1.2 第1课时 空间向量基本定理 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理及正交分解，以“道生万物”类比平面向量到空间向量的推广，搭建从二维基底到三维基底的知识支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象，通过自我诊断（如基底判断正误）、典型例题（如三棱柱中向量表示）及分层训练，落实核心素养。学生能提升空间观念与推理能力，教师可借助系统资源高效教学。

1.2　空间向量基本定理 新课程标准解读 核心素养 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用 数学抽象、 逻辑推理 2.掌握空间向量的正交分解 直观想象 目录 数学·选择性必修第一册 第1课时　 空间向量基本定理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 “道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子的《道德 经》，他表示“道”生万物，从少到多，从简单到复杂的一个过程.联 系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个二维的基底 可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一个三维 的基底，可以生成空间中的所有向量. 目录 数学·选择性必修第一册 【问题】　当基底确定后，空间向量基本定理中实数组（ x ， y ， z ） 是否唯一？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　空间向量基本定理 1. 定理 条件 三个 的向量 a ， b ， c 和 ⁠空间向 量 p 结论 存在唯一的有序实数组（ x ， y ， z ），使得 p ＝ ⁠ ⁠ 不共面　 任意一个　 xa ＋ yb ＋ zc 　 目录 数学·选择性必修第一册 2. 基底：三个向量 a ， b ， c ，那么{ a ， b ， c }叫做空间 的一个基底， a ， b ， c 都叫做 ⁠. 提醒　（1）基底中不能有零向量；（2）空间任意三个不共面的向 量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基 底唯一表示，不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同. 不共面　 基向量　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　空间向量的正交分解 1. 单位正交基底 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长 度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{ i ， j ， k } 表示. 2. 正交分解 把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量 进行正交分解. 垂直　 1　 垂直　 目录 数学·选择性必修第一册 【想一想】 单位正交基底中的“单位”和“正交”分别是什么意思？ 提示：“单位”是指三个基向量的长度都是1，“正交”是指三个基 向量两两垂直. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底. （　×　） （2）若{ a ， b ， c }为空间的一个基底，则 a ， b ， c 全不是零向量. （　√　） （3）对于三个不共面向量 a1， a2， a3，不存在实数组（ x ， y ， z ），使0＝ xa1＋ ya2＋ za3. （　×　） × √ × 目录 数学·选择性必修第一册 2. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，可以构成空间的一个基底的是 （　　） 解析： 　由题意知 不共面，可以构成空间向量 的一个基底. 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·绍兴月考）如图，已知四面体 ABCD 中， ＝ b ， ＝ c ， ＝ d ， M 为 BC 的中点，用基向量 b ， c ， d 表示向量 ＝ ⁠. b ＋ c － d 　 解析：∵ M 为 BC 的中点，∴ ＝ ＋ ）＝ － ）＋（ － ）]＝ [（ b － d ）＋（ c － d ）]＝ b ＋ c － d . 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 空间向量基本定理的理解 【例1】　已知{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，且 ＝ e1＋2 e2－ e3， ＝－3 e1＋ e2＋2 e3， ＝ e1＋ e2－ e3，试判断{ ， ， }能否构成空间的一个基底？ 目录 数学·选择性必修第一册 解：假设 共面，由向量共面的充要条件知存在实数 x ， y ，使 ＝ x ＋ y 成立. ∴ e1＋2 e2－ e3＝ x （－3 e1＋ e2＋2 e3）＋ y （ e1＋ e2－ e3） ＝（－3 x ＋ y ） e1＋（ x ＋ y ） e2＋（2 x － y ） e3. ∵{ e1， e2， e3}是空间的一个基底， ∴ e1， e2， e3不共面，∴此方程组无解， 即不存在实数 x ， y ，使 ＝ x ＋ y 成立. ∴ 不共面. 故{ }能构成空间的一个基底. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 判断基底的基本思路 （1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向 量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底； （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体 等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为 基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 （多选）设 x ＝ a ＋ b ， y ＝ b ＋ c ， z ＝ c ＋ a ，且{ a ， b ， c }是空间 的一个基底，给出下列向量组，其中可以构成空间一个基底的向量组 是（　　） A. { a ， b ， x } B. { x ， y ， z } C. { b ， c ， z } D. { x ， y ， a ＋ b ＋ c } 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　如图所示，令 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ， a ＋ b ＋ c ＝ .由于 A ， B1， C ， D1四点不共面，可知向 量 x ， y ， z 也不共面，同理 b ， c ， z 和 x ， y ， a ＋ b ＋ c 也不共面.故选B、C、D. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 用基底表示空间向量 【例2】　如图，在三棱柱 ABC - A ' B ' C '中，已知 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，点 M ， N 分别是 BC '， B ' C '的中点，试用基底{ a ， b ， c }表 示向量 ， . 目录 数学·选择性必修第一册 解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ － ）＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （ a ＋ b ＋ c ）. 连接A'N（图略）， ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ） ＝ ＋ ＋ ）＝ a ＋ b ＋ c . 目录 数学·选择性必修第一册 【母题探究】 （变条件）若把本例中的“ ＝ a ”改为“ ＝ a ”，其他条件不 变，则结果是什么？ 解：因为 M 为BC'的中点， N 为B'C'的中点， 所以 ＝ ＋ ）＝ a ＋ b . ＝ ＋ ）＝ ＋ ＋ ） ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ － ）＋ ＝ ＋ － ＝ a ＋ b － c . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 用基底表示向量的步骤 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. （2024·台州月考）如图，四棱锥 P - OABC 的底面是矩形， PO ⊥底面 OABC . 设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， E 是 PC 的中点，则（　　） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　 ＝ － ＝ ＋ ）－（ ＋ ）＝－ － ＋ ＝－ a － b ＋ c .故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·无锡月考）如图，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别在棱 B1 B 和 D1 D 上，且 BE ＝ BB1， DF ＝ DD1，若 ＝ x ＋ y ＋ z ，则 x ＋ y ＋ z ＝ 　 　. 　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，因为 BE ＝ BB1， DF ＝ DD1，所以 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ .因为 ＝ x ＋ y ＋ z ，所以 x ＝－1， y ＝1， z ＝ ，所以 x ＋ y ＋ z ＝－1＋1＋ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 1. （多选）下列结论正确的是（　　） A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两 个向量共线 C. 若 a ， b 是两个不共线的向量，且 c ＝λ a ＋μ b （λ，μ∈R且 λμ≠0），则{ a ， b ， c }构成空间的一个基底 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由基底的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足 c ＝λ a ＋μ b ，所以 a ， b ， c 共面，不能构成基底，故错误. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·扬州月考）若{ a ， b ， c }是空间的一个基底，且向量 m ＝ a ＋ b ， n ＝ a － b ，则可以与向量 m ， n 构成空间的另一个基底的向 量是（　　） A. a B. b C. c D. 2 a 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由题意知， a ， b ， c 不共面，对于选项A， a ＝ [（ a ＋ b ）＋（ a － b ）]＝ m ＋ n ，故 a ， m ， n 共面，排除A；对于选 项B， b ＝ [（ a ＋ b ）－（ a － b ）]＝ m － n ，故 b ， m ， n 共 面，排除B；对于选项D，由选项A得，2 a ＝ m ＋ n ，故2 a ， m ， n 共面，排除D. 故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 在四面体 OABC 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则 ＝ .（用 a ， b ， c 表示） 解析： ＝ ＋ ＝ ＋ × ＋ ）＝ ＋ － ＋ － ）＝ ＋ ＋ ＝ a ＋ b ＋ c . a ＋ b ＋ c 　 目录 数学·选择性必修第一册 4. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M 为 AC 与 BD 的交点.若 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，试用基底{ a ， b ， c }表示向量 . 解：如图，连接 A1 M ， A1 C1， 则 ＝ － ＝ ＋ －（ ＋ ） ＝ ＋ ＋ ）－（ ＋ ） ＝ － ＋ ） ＝－ a － b ＋ c . 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 如果向量 a ， b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 （　　） A. a ， b 共线 B. a ， b 同向 C. a ， b 反向 D. a ， b 共面 解析： 　由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做 基底，B，C都是A的一种情况；空间中任意两个向量都是共面的， 故D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. (2025秋·安徽期末) 若，，不能构成空间的一个基底，则 （　　） 解析： 根据题意可知，，，三个向量共面，则存在实数，使得，即，所以，即． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·聊城质检）如图，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AC 与 BD 交于点 M ，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 ＝ （　　） 解析： 　 ＝ ＋ ＝－ c ＋ ＝－ c ＋ （ b － a ）＝ － a ＋ b － c .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·南通月考）已知{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，向量 a ＝ e1＋ e2＋ e3， b ＝ e1＋ e2－ e3， c ＝ e1－ e2＋ e3， d ＝ e1＋2 e2＋3 e3， 若 d ＝ xa ＋ yb ＋ zc ，则 x ， y ， z 的值分别为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由题意得 d ＝ xa ＋ yb ＋ zc ＝ x （ e1＋ e2＋ e3）＋ y （ e1＋ e2－ e3）＋ z （ e1－ e2＋ e3）＝（ x ＋ y ＋ z ） e1＋（ x ＋ y － z ） e2＋ （ x － y ＋ z ） e3，∵ d ＝ e1＋2 e2＋3 e3，∴故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. 已知空间四边形 OABC 中， M 在 AO 上，满足 ＝ ， N 是 BC 的中 点，且 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，用 a ， b ， c 表示向量 为 （　　） 解析： 　 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ － ）＝ － ＋ ＋ ＝－ a ＋ b ＋ c .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）已知 A ， B ， C ， D ， E 是空间中的五点，且任意三点均 不共线.若{ ， ， }与{ ， ， }均不能构成空间的 一个基底，则下列结论中正确的有（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由题意可得空间五点 A ， B ， C ， D ， E 共面.所以 A ， B ， C ， D ， E 这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成 空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB ＝2 CD ，点 O 为空间任意 一点，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则向量 用 a ， b ， c 表示 为 ⁠. 解析：∵ ＝－2 ，∴ － ＝－2（ － ），∴ b － a ＝－2（ － c ），∴ ＝ a － b ＋ c . a － b ＋ c 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 若{ a ， b ， c }是空间的一个基底，且存在实数 x ， y ， z ，使得 xa ＋ yb ＋ zc ＝0，则 x ， y ， z 满足的条件是 ⁠. 解析：若 x ≠0，则 a ＝－ b － c ，即 a 与 b ， c 共面.由{ a ， b ， c } 是空间的一个基底知 a ， b ， c 不共面，故 x ＝0，同理 y ＝ z ＝0. x ＝ y ＝ z ＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. （2024·三门峡月考）已知四面体 ABCD 中， ＝ a －2 c ， ＝5 a ＋6 b －8 c ，对角线 AC ， BD 的中点分别为 E ， F ，则 ＝ ⁠ ⁠. 解析：如图所示，取 BC 的中点 G ，连接 EG ， FG ，则 ＝ － ＝ － ＝ ＋ ＝ （5 a ＋6 b －8 c ）＋ （ a －2 c ）＝3 a ＋3 b －5 c . 3 a ＋3 b －5 c 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 已知平行六面体 OABC -O'A'B'C'中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c . （1）用 a ， b ， c 表示向量 ； 解： ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝ b － a ＋ c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）设 G ， H 分别是侧面 BB ' C ' C 和 O ' A ' B ' C '的中心，用 a ， b ， c 表示 . 解： ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋ ）＋ ＋ ） ＝－ （ a ＋ b ＋ c ＋ b ）＋ （ a ＋ b ＋ c ＋ c ） ＝ （ c － b ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. （2024·舟山质检）正方体 ABCD -A'B'C'D'中， O1， O2， O3分别是 AC ，AB'，AD'的中点，以{ ， ， }为基底时， ＝ x ＋ y ＋ z ，则（　　） B. x ＝ y ＝ z ＝1 D. x ＝ y ＝ z ＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ）＋ ＋ ）＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ x ＋ y ＋ z ，得 x ＝ y ＝ z ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. 如图所示，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，点 M 是 A1 D1的中点，点 N 是 CA1上的点，且 CN ∶ CA1＝1∶4，则向量 可表示为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 M 是 A1 D1的 中点，点 N 是 CA1上的点，且 CN ∶ CA1＝1∶4，所以 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋ － ）＝－ ＋ ＋ － ）＝ ＋ － ＝ a ＋ b － c ，故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. （2024·宁德月考）在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， O 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.若 ＝ x ＋ y ＋ z ，则 x ＋ y － z ＝ ⁠. 解析：如图，由题意可得 ＝ － ＝ － ＋ ）＝－ － ＋ ＝ x ＋ y ＋ z ，则 x ＝－ ， y ＝－ ， z ＝1，故 x ＋ y － z ＝－2. －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， E ， F 分别是 AD1， BD 的中点. （1）试用向量 a ， b ， c 表示 ， ； 解： 如图， ＝ ＋ ＝－ ＋ － ＝ a － b － c ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ ＋ ）＋ ＋ ）＝ （ a － c ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若 ＝ xa ＋ yb ＋ zc ，求实数 x ， y ， z 的值. 解： ＝ ＋ ）＝ （－ ＋ ） ＝ （－ c ＋ a － b － c ）＝ a － b － c ， 所以 x ＝ ， y ＝－ ， z ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·安阳质检）如图，在△ OAB 中， C 是 AB 的中点， P 在线段 OC 上，且 ＝2 .过点 P 的直线交线段 OA ， OB 分别于点 N ， M ，且 ＝ m ， ＝ n ，其中 m ， n ∈[0，1]，则 m ＋ n 的最小值为（　　） C. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　 ＝ ＋ ），即2 ＝ （ ＋ ）， ＝ ＋ ，又点 P ， M ， N 共线，∴ ＋ ＝1.又 m ， n ∈[0，1]，∴ m ＋ n ＝（ m ＋ n ） ＝ ≥ ×（2＋2 ）＝1，当且仅当 m ＝ n ＝ 时取等号， 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 在空间四边形 OABC 中， E 是线段 BC 的中点，点 G 在线段 AE 上， 且 AG ＝2 GE . （1）试用{ ， ， }表示向量 ； 解： 因为 ＝2 － ＝2（ － ），所以3 ＝2 ＋ . 又2 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若 OA ＝2， OB ＝3， OC ＝4，∠ AOC ＝∠ BOC ＝60°，求 · 的值. 解：由（1）可知， ＝ ＋ ＋ ＝ － . 又∠ AOC ＝∠ BOC ＝60°，所以 · ＝ ·（ － ）＝－ ＋ ＋ · － · ＝－ ×22＋ ×32＋ ×3×4 cos 60°－ ×2×4 cos 60° ＝ ，即 · . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $