若 在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则 为减函数. 列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 方法总结2：奇偶性常用结论 ①奇偶函数四则运算与复合 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ②奇函数的定义域若包括0，则必有. ③为偶函数 ④若，且的定义域关于原点对称，则既是奇函数也是偶函数. ⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. ⑥的定义域关于原点对称，为偶函数，为奇函数，为偶函数. ⑦奇函数：；偶函数： ⑧若是偶函数，则奇次项系数为0. 若是奇函数，则偶次项系数为0. 方法总结3：常用奇偶函数模型 (1)奇函数模型 ①函数或函数. ②函数． ③函数或函数 ④函数或． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． (2)偶函数模型 ①函数； ②函数； ③函数类型的一切函数． 方法总结4：中值模型 基本模型：，其中为奇函数，为常数 （1） （2） 方法总结5：不动点与稳定点 不动点对于函数，我们把方程的解称为函数的不动点，即与图像交点的横坐标． 稳定点对于函数，我们把方程的解称为函数的稳定点，即与图像交点的横坐标．很显然，若为函数的不动点，则必为函数的稳定点． 方法总结6：悬链线——双曲正弦、余弦、正切函数 双曲正弦：，①奇函数；②上单调递增． 双曲余弦：，①偶函数；②． 双曲正切：，①奇函数；②上单调递增． 1．（2026年高考全国2卷数学高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 2．（2026年高考天津卷数学高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 3．（2026年高考北京卷数学高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 4．（2025年高考天津卷数学真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 6．（2025年高考全国一卷数学真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 7．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 9．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 10．（2026年高考上海卷数学高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【解析】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 11．（2025年高考天津卷数学真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 12．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））若函数是奇函数，则实数______. 【答案】0 【解析】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 13．（2023年北京高考数学真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③ 【解析】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下， 因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 14．（2026年高考全国1卷数学高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 【解析】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. （2）由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. （3）（i）（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. （ii）略 15．（2026年高考上海卷数学高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 【解析】（1）由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. （2）若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. （3）首先证明第1个结论， 观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立， 那么排列都将是排列，此时至少为4． 当时，即， 因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数， 则恒成立， 又因为函数在上单调递增， 则在区间上，，. 若恒成立，则， 则只需，即，因为对任意的，， 则，则，则解得， 当时，即， 因为严格递减，所以且， ， 只要，就有， 则可取即可满足题意． 即存在，使得. 再证明第2个结论. 假设对于任意的，都有， 因为（2）中①排列始终满足条件， 则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列． 首先，我们证明不可能恒成立： 假设对于某个，在上恒有． 即， 即， 取．由于严格递增， 令， 则， 于是对任意正整数： ， 当时，，这与矛盾！ 因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列． 接下来只剩②排列，其需满足， ⑤排列，其需满足， ⑥排列，其需满足， 下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真． （i）若对任意，都有，即都有， 对于任意和， 则， 当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到， 所以恒成立， 则对所有的恒成立. 则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立， 则，与假设矛盾！ （ii）并非对于所有都有，即， 则必定存在，使得， 设， 因为是严格单调递增的连续函数， 则对于已知的，总可以找到，使得， 即，即， 同时，因为严格递增且，必有． 即， 即，即， 则可取充分小的使得，即存在，使得， 所以＂恒成立＂这个命题是假的． 既然为假，那么＂恒成立＂必须为真． 即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足， 则对于，在时都有： ， 即， 取，则对于任意： ， 因为严格递增，则． 则 又因为， 则 即，对任意都成立． 取，因为，则， 则对于内的任意，都满足， 因为，故有， 但是，之前我们得到， 即，则， 则有：， 这与我们的假设相矛盾． 综上，原命题成立，必然存在，使得． 16．（2026年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷（回忆版））设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【解析】（1）函数不具有“性质”，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； （3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 17．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【解析】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 题型1：函数单调性的判定 【典例1-1】已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 【典例1-2】若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，对，且， 则， 所以，不满足题意，故A错误； 对于B，对，且， 则 ， 所以，满足题意，故B正确； 对于C，对，且， 则 ， 所以，不满足题意，故C错误； 对于D，对，且， ， 由基本不等式可得， 所以， 即， 所以，不满足题意，故D错误. 【变式1-1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，其图象是连续曲线，对任意的正实数，在上是增函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在上不单调 C．可能存在最大值 D．可能存在最小值 【答案】D 【解析】对A：取，则，符合题意， 但在上不单调递增，故A错误； 对B：取，则，符合题意， 但在上单调递增，故B错误； 对C：若存在最大值，设该最大值为， 则存在，使得，且对任意，， 则， 令，则， 由，则，又，，即， 这与在上是增函数矛盾，故不存在最大值，故C错误； 对D：取，由A知符合题意， 且在处有最小值，符合题意， 故可能存在最小值，故D正确. 【变式1-2】（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【答案】B 【解析】化简可得： ， 定义域满足且，即，关于原点对称， 又, 因此是偶函数，排除A、C选项， 当时，单调递增，也单调递增， 因此单调递增，所以在中， 两项均随增大而减小，因此在上单调递减. 题型2：函数单调区间的求解 【典例2-1】函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 【典例2-2】（2026·河北沧州·一模）已知函数，则函数的单调递增区间为（   ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】B 【解析】，则当或时，，单调递减区间为， 当时，，单调递增， 对，有且， 则， 又，故为偶函数，故只需分析时的单调性， 令，则， 当时，，当时，，，故， 在上单调递减，则单调递增； 当时，，，故， 在上单调递减，上单调递增， 则当时，单调递减，时，单调递增； 故当时，单调递增区间为、， 单调递减区间为， 由偶函数性质可知，当时，单调递增区间为， 故函数的单调递增区间为，，. 【变式2-1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，设，由得或， ∴函数定义域为  . 当时，是减函数；而为增函数， ∴为减函数． 当时，为增函数，为增函数， ∴为增函数． ∴的减区间为. 故选：C. 【变式2-2】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 【变式2-3】函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 【变式2-4】已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【解析】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 题型3：单调性应用与不等式求解 【典例3-1】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】任取，，且，因为， 所以， 因为时，，且， 所以， 所以，即， 所以在上是增函数， 令，所以， 令，，所以， 不等式等价于， 所以，即， 因为在上是增函数，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 【典例3-2】已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，，， 相加得， 当时，，，， 相加得， 又当时， 故对任意，可验证得： 令，可得，又， 所以是上的奇函数， 当时，，求导得， 故在单调递增； 由奇函数单调性性质，是上的单调递增函数， 原不等式，代入， 化简得： 由单调递增，得不等式：， 若：，原不等式无解； 若，则， 即，又，解得 综上：的取值范围是. 【变式3-1】（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 当时，为单调递增函数，当时，，所以此时. 当时，为单调递增函数，也为单调递增函数， ∴ 在上单调递增，且. ∴ 函数是定义域为的单调递增函数. 令，当时，有. 设（），则，整理得. 解得或，∵ ，∴ 不符合题意，舍去. ∴ ，即. ∵ 在上单调递增， ∴ 等价于，解得. ∴ 实数的取值范围为，故选A. 【变式3-2】已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 【变式3-3】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 题型4：单调性约束下的参数范围求解 【典例4-1】若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 【典例4-2】已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 即，在上恒成立， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 【变式4-1】函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 所以，在上恒成立， 又因为在上单调递增， 所以， 所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即， 所以实数的取值范围为. 【变式4-2】已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 【变式4-3】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 【变式4-4】函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，对于函数， 令，则， 又由且，则为减函数， 若函数在上是减函数， 必有，解可得， 即的取值范围为. 题型5：抽象函数的单调性分析 【典例5-1】（多选题）已知函数的定义域为，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（     ） A．为奇函数 B． C．在上单调递增 D． 【答案】AC 【解析】对于A，令，可得， 所以，令，得到， 即，所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为为奇函数，所以，故B错误； 对于C，设，取，可得， 又因为，所以，所以，即， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为为奇函数，所以， 所以， 又，则，故D错误. 【典例5-2】（多选题）（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义在上的函数，，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．函数在上单调递增 C．若，则不等式的解集为或 D．为奇函数 【答案】AD 【解析】对于A，令，则，所以，A正确； 对于B，对任意，设，则，因为当时，， 所以， , 即，因此在上单调递减，B不正确； 对于C，，由可得， 由B选项可得，解得， 又，所以，故解集为，C不正确； 对于D，令，由可得定义域为； 又，所以为奇函数，D正确. 【变式5-1】（多选题）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（ ） A． B．是偶函数 C．在单调递增 D．的解集为 【答案】AC 【解析】令，得，所以，A正确. 令，得，，所以， 所以为非奇非偶函数，B错误. 设，则，因为当时，，所以， 又因为， 所以，所以在单调递增 ，C正确. 令，得， 令，得， 所以是的一个解，所以的解集不是，D错误. 【变式5-2】（多选题）（2026·四川宜宾·一模）定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递减 C． D．数列的前n项和为，则 【答案】ACD 【解析】由函数方程可得，又， 可推出，可得，对任意正整数数成立. 对于选项:正确. 对于选项:递增，故单调递减错误. 对于选项:是凸函数，满足，正确. 对于选项:前项和，正确. 题型6：分段函数的单调性应用 【典例6-1】（2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】B 【解析】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 【典例6-2】已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由对任意的都有成立， 故在上单调递减， 则，解得， 即实数的取值范围为. 【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是上的严格减函数，故 当时，必须严格单调递减，故，解得； 当时，，因为，故单调递减； 分段点为，，当时，， 故，解得； 综上，实数的取值范围是． 【变式6-2】（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 【变式6-3】（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 题型7：函数单调性的唯一性分析 【典例7-1】若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【解析】∵对任意实数，都有， 令，则. 又， ∴， ∵函数是上的单调函数，解得. ∴，∴. 故选：C. 【典例7-2】已知函数是定义在上的单调函数，若对任意恒成立，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为函数在定义域上是单调函数， 且，所以为一个常数， 令这个常数为，则有，则， 且，将代入上式可得，解得， 所以，所以. 故选：C. 【变式7-1】已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 所以，即， 设，易知在上单调递增， 所以，即， 故，所以． 故选：B． 【变式7-2】设是定义在上的单调函数，若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】由，可得必为定值， 设，即， 由，解得，所以， 则不等式，即为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式7-3】已知函数是定义在上的连续单调函数，若，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】是定义在上的连续单调函数， 存在唯一，使得，故令，，，在上单调递增，且， ， 故的解集为. 故答案为： 题型8：函数奇偶性的判定 【典例8-1】设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 【典例8-2】已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【解析】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． 【变式8-1】（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A：，定义域为，，为奇函数； 选项B：，定义域为，，为偶函数， ，求导可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增，所以， 所以当时，，单调递增，所以， 因此当时，，在内单调递增； 选项C：，定义域为，，为奇函数； 选项D：，定义域为，，为偶函数， 当时，令，则，函数变为，根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式8-2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【解析】的定义域为， 因为，所以，即为偶函数， 当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增， 所以在上单调递增. 【变式8-3】（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，定义域为， 又，所以为奇函数， 易知，则不单调，故A不符合题意； 因为， ，则为偶函数，故B不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， 又在单调递减， 则在单调递减，故C不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， ，所以在上单调递增，故D符合题意． 题型9：奇偶性约束下的参数求解 【典例9-1】已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 【典例9-2】（2026·山东潍坊·三模）已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【答案】D 【解析】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得 所以，即，结合，解得， 所以，即． 【变式9-1】已知是偶函数，则实数（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为函数是偶函数，可得，即， 可得，解得，即， 经验证：，所以函数为偶函数，符合题意. 【变式9-2】若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【解析】因为为奇函数，故， 所以即，故，故. 若，则，此时函数的定义域为， 该定义域不关于原点对称，故舍去； 若，则，此时函数的定义域为， 该定义域关于原点对称， 所以. 【变式9-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 所以函数的定义域关于原点对称， 又函数为偶函数，则对任意，恒成立， 即， 整理得，该式对所有恒成立，故， ， 所以. 【变式9-4】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由偶函数可知，即， 化简得，即，即. 题型10：利用奇偶性确定函数解析式 【典例10-1】（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 【典例10-2】设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 【答案】， 【解析】因为是奇函数，所以. 因为时，， 所以当时，，所以. 所以，. 又当时，，所以，. 【变式10-1】设函数的定义域为，.若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_____. 【答案】/ 【解析】对任意，有即 所以，即， 因此. 当时，取得最大值. 故答案为： 【变式10-2】设在区间内有定义，则能表示一个偶函数与一个奇函数之和，其中_____，_____. 【答案】 【解析】依题意，， 解得：， 故答案为：； 【变式10-3】已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称，若当时，，则当时，=_________________． 【答案】 【解析】由函数的图象关于直线对称， 所以，即有， 又函数是定义在上的偶函数，可知， 所以，即是周期为的周期函数； 当时，，又是周期为的周期函数， 当，则，所以， 所以，. 故答案为： 【变式10-4】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为______ 【答案】 【解析】设，可得， 因为当时，，可得， 又因为是定义在上的奇函数，则， 所以当时，可得， 所以在上的解析式为 故答案为：. 题型11：中值模型的应用 【典例11-1】已知函数在上最大值为，最小值为，则_________． 【答案】8 【解析】， 设，因为， 所以为奇函数，则， 所以. 【典例11-2】函数在区间上的最大值为最小值为则_____. 【答案】2 【解析】设，，定义域关于原点对称， 且，所以是奇函数. 设在上的最大值为，最小值为，则. 所以. 【变式11-1】已知函数，若，，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】函数的定义域为，，即函数是奇函数， 又因为函数，都是上的增函数，则在上递增， 由，得，于是，即， 则，而，，即有，， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当，时，取得最小值. 【变式11-2】已知，．求______． 【答案】 【解析】令， 因为恒成立，所以的定义域为， 且， 故为奇函数， 从而， 即，因为， 所以． 【变式11-3】设函数上的最大值为，最小值为，则______ 【答案】 【解析】由函数， 令，其定义域关于原点对称， 且，即， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可得， 则， 所以. 故答案为：. 【变式11-4】若对于，，令，则在上的最大值和最小值之和为________ 【答案】 【解析】令，则，所以 令，则，所以为奇函数， 令，则， 所以， 所以为奇函数，在上的最大值与最小值的和为：， 所以. 故答案为： 【变式11-5】若关于x的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为_______________ 【答案】 【解析】化简，令，则，，再判断函数是奇函数，可得，即可求的值， 令，则， 因为， 所以是奇函数， 所以， 所以， 解得：， 故答案为： 【变式11-6】已知函数在区间上的最大值与最小值的和为18，则实数的值为______． 【答案】8 【解析】令，则，所以原函数变为， 令，，则函数为奇函数且， 所以，， 所以． 因为为奇函数，所以，所以，所以． 故答案为：8 题型12：奇偶性的图象分析 【典例12-1】函数的大致图象是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，定义域为R，， 所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故D错误； 又因为，所以，故C错误； 又因为时，的值增长比的增长要快得多，所以，故A正确，B错误. 故选：A 【典例12-2】函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，定义域为， ， 为奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C； 当时，，，所以，可排除AD. 【变式12-1】（2026·高三·青海·阶段检测）已知函数的大致图象如图1所示，则图2所对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：由题可得图2函数定义域，对于中，，其定义域为，故A错误； B：由题可得当时，，当时，，则不关于轴对称，故B错误； C：函数中，定义域，即，符合图2的定义域， 令，则，所以为偶函数，符合图2的对称性，故C正确. D：函数中，定义域，即，符合图2的定义域， 令，得不符合图2，故D错误. 故选：C. 【变式12-2】函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C选项； 又由，可得排除A、D项， 所以选项B符合题意. 【变式12-3】（2026·高三·重庆九龙坡·开学考试）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知：的图像关于轴对称，故为偶函数， 对于A， 设，函数的定义域为， 因，即为奇函数，故A不合题意； 对于B，设，函数的定义域为， 因，即为奇函数，故B不合题意； 对于C， 设，函数的定义域为， 因，则为偶函数，因恒成立，故C不合题意； 对于D， 设，函数的定义域为， 因，则为偶函数，且当时，，结合图象可知D符合题意. 故选：D 题型13：奇偶性与单调性综合运用 【典例13-1】已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 【典例13-2】设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 【变式13-1】（2026·福建漳州·三模）已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义域为的奇函数， 所以，所以，所以． 因此，，， 即，所以． 因为，所以． 又是减函数， 所以，解得． 【变式13-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【解析】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 【变式13-3】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 【变式13-4】函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题， ，因为 ， 所以 ，即在R上单调递增， ， 所以为奇函数， 不等式 可转化为 ， 所以. 【变式13-5】已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，令，则， 因为对任意，，且， 所以是偶函数，且当时，单调递增， 所以，即， 由，两边平方得，整理得， 解得或，即实数的取值范围为， 故选：A. 【变式13-6】已知函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，因为所以的定义域为R，则． 因为，所以为奇函数． 函数，，在R上均为增函数，在定义域上为增函数， 所以根据复合函数的单调性，可得在R上为增函数． 等价于，即， 则，即， 解得或，则关于x的不等式的解集为． 故选：D. 题型14：不动点与稳定点问题 【典例14-1】（2026·北京海淀·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，现新定义：若满足，则称为的次不动点，有下面四个结论 ①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点 ②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点 ③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点． ④不存在正整数m，使得函数在区间上存在不动点，其中，正确结论的序号为__________． 【答案】②③ 【解析】对于①:取函数，，既是的不动点，又是的次不动点，故①错误； 对于②:定义在上的奇函数满足，故②正确； 对于③:当时， ，即. 令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解； 当时，即. 令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解；综上时函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，故③正确; 对于④:假设函数在区间上存在不动点，则在上有解，即在上有解，令，则，再令，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上 恒成立，所以在上单调递增， 所以，， 所以实数满足，存在正整数满足条件，故④错误： 故答案为：②③ 【典例14-2】已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递增； (3)若存在实数，使得，则称为函数的不动点．设函数，证明：函数存在不为0的“不动点”． 【解析】（1）函数的定义域为，， 所以函数为奇函数． （2）设，则， 由于，则,，即，所以函数在上单调递增． （3）令，即，则， 令，结合（1）及为奇函数可知，为奇函数， 因为，则， 所以存在，使得，所以函数存在不为0的“不动点”． 【变式14-1】对于函数，若存在实数，使得，则称为函数的“不动点” (1)若是奇函数的一个“不动点”，求证：也是函数的一个“不动点”； (2)已知函数. （i）若对任意实数，函数都有“不动点”，求实数的取值范围； （ii）若，且函数恰有两个不同的“不动点”，求实数的取值范围. 【解析】（1） 因为是函数的一个“不动点”，所以， 又因为为奇函数，所以， 所以也是函数的一个“不动点”. （2）（i）因为对任意实数，都有“不动点”， 所以方程，即有实数根， 所以对任意实数，恒成立， 所以， 解得，即实数的取值范围为. （ii）函数恰有两个不同的“不动点”， 即方程恰有两个不同的实根. 又，即， 两式作差得：， 即， 即. 方程的判别式， 方程的判别式， 且，所以当时，一定有. 要使方程（*）恰有两个不同的实根，则只可能是下面两种情况： ①，解得或. ②且方程的解也是方程的一个解， 由此解得 综上，实数的取值范围为. 【变式14-2】函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【解析】（1），故， 其中，则， 其中定义域为R，故为奇函数， （2）由得，令，则 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在上单调递增， 其中， 故当时，无解，当时，有1个解， 当时，有2个解； 综上，当时，函数没有不动点； 当时，函数有1个不动点； 当时，函数有2个不动点. （3）当时，，故， 所以在上单调递减， 根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减， 因为存在，即， 则， 故，则，即， 因为为函数一个不动点， 所以在时有解， 令，， 因为当时，， 所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于， 所以只需，即， 解得， 故a的取值范围是. 【变式14-3】记函数的定义域为．若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图象中的不动点． (1)若函数图象上有两个关于原点对称的不动点．求、应满足的条件； (2)在（1）的条件下，若，记函数图象上的两个不动点分别为、，为函数图象上的另一点，且其纵坐标，求点到直线距离的最小值及取得最小值时点的坐标； (3)下述命题“若定义在上的奇函数图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例． 【解析】（1）由题意，若点是不动点，则， 整理得，① 根据题意可判断方程①有两个根，且这两个根绝对值相等符号相反． 由韦达定理得，． 而，，故、应满足，且． （2）在（1）的条件下，当时，， 由，得两个不动点为，． 设点，则，即，解得． 直线的方程为，设点到直线的距离为， 则， 当且仅当，即时，上式取等号，此时，， 故． （3）命题正确． 为奇函数，，又，令，则， 点是奇函数的一个不动点． 设是奇函数的一个不动点，则，由， 也是奇函数的一个不动点． 又，这说明奇函数的非零不动点如果存在，则必成对出现． 又根据题设，只有有限个不动点，故奇函数的不动点数目是奇数个． 题型15：悬链线与双曲三角函数 【典例15-1】已知函数，.由于这两个函数与正弦、余弦函数有着诸多相似的性质，故分别称其为“双曲正弦函数”，“双曲余弦函数”.下列关于的描述错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，，定义域都是R， 对于A，，，A选项正确； 对于B，是奇函数，函数和都在R上单调递增， 则在R上单调递增，故， 是偶函数且在上单调递增，，B选项错误； 对于C，，，C选项正确； 对于D，，D选项正确． 【典例15-2】定义双曲正弦函数、双曲余弦函数分别为，，设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，的定义域为， ∵，∴为奇函数， ∵，且在上为减函数， ∴在上为增函数. ∵，∴， ∴，解得或，即的取值范围为. 故选：A. 【变式15-1】（2026·广东佛山·一模）定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（   ） A．函数是偶函数 B．函数在上单调递减 C． D． 【答案】C 【解析】设， 对于A，由题意得， 则，所以是奇函数， 即是奇函数，故A错误； 对于B，由题意得，所以在上单调递增， 即函数在上单调递增，故B错误； 对于C，，所以是奇函数， ，所以是偶函数， 所以， 所以原不等式为，即， 由题意得恒成立，所以在R上单调递增， 所以， 且有， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，原不等式得证，故C正确. 对于D，， 所以原不等式为， 由上得单调递增， 且有当时，单调递增，所以， 所以，与原不等式矛盾，故D错误. 【变式15-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，， 则，所以函数为奇函数， 又， 由于在上单调递增，且，故在上单调递增， 由，则， 即，解得，则的取值范围为. 【变式15-3】悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为（，是非零常数，无理数）.给出下列三个结论： ①当，时，为奇函数； ②当时，为单调函数； ③若的最小值为2，则的最小值为2. 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当时，，，∵，∴为奇函数，故①正确； 因为分别为上的增函数与减函数，所以当时，具有相同的单调性，所以具有单调性，故②正确； 有最小值为2，由②可知当时，单调无最小值，故. 当时，，当且仅当时取等号，且当时，的最小值为2，此时，当且仅当时取等号； 当时，，无最小值，不合题意. 综上，的最小值为2，故③正确. 故选：D 1．（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,因此 是奇函数，图像关于原点对称， 排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）； 当 时，分子 ，分母 ， 因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B； 取 ，计算 的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8， 选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A； 因此，只有选项 D 符合所有特征. 2．（2026·福建·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得，而， 则， 所以. 3．（2026·福建宁德·二模）设是定义在上的函数，若，当时，，称函数具有性质，则下列函数具有性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A：例如，， 即，但，故A错误； 对于选项B：例如，， 即，但，故B错误； 对于选项C：令，则的定义域为， 且， 即，可知为奇函数， 又因为在定义域内单调递增，则在定义域内单调递减，且， 当时，；当时，； 则，可知为偶函数，则， 当时，在内单调递增， 若，即，则，可得，故C正确； 对于选项D：，， 即，但，故D错误. 4．（多选题）（2026·高三·广西·期末）定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上单调递减，在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】AB 【解析】令，得，即，故A正确； 令， 则， 即是偶函数，故B正确； 当时，因为，所以， 因为，所以， 则在上单调递增，故C错误； 由题意知，且， 因此不等式可化为， 因为在上单调递增， 所以，解不等式得，故D错误． 故选：AB 5．（多选题）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【解析】由，， 令，则， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，A正确； 由，即，则函数不可能是减函数；故B正确. 令，则，即. 令，由，则函数为奇函数，故C正确； 令，由，则函数非偶函数，故D错误； 故选：ABC. 6．（多选题）（2026·高三·全国·阶段检测）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.下列说法正确的是（    ） A．定义在上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点 B．定义在上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点 C．当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点 D．满足函数在区间上存在不动点的正整数不存在 【答案】BC 【解析】对A选项，取函数，，既是的不动点，又是的次不动点，故A错误，对B选项，定义在上的奇函数满足，故B正确； 对C选项，当时， ，即. 令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解，则. 当时， ，即. 令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解，则. 综上号.故C正确； 对D选项，因为函数在区间上存在不动点， 则在上有解，则在上有解， 令，则，再令，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，， 所以实数满足（为自然对数的底数），存在正整数满足条件，故D错误. 故选：BC 7．（多选题）（2026·海南海口·模拟预测）已知函数，其导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题 【答案】ABD 【解析】已知函数，其导函数为，则， 对于A，由于，所以是奇函数，故A正确； 对于B，由于，所以是偶函数，故B正确； 对于C，由于，令，则， 再令，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即；当时，，即； 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误； 对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有， 即，化简得， 显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾， 因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题， 所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确. 8．（多选题）（2026·江西·模拟预测）关于定义域为的函数，下列说法正确的有（     ） A．存在函数，使得恒成立 B．存在函数，使得恒成立 C．存在函数，使得恒成立 D．存在函数，使得恒成立 【答案】BC 【解析】对于定义域为的函数，函数与的定义域均为， 因， 故为偶函数，为奇函数， 而为奇函数，为偶函数，A,D错误，为偶函数，为奇函数，B，C正确； 9．（多选题）（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于轴对称 C． D．对任意的，的最大值与最小值之和为4 【答案】ABC 【解析】对于A，定义域为， 因为， 即 ， 故不是奇函数，图象不关于原点对称，故A错误； 对于B，因为，显然， 故不是偶函数，图象不关于轴对称，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，由前面推导得 ， 即图象关于点成中心对称， 在对称区间上，设最大值为 ，则最小值为 ， 故最大值与最小值之和为，D正确. 10．（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以是上的偶函数， 因为，当时， ， 由于时 ， 所以，即在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减，且满足 因为 ， 所以 等价于 ， 因为在上单调递增， 所以等价于， 当时，不等式化为，即 ， 其判别式 ，不等式恒成立，故； 当时，不等式化为，即 ， 因式分解得 ，解得或 . 综上，实数的取值范围是 11．（2026·安徽合肥·二模）写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 【答案】（答案不唯一） 【解析】条件①，表明函数为偶函数，其图像关于轴对称； 条件②对任意正数，，，说明函数在上单调递增； 条件③，，表明函数在上是上凸函数； 条件④，这是对数函数的运算性质，即对数函数满足. 综合条件，首先考虑，（且），满足条件④， 当时，满足条件②，在上是上凸函数，满足条件③，为了满足条件①，需将函数变为， 因此，满足条件的函数的解析式可以为. 12．（2026·北京·三模）能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【答案】 1 0 1 【解析】因为是上奇函数，所以， 当时，，， 则， 由得， 所以满足的即为奇函数， 所以可取． 13．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】由得：或，的定义域为； 设，则，其中， ，为定义在的偶函数， 当时，由得：， 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，即， 又为定义在上的偶函数，当时，； 当或，即时，， 不等式的解集为. 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数满足：当时，，则________． 【答案】4052 【解析】显然，注意到时， 于是． 15．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【解析】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 16．（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为，故， 而的定义域为，故为上的奇函数. 而均为上的增函数，故为上的增函数. 因，故即，故. 17．（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 【答案】1 【解析】因为函数有意义，则． 若，则，此时定义域为，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故． 当时，临界点为和，定义域为或． 因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即，解得． 当时，定义域为． 对任意，有. 所以． 18．记函数的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点是函数的图象上的“稳定点”． （1）若函数的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a的取值范围； （2）已知定义在实数集R上的奇函数存在有限个“稳定点”，求证：必有奇数个“稳定点”． 【解析】（1）设是函数的图象上的两个“稳定点”， 则，即有 是有两个不相等的实数根且不等于， ，解得或且． （2）据题意得：是定义在实数集R上的奇函数． ①是奇函数，；所以必是函数的图像上的“稳定点”； ②若，是函数的图像上的“稳定点”；是奇函数，必有，故也是函数的图像上的“稳定点”；也就是说和是成对出现的． 综上所述：必有奇数个“稳定点”． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 函数基本性质 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点1、函数的单调性 3 知识点2、函数的最值 3 知识点3、函数的奇偶性 4 方法总结1：单调性常见方法及结论 4 方法总结2：奇偶性常用结论 5 方法总结3：常用奇偶函数模型 5 方法总结4：中值模型 6 方法总结5：不动点与稳定点 6 方法总结6：悬链线——双曲正弦、余弦、正切函数 6 03 真题回顾 8 04 经典题型归纳总结 12 题型1：函数单调性的判定 12 题型2：函数单调区间的求解 12 题型3：单调性应用与不等式求解 13 题型4：单调性约束下的参数范围求解 14 题型5：抽象函数的单调性分析 15 题型6：分段函数的单调性应用 15 题型7：函数单调性的唯一性分析 16 题型8：函数奇偶性的判定 17 题型9：奇偶性约束下的参数求解 17 题型10：利用奇偶性确定函数解析式 18 题型11：中值模型的应用 19 题型12：奇偶性的图象分析 19 题型13：奇偶性与单调性综合运用 21 题型14：不动点与稳定点问题 22 题型15：悬链线与双曲三角函数 24 05 课后拓展精练 26 知识点1、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 知识点2、函数的最值 1、最大值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最大值，记作； 2、最小值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最小值，记作． 知识点3、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 方法总结1：单调性常见方法及结论 1、 单调性定义的变式：设，且， ①在是增函数恒成立 ②在是减函数恒成立 2、判断函数单调性 设，具有单调性，常数，常数，则 ①，，与有相同的单调性 ②，与有相反的单调性 ③若，都是区间上的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． ④设，都是区间上的恒正的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． ⑤增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数， 增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数； 3、复合函数单调性 讨论复合函数 的单调性时要注意: ①若 在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则 为增函数; ②若 在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则 为减函数. 列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 方法总结2：奇偶性常用结论 ①奇偶函数四则运算与复合 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ②奇函数的定义域若包括0，则必有. ③为偶函数 ④若，且的定义域关于原点对称，则既是奇函数也是偶函数. ⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. ⑥的定义域关于原点对称，为偶函数，为奇函数，为偶函数. ⑦奇函数：；偶函数： ⑧若是偶函数，则奇次项系数为0. 若是奇函数，则偶次项系数为0. 方法总结3：常用奇偶函数模型 (1)奇函数模型 ①函数或函数. ②函数． ③函数或函数 ④函数或． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． (2)偶函数模型 ①函数； ②函数； ③函数类型的一切函数． 方法总结4：中值模型 基本模型：，其中为奇函数，为常数 （1） （2） 方法总结5：不动点与稳定点 不动点对于函数，我们把方程的解称为函数的不动点，即与图像交点的横坐标． 稳定点对于函数，我们把方程的解称为函数的稳定点，即与图像交点的横坐标．很显然，若为函数的不动点，则必为函数的稳定点． 方法总结6：悬链线——双曲正弦、余弦、正切函数 双曲正弦：，①奇函数；②上单调递增． 双曲余弦：，①偶函数；②． 双曲正切：，①奇函数；②上单调递增． 1．（2026年高考全国2卷数学高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026年高考天津卷数学高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 3．（2026年高考北京卷数学高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 4．（2025年高考天津卷数学真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 6．（2025年高考全国一卷数学真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 9．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026年高考上海卷数学高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 11．（2025年高考天津卷数学真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 12．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））若函数是奇函数，则实数______. 13．（2023年北京高考数学真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 14．（2026年高考全国1卷数学高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 15．（2026年高考上海卷数学高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 16．（2026年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷（回忆版））设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 17．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 题型1：函数单调性的判定 【典例1-1】已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，其图象是连续曲线，对任意的正实数，在上是增函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在上不单调 C．可能存在最大值 D．可能存在最小值 【变式1-2】（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 题型2：函数单调区间的求解 【典例2-1】函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·河北沧州·一模）已知函数，则函数的单调递增区间为（   ） A．， B．，， C．， D．，， 【变式2-1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 题型3：单调性应用与不等式求解 【典例3-1】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型4：单调性约束下的参数范围求解 【典例4-1】若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【典例4-2】已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型5：抽象函数的单调性分析 【典例5-1】（多选题）已知函数的定义域为，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（     ） A．为奇函数 B． C．在上单调递增 D． 【典例5-2】（多选题）（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义在上的函数，，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．函数在上单调递增 C．若，则不等式的解集为或 D．为奇函数 【变式5-1】（多选题）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（ ） A． B．是偶函数 C．在单调递增 D．的解集为 【变式5-2】（多选题）（2026·四川宜宾·一模）定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递减 C． D．数列的前n项和为，则 题型6：分段函数的单调性应用 【典例6-1】（2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【典例6-2】已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：函数单调性的唯一性分析 【典例7-1】若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（    ） A．1 B． C． D．0 【典例7-2】已知函数是定义在上的单调函数，若对任意恒成立，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-1】已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】设是定义在上的单调函数，若，则不等式的解集为__________. 【变式7-3】已知函数是定义在上的连续单调函数，若，则不等式的解集为___________. 题型8：函数奇偶性的判定 【典例8-1】设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【变式8-1】（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【变式8-3】（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 题型9：奇偶性约束下的参数求解 【典例9-1】已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【典例9-2】（2026·山东潍坊·三模）已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【变式9-1】已知是偶函数，则实数（     ） A． B． C． D．2 【变式9-2】若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【变式9-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 题型10：利用奇偶性确定函数解析式 【典例10-1】（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【典例10-2】设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 【变式10-1】设函数的定义域为，.若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_____. 【变式10-2】设在区间内有定义，则能表示一个偶函数与一个奇函数之和，其中_____，_____. 【变式10-3】已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称，若当时，，则当时，=_________________． 【变式10-4】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为______ 题型11：中值模型的应用 【典例11-1】已知函数在上最大值为，最小值为，则_________． 【典例11-2】函数在区间上的最大值为最小值为则_____. 【变式11-1】已知函数，若，，且，则的最小值为______. 【变式11-2】已知，．求______． 【变式11-3】设函数上的最大值为，最小值为，则______ 【变式11-4】若对于，，令，则在上的最大值和最小值之和为________ 【变式11-5】若关于x的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为_______________ 【变式11-6】已知函数在区间上的最大值与最小值的和为18，则实数的值为______． 题型12：奇偶性的图象分析 【典例12-1】函数的大致图象是（） A． B． C． D． 【典例12-2】函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2026·高三·青海·阶段检测）已知函数的大致图象如图1所示，则图2所对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2026·高三·重庆九龙坡·开学考试）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 题型13：奇偶性与单调性综合运用 【典例13-1】已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【典例13-2】设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2026·福建漳州·三模）已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【变式13-3】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式13-4】函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式13-5】已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式13-6】已知函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型14：不动点与稳定点问题 【典例14-1】（2026·北京海淀·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，现新定义：若满足，则称为的次不动点，有下面四个结论 ①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点 ②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点 ③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点． ④不存在正整数m，使得函数在区间上存在不动点，其中，正确结论的序号为__________． 【典例14-2】已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递增； (3)若存在实数，使得，则称为函数的不动点．设函数，证明：函数存在不为0的“不动点”． 【变式14-1】对于函数，若存在实数，使得，则称为函数的“不动点” (1)若是奇函数的一个“不动点”，求证：也是函数的一个“不动点”； (2)已知函数. （i）若对任意实数，函数都有“不动点”，求实数的取值范围； （ii）若，且函数恰有两个不同的“不动点”，求实数的取值范围. 【变式14-2】函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【变式14-3】记函数的定义域为．若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图象中的不动点． (1)若函数图象上有两个关于原点对称的不动点．求、应满足的条件； (2)在（1）的条件下，若，记函数图象上的两个不动点分别为、，为函数图象上的另一点，且其纵坐标，求点到直线距离的最小值及取得最小值时点的坐标； (3)下述命题“若定义在上的奇函数图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例． 题型15：悬链线与双曲三角函数 【典例15-1】已知函数，.由于这两个函数与正弦、余弦函数有着诸多相似的性质，故分别称其为“双曲正弦函数”，“双曲余弦函数”.下列关于的描述错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例15-2】定义双曲正弦函数、双曲余弦函数分别为，，设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（2026·广东佛山·一模）定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（   ） A．函数是偶函数 B．函数在上单调递减 C． D． 【变式15-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式15-3】悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为（，是非零常数，无理数）.给出下列三个结论： ①当，时，为奇函数； ②当时，为单调函数； ③若的最小值为2，则的最小值为2. 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建宁德·二模）设是定义在上的函数，若，当时，，称函数具有性质，则下列函数具有性质的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2026·高三·广西·期末）定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上单调递减，在上单调递增 D．不等式的解集为 5．（多选题）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 6．（多选题）（2026·高三·全国·阶段检测）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.下列说法正确的是（    ） A．定义在上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点 B．定义在上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点 C．当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点 D．满足函数在区间上存在不动点的正整数不存在 7．（多选题）（2026·海南海口·模拟预测）已知函数，其导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题 8．（多选题）（2026·江西·模拟预测）关于定义域为的函数，下列说法正确的有（     ） A．存在函数，使得恒成立 B．存在函数，使得恒成立 C．存在函数，使得恒成立 D．存在函数，使得恒成立 9．（多选题）（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于轴对称 C． D．对任意的，的最大值与最小值之和为4 10．（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 11．（2026·安徽合肥·二模）写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 12．（2026·北京·三模）能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 13．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数满足：当时，，则________． 15．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 16．（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 17．（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 18．记函数的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点是函数的图象上的“稳定点”． （1）若函数的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a的取值范围； （2）已知定义在实数集R上的奇函数存在有限个“稳定点”，求证：必有奇数个“稳定点”． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $