第1讲 集合 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦集合高考核心考点，涵盖集合概念、关系、运算及新定义问题，按“基础概念-关系判断-运算应用-创新拓展”逻辑架构知识点，通过知识点预览系统梳理、核心题型探究（含例题解析与方法指导）、课时对点精练（真题与分层训练），帮助学生构建知识网络并突破易错点。 讲义突出数学抽象与逻辑推理素养，如设计群论、数域等新定义例题引导学生用数学思维分析抽象概念，结合容斥原理应用培养建模能力。分层练习适配不同学生，真题融入强化实战，助力学生提升解题规范与速度，为教师提供精准复习路径。

2027年高考一轮复习讲义 第一讲 集合 知识点预览 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A=B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 探究核心题型 考点一 集合的概念 例1 (2026·汉中模拟) (多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M={3，-1}，P={(3，-1)} B.M={(3，1)}，P={(1，3)} C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R} D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R} 例2 已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为(　　) A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8 例3 (2026·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 例4 已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为(　　) A．2 B．3 C．0 D．－2 跟踪训练 1 已知a，b∈R，若={a2，a+b，0}，则a2 026+b2 026=　　　　.  2. 设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 考点二 集合间的基本关系 例1. (2026·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　) A.A=B B.B⊆A C.A∩(∁UB)=∅ D.(∁UA)∩B=∅ 例2. 已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A⊆∁UB，则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  例3. (2026·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 例4. 已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D.∪(0,1) 跟踪训练 1. 设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集的个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是________． 2. (2025·汕头模拟)若集合A={x|(m-2)x2+2mx-1=0}恰有两个子集，则实数m的值是(　　) A.-2或1 B.2或1 C.-2 D.±2或1 3. (多选)已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m的值可以为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 考点三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例1. （2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 例2. (1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　) A．{x|0≤x<2} B. C．{x|3≤x<16} D. (2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是(　　) A．M∩(∁RN)＝∅ B．M∪(∁RN)＝R C．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RM D．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM 例3. （2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 例4. (2025·天津)已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，5}，则∁U(A∪B)等于(　　) A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2，4} D.{4} 命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围) 例1. (2026·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)}，B={x|x≤a}，若(∁RA)∪B=R，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，1) D.(-∞，1] 例2. (多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．－ B. C．0 D．－ 例3. (2025·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为(　　) A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 命题点3 集合的应用 (链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去. 我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A=｛a，b，c｝，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C). 例1. 某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 跟踪训练 1. (多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则(　　) A．(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3} B．(∁RA)∩B＝{x|1<x<2} C．A∩B＝{x|2<x<3} D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集 2. 已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 3. (2025·广东八校联考)设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A∩B=A，则a的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，1] D.(-∞，2] 4. (多选)已知全集U=R，集合M={x|-3≤x<4}，N={x|x2-2x-8≤0}，则(　　) A.M∪N={x|-3≤x<4} B.M∩N={x|-2≤x<4} C.(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞) D.M∩(∁UN)=(-3，-2) 5. 某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是　　　　.  考点四 集合的新定义问题 例1. (多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(　　) A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群 B．G＝∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．G＝{m＋n|m，n∈Z}关于数的加法构成群 例2. (多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F={a+b|a，b∈Q}也是一个数域.下列关于数域的命题中是真命题的为(　　) A.0，1是任意数域中的元素 B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域 C.存在无穷多个数域 D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q⊆M∩N 跟踪训练 1. (2025·渭南模拟)定义集合A与B的运算：A·B={x|x∈R，且x∉(A∪B)}，A∘B={x|x∈R，且x∉(A∩B)}.已知A=(-1，4]，B=[0，7)，则(　　) A.A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞) B.A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞) C.A·(∁RB)=[4，7] D.(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞) 2. (多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为(　　) A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集 B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有0∈A 课时对点精练 一、单项选择题 1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于(　　) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 3．(2026·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是(　　) A．(∁UA)∩B B．A∩B C．(∁UA)∩(∁UB) D．A∩(∁UB) 5．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于(　　) A．0或4 B．1或4 C．0 D．4 6．(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% 7. （2020·全国I卷·高考真题）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ） A．–4 B．–2 C．2 D．4 8．设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 二、多项选择题 9．已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是(　　) A.A∩B=∅ B.A⊆(A∪B) C.(∁UA)∪A=U D.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B) 10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 11. (2025·聊城模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-3.5]=-4，[0]=0，A={y|y=[x]，-1.1<x≤3.2}，B={y|-10≤y≤m}，下列说法正确的是(　　) A.集合A={-1，0，1，2，3} B.集合A的非空真子集的个数是62 C.若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则m的取值范围是[3，+∞) D.若A∩B=∅，则m的取值范围是(-∞，-2) 三、填空题 12．(2025·上海改编)已知全集U={x|2≤x≤5}，集合A={x|2≤x<4}，则∁UA=　　　　.  13．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________. 14．高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________． 15．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________. 16．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．下列选项中可能成立的是(　　) A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 17．设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________． 18. (2020·浙江)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足： ①对于任意的x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T； ②对于任意的x，y∈T，若x<y，则∈S. 下列命题正确的是(　　) A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第一讲 集合 知识点预览 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A=B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 探究核心题型 考点一 集合的概念 例1 (2026·汉中模拟) (多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M={3，-1}，P={(3，-1)} B.M={(3，1)}，P={(1，3)} C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R} D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R} 答案　ABD 解析　选项A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P； 选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P； 选项C中，M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞)，P={x|x=t2+1，t∈R}=[1，+∞)，故M=P； 选项D中，M是二次函数y=x2-1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y=x2-1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P. 例2 已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为(　　) A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8 答案　D 解析　由题意，若a2-2a+1=4，解得a=3或a=-1，若a-4=4，解得a=8， 当a=-1时，A={-1，4，-5}满足题意； 当a=3时，A={-1，4，-1}违背了集合中元素间的互异性； 当a=8时，A={-1，4，49}满足题意， 综上所述，a的值可能为-1，8. 例3 (2026·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点， 集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点， 因为直线x＋y＝0经过圆心(0,0)， 所以直线与圆相交， 所以A∩B的元素个数为2， 则A∩B的子集个数为4. 例4 已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为(　　) A．2 B．3 C．0 D．－2 答案　B 解析　因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A， 则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}． 当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意． 综上所述，m＝3. 跟踪训练 1 已知a，b∈R，若={a2，a+b，0}，则a2 026+b2 026=　　　　.  答案　1 解析　由已知得a≠0，则=0，所以b=0， 于是a2=1，即a=1或a=-1， 又由集合中元素的互异性知，a=1应舍去，故a=-1， 所以a2 026+b2 026=(-1)2 026+02 026=1. 2. 设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4. 考点二 集合间的基本关系 例1. (2026·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　) A.A=B B.B⊆A C.A∩(∁UB)=∅ D.(∁UA)∩B=∅ 答案　C 解析　因为集合A，B满足A⊆(A∩B)， 故可得A⊆B， 对A，当A为B的真子集时，不成立； 对B，当A为B的真子集时，也不成立； 对C，A∩(∁UB)=∅，恒成立； 对D，当A为B的真子集时，不成立. 例2. 已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A⊆∁UB，则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(-∞，2)∪(6，+∞) 解析　①当B≠∅时，m+1≤2m-1，即m≥2，因为集合A={x|-2≤x≤7}， B={x|m+1≤x≤2m-1}，则∁UB={x|x<m+1或x>2m-1}， 又A⊆∁UB，则m+1>7或2m-1<-2，解得m>6或m<-，又m≥2，所以m>6； ②当B=∅时，m+1>2m-1，即m<2，此时∁UB=R，符合题意. 例3. (2026·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 答案　A 解析　因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}， 所以A⊆B. 例4. 已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D.∪(0,1) 答案　A 解析　∵B⊆A， ∴①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意． ②若B≠∅，即ax＋1≤0有解， 当a>0时，可得x≤－，要使B⊆A， 则需要解得0<a<1； 当a<0时，可得x≥－，要使B⊆A， 则需要解得－≤a<0， 综上，实数a的取值范围是. 跟踪训练 1. 设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集的个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是________． 答案　254　{m|m≤－2或－1≤m≤2} 解析　易得A＝{x|－2≤x≤5}． 若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素， ∴A的非空真子集的个数为28－2＝254. ①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅，B⊆A； ②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}≠∅， 因此，要使B⊆A，则需解得－1≤m≤2. 综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－1≤m≤2}． 2. (2025·汕头模拟)若集合A={x|(m-2)x2+2mx-1=0}恰有两个子集，则实数m的值是(　　) A.-2或1 B.2或1 C.-2 D.±2或1 答案　D 解析　因为集合A={x|(m-2)x2+2mx-1=0}恰有两个子集，则集合A只有一个元素， 即关于x的方程(m-2)x2+2mx-1=0只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当m-2=0，即m=2时，原方程为4x-1=0，解得x=，符合题意； 当m-2≠0，即m≠2时，则Δ=4m2+4(m-2)=4(m2+m-2)=0， 解得m=1或m=-2. 综上所述，m=±2或1. 3. (多选)已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m的值可以为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案　BCD 解析　当N=∅时，满足N⊆M，此时m=0； 当N≠∅时，m≠0， 解mx=1可得，x=. 因为N⊆M，所以=-1或=1. 当=-1时，m=-1； 当=1时，m=1. 综上所述，m=0或m=-1或m=1. 考点三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例1. （2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 例2. (1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　) A．{x|0≤x<2} B. C．{x|3≤x<16} D. 答案　D 解析　因为M＝{x|<4}， 所以M＝{x|0≤x<16}； 因为N＝{x|3x≥1}， 所以N＝. 所以M∩N＝. (2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是(　　) A．M∩(∁RN)＝∅ B．M∪(∁RN)＝R C．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RM D．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM 答案　BD 解析　∵N∩(∁RM)＝∅，∴N⊆M， 如图，若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误； 由N⊆M可得M∪(∁RN)＝R，故B正确； 由N⊆M可得∁RN⊇∁RM，故C错误，D正确． 例3. （2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 例4. (2025·天津)已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，5}，则∁U(A∪B)等于(　　) A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2，4} D.{4} 答案　D 解析　由A={1，3}，B={2，3，5}，则A∪B={1，2，3，5}， 又集合U={1，2，3，4，5}， 故∁U(A∪B)={4}. 命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围) 例1. (2026·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)}，B={x|x≤a}，若(∁RA)∪B=R，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，1) D.(-∞，1] 答案　B 解析　由题可知A={x|y=ln(1-x2)} ={x|-1<x<1}， ∁RA={x|x≤-1或x≥1}， 所以由(∁RA)∪B=R，得a≥1. 例2. (多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．－ B. C．0 D．－ 答案　BCD 解析　由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}， 由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3， 所以A＝{2，－3}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，m＝0，满足题意； 当B≠∅时，B＝， －＝2或－＝－3， 解得m＝－或m＝， 综上，m＝0或－或. 例3. (2025·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为(　　) A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案　A 解析　因为B＝{x|x>a}， 所以∁RB＝{x|x≤a}， 又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB， 又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a， 解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1]． 命题点3 集合的应用 (链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去. 我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A=｛a，b，c｝，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C). 例1. 某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　设集合A={x|x是参加足球队的学生}， 集合B={x|x是参加排球队的学生}， 集合C={x|x是参加游泳队的学生}， 则card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24， card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9. 设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)=m，card(A∪B∪C)=46， 所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)， 即46=25+22+24-12-8-9+m， 解得m=4， 故三项都参加的有4人. 跟踪训练 1. (多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则(　　) A．(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3} B．(∁RA)∩B＝{x|1<x<2} C．A∩B＝{x|2<x<3} D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集 答案　ACD 解析　由x2－2x>0，得x<0或x>2， 所以A＝{x|x<0或x>2}， 所以∁RA＝{x|0≤x≤2}， 对于A，因为B＝{x|1<x<3}， 所以(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确； 对于B，因为B＝{x|1<x<3}， 所以(∁RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误； 对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}， 所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确； 对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}， 所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确． 2. 已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　B 解析　因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅， 则a－1≤1，解得a≤2. 3. (2025·广东八校联考)设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A∩B=A，则a的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，1] D.(-∞，2] 答案　B 解析　由A∩B=A知A⊆B， 又A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，所以a≥2. 4. (多选)已知全集U=R，集合M={x|-3≤x<4}，N={x|x2-2x-8≤0}，则(　　) A.M∪N={x|-3≤x<4} B.M∩N={x|-2≤x<4} C.(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞) D.M∩(∁UN)=(-3，-2) 答案　BC 解析　由x2-2x-8≤0，得-2≤x≤4，所以N={x|-2≤x≤4}， 对于选项A，M∪N={x|-3≤x≤4}，故A错误； 对于选项B，M∩N={x|-2≤x<4}，故B正确； 对于选项C，由于∁UM=(-∞，-3)∪[4，+∞)，故(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞)，故C正确； 对于选项D，由于∁UN=(-∞，-2)∪(4，+∞)，故M∩(∁UN)=[-3，-2)，故D错误. 5. 某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是　　　　.  答案　281 解析　由题意，用A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合， 则card(A)=203，card(B)=179，card(C)=165， card(A∩B)=143，card(B∩C)=97，card(A∩C)=116，card(A∩B∩C)=90， 因此card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C) -card(A∩C)+card(A∩B∩C)=203+179+165-143-97-116+90=281. 所以参加竞赛的学生总人数是281. 考点四 集合的新定义问题 例1. (多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(　　) A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群 B．G＝∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．G＝{m＋n|m，n∈Z}关于数的加法构成群 答案　CD 解析　对于A，若G＝{－1,0,1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G， 满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1， 但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误； 对于B，因为a＝∈G，且b＝3∈G，但a·b＝×3＝∉G，故B错误； 对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R， 满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0， ∀a∈R，∃b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确； 对于D，若G＝{m＋n|m，n∈Z}， 则对所有的a＝m1＋n1，b＝m2＋n2∈G， 有a＋b＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)∈G，∀a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立， 当a＝b＝0时，a＋b＝0，满足②的e＝0，即②成立， ∀a＝m＋n∈G，∃b＝－m－n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正确． 例2. (多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F={a+b|a，b∈Q}也是一个数域.下列关于数域的命题中是真命题的为(　　) A.0，1是任意数域中的元素 B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域 C.存在无穷多个数域 D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q⊆M∩N 答案　ACD 解析　对于A选项，由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个非零元素a∈P，所以有a-a=0∈P，=1∈P，故A正确； 对于B选项，假设数域M={a+b|a，b∈Q}，N={a+b|a，b∈Q}，则当x=∈M，y=∈N时，x∈M∪N，y∈M∪N，x+y=+∉M且x+y=+∉N， 故x+y=+∉M∪N，故B错误； 对于C选项，可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z， 集合P={a+b|a，b∈Q}都是数域，这样就有无穷多个数域，故C正确； 对于D选项，在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q⊆P. 因为0，1是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差， 故所有整数都属于数域P， 又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即Q⊆P， 所以Q⊆M，Q⊆N，即Q⊆M∩N，故D正确. 思维升华　此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力. 跟踪训练 1. (2025·渭南模拟)定义集合A与B的运算：A·B={x|x∈R，且x∉(A∪B)}，A∘B={x|x∈R，且x∉(A∩B)}.已知A=(-1，4]，B=[0，7)，则(　　) A.A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞) B.A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞) C.A·(∁RB)=[4，7] D.(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞) 答案　ABD 解析　∵A=(-1，4]，B=[0，7)， ∴A∪B=(-1，7)，A∩B=[0，4]， ∴A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞)， A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞)，选项A，B正确； ∵∁RB=(-∞，0)∪[7，+∞)， ∴A∪(∁RB)=(-∞，4]∪[7，+∞)， ∴A·(∁RB)=(4，7)，选项C错误； ∵∁RA=(-∞，-1]∪(4，+∞)， ∴(∁RA)∩B=(4，7)，∴(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞)，选项D正确. 2. (多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为(　　) A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集 B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有0∈A 答案　BD 解析　对于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中， －2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误； 对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}， 设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z， ∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A， ∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确； 对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误； 对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确． 课时对点精练 一、单项选择题 1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2．(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于(　　) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 答案　C 解析　方法一　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)， 而M＝{－2，－1,0,1,2}， 所以M∩N＝{－2}． 方法二　因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立， 所以M∩N＝{－2}． 3．(2026·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 答案　D 解析　当a=0时，由ax2-2x+1=0可得x=，满足题意； 当a≠0时，则ax2-2x+1=0满足Δ=(-2)2-4a=0，解得a=1. 综上，实数a的值为0或1. 4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是(　　) A．(∁UA)∩B B．A∩B C．(∁UA)∩(∁UB) D．A∩(∁UB) 答案　D 解析　由Venn图表示集合U，A，B如图， 由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A，(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝∅. 5．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于(　　) A．0或4 B．1或4 C．0 D．4 答案　A 解析　∵ B⊆A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}， ∴m＝4或m＝m2， 当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意； 当m＝m2时，得m＝0或m＝1， 当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意； 当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性． 综上，m可取0,4. 6．(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% 答案　C 解析　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图， 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x， 则(60%-x)+(82%-x)+x=96%，解得x=46%. 7. （2020·全国I卷·高考真题）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ） A．–4 B．–2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值. 【详解】求解二次不等式可得：， 求解一次不等式可得：. 由于，故：，解得：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}； 当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}； 当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}， 综上所述，I的所有“好子集”的个数为8. 二、多项选择题 9．已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是(　　) A.A∩B=∅ B.A⊆(A∪B) C.(∁UA)∪A=U D.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B) 答案　BCD 解析　如图所示，A∩B≠∅，A选项错误； A⊆(A∪B)，(∁UA)∪A=U，(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)，BCD选项正确. 10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　ABC 解析　A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意； 当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1， 综上可得a＝0或±1. 11. (2025·聊城模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-3.5]=-4，[0]=0，A={y|y=[x]，-1.1<x≤3.2}，B={y|-10≤y≤m}，下列说法正确的是(　　) A.集合A={-1，0，1，2，3} B.集合A的非空真子集的个数是62 C.若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则m的取值范围是[3，+∞) D.若A∩B=∅，则m的取值范围是(-∞，-2) 答案　BCD 解析　当-1.1<x<-1时，y=[x]=-2， 当-1≤x<0时，y=[x]=-1， 当0≤x<1时，y=[x]=0， 当1≤x<2时，y=[x]=1， 当2≤x<3时，y=[x]=2， 当3≤x≤3.2时，y=[x]=3， 所以A={-2，-1，0，1，2，3}，集合A的非空真子集有26-2=62(个)，故A错误，B正确； 若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以m≥3，C正确； 若A∩B=∅，当B=∅时，m<-10； 当B≠∅时，解得-10≤m<-2. 综上，m<-2，故D正确. 三、填空题 12．(2025·上海改编)已知全集U={x|2≤x≤5}，集合A={x|2≤x<4}，则∁UA=　　　　.  答案　{x|4≤x≤5} 解析　根据补集的含义知∁UA={x|4≤x≤5}. 13．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________. 答案　－3 解析　当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1,2,3,4,5}， 所有元素的和为15，不符合题意； 当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1,2,3，m,4,5}， 由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3. 14．高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________． 答案　29 解析　由题意画出Venn图，如图所示， 由Venn图知，参加比赛的人数为26， 所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29. 15．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________. 答案　{x|－3<x<0}　{x|－3<x<0或x≥3} 解析　由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3<x<3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}．因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0或x≥3}． 15．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．下列选项中可能成立的是(　　) A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 答案　BD 解析　对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；对于D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确． 16．设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________． 答案　13 解析　集合M的非空子集共有(212－1)个， 其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个， 同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个． 最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个， 同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个． 所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20， 最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20， 所以xA的算术平均值为 ＝＝＝13. 17. (2020·浙江)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足： ①对于任意的x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T； ②对于任意的x，y∈T，若x<y，则∈S. 下列命题正确的是(　　) A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素 答案　A 解析　由题意，①令S={1，2，4}，则T={2，4，8}， 此时，S∪T={1，2，4，8}，有4个元素； ②令S={2，4，8}，则T={8，16，32}， 此时S∪T={2，4，8，16，32}，有5个元素； ③令S={2，4，8，16}，则T={8，16，32，64，128}， 此时，S∪T={2，4，8，16，32，64，128}，有7个元素. 综合①②，S有3个元素时，S∪T可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除C，D； 由③可知A正确. 16.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000. (1)若N={2，3，6}，则∁UN表示的6位字符串为　　　　　　；  (2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为　　　　.  答案　(1)100110　(2)4 解析　(1)因为U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}， 所以∁UN={1，4，5}，所以∁UN表示的6位字符串为100110. (2)因为集合A∪B表示的字符串为011011， 所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}， 所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}， 即满足条件的集合A的个数为4. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $