湖北某地区2025-2026学年下学期期末质量监测高二数学

2026年春季学期期末质量监测 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分 1.‘￡%ow”-Bic…d广1c元ti”100.wr一…。m.心如Etc”… …d…r1-.9-cE%ow1-9丰0：知“，回》ie 2.."t-·心a,“乙￥”·￡.。ic叶，%。”.a. t⑦。一SiE 3.ie2Bf-··a01,“-0正m"i"￡…ie”w'-·元a ,/BE-°￡tiE 4.i.°%oEΨ￡&%。w°m.元a》十c%owiE 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.下列函数的求导正确的是() A.（x2)=-2x B.n(-x=- c.(nto D.(xcosx)=cosx-xsinx 2.已知函数f(x)=adnx+x在x=1处的切线方程为3x-y-b=0,则a+b的值为() A.-1 B.3 C.4 D.5 3.已知随机变量X服从正态分布N(-1,o2),且P(X>1)=0.3,则P(-3<X<1)=() A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 4.某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要 求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有() A.36种 B.72种 C.24种 D.240种 5.(2x+y)(x-2y)5的展开式中，xy的系数为() A.-80 B.120 C.-120 D.40 6.在6件工艺品中，有2件二等品，4件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为X,则E(2X+1) 的值为() A.3 B.4 C.5 D.2 7.如果今天是星期五，那么22026天后是星期几？() A.星期一 B.星期二 C.星期四 D.星期日 第1页共4页 8.设a,be0.,满足-口+3a-6=e-e-2c-1,则(） 2 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求， 若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9.某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若y关于x的经验回归方程为)=0.5x+ 2.3,则() 第x年 1 2 3 4 5 6 > 利润y亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9 A.变量y与x负相关 B.m=48 C.当x=3时，残差为-0.2 D.预测当x=9时，利润约为6.9亿元 10.已知(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+.+a6(x+1)6,则下列结论正确的有() A.+4+42+4+44+a+4=1 B.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=729 C.a2+a4+a6=365 D.a4=240 1.设函数g(9=血1+e),x∈R则下列说法正确的是() A.8(x)是偶函数 B.8(x)在x=0处取得最大值 C.方程n(1+e)=2x有且仅有一个实根D.对任意xeR,都有8g的)≤n2+号 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12.若C4-2=C4+2,则n= 13.已知随机变量X~B(4,p),E(3X-2)=5,则D(3X-2)= 14.已知一袋中装有标号为1,2,3,4的卡片各一张，现每次从中取出一张，记下号码后再放回袋中， 当四种号码的卡片都被取出过时即停止抽取.则恰好取6次卡片后停止抽取的概率为 第2页共4页 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据 有艺术特长 无艺术特长 男 250 100 女 350 150 (1)用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们有且只有一名有艺术特长的概率； (2)在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关. 附：X= n(ad-be n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a=P(x2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 本 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1 的有3个，标号为2的有m个从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是 15 (1)求m的值： (②)从两个袋子中各取一个小球，用X表示这两个小球的标号之差的绝对值，求X的分布列和期望 17.已知函数f)= er. (1)求f(x)在[-2,3]上的最大值和最小值： (2)求f(x)过原点的切线方程. 第3页共4页 18.现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数 为X。.从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为X: (1)求PX=1)和P(X=3): (2)求P☒1=2)： (3)当X,=2时，求随机变量X的分布列和数学期望E(X2). 19.已知屋数)-=任如) (1)当k=1时，求f(x)的最小值： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若f(x)存在极小值，且极小值等于-(lnk),求证：k+lk>2e. 第4页共4页2026年高二下期末考试 数学试卷参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 D B B A A D C BC ABD 题号 11 答案 ACD 7.D 【详解】因为一周是7天，所以只需计算22026除以7的余数 因为22026=23×675+1=(23)675×2=(7+1)675×2， 而(7+1)675=C8757675.10+C6757674.11+.+C6757675-r.1r+.+C8771.1674+ C770.1675(0≤r≤337，r∈Z) 除最后一项1，其余项都是7的倍数，都能被7整除，所以(7+1)675除以7的余数是1， 因此22026除以7的余数为1×2=2，今天是星期五，往后数2天就是星期日. 8.c 【详解】令y=方x+子=G为=e-(e-2k-1xe(0山 2 当x=0时，片=y3=3=0；当x=1时，h==3=1. 将问题转化为判断函数乃，，⅓的图象在区间(0,1)上的位置关系. 下面先判断函数y,y,图象在区间(0,1)的位置关系： 令f)=y2-y1=VR+x2-x,xe(0,1), 导数为f(x)=2E-3+1, 2vx 令t=:∈(0,1).则上式变为g0=2-1_亿-2r+- 2t 令80=0，得f=5-1 2 当0<t<51时，g0>0:当5<t<1时，g0<0. 故f(x)在x∈(0,1)先递增，后递减.而f(0)=0,f(①)=0， 答案第1页，共8页 故f(x)>0在x∈(0,1)恒成立，当x∈(0,1)时，2的图象恒在片上方(1)， 下面判断函数，y3图象在区间x∈(0,1)的位置关系： 1 2 x-1,x∈(0,1)， 求导数得l(x)=e+x-e+ 令m(x)=e+x-e+ 2,则m'()=e+1, 而i()cQh)1ec0M>( 故e（行，有w()=e+-e+号 当0<x<时，h(x)<0;当x<x<1时，(x)>0, 而h(0)=0,h)=0,故h(x)<0在x∈(0,1)恒成立， 当x∈(0,1)时，的图象恒在3上方(2)， 由(1)(2)得，函数，y2,y3图象在区间x∈(0,1)的位置关系如图所示 Oba c 由图易得，c>a>b. 10.ABD 【详解】对于A,令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(0+1)=1,故A正确。 对于B,令x=-2,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-4+1)=729,故B正确. 对于C,式子+4+42+a4+44+4+4=1与46-4+-4+4-4+4，=729相加， 得2(4+4+4+4)=730，所以++44+46=365. 令x=-1,得0=(-2+1)5=1，所以4+a4+46=364,故C错误. 对于D,因为(2x+1)=[2(x+1)-1]=[1-2(x+1)],且展开式的第5项为C24(x+ 1)4.(-1)4, 答案第2页，共8页 所以a4=C2×24=240,故D正确. 11.【答案】ACD 【许解】五数国=h+e）分则)h0+e+由于1+e-1世，所 In(1+e*)=In(1+e*)-x 因此g(-)=l血+e)-x+氵h+e)于g(c).故g(y是偶函数，A正确： 求导得8(c)e221+e当x<0时，g凶<0：当x>0时，g(y>0.所以g(c) 在x=0处取得最小值，B错误； 方程h(1+e)=2x.令u=e>0,则h(1+)=2hu,所以1+u=2,即2-u-1=0. 由于u>0,唯一解为1-1+5.因此对应唯一实根x=n1+5,C正确： 2 2 设h6W=n(1+e)-青-号h6网=e-专系h(o)=0而)=s6的s6W=一 ex ≤0因此h≤h(O)=lh2,gW)≤n2+号，D正确 (1-e2 12.2或3 13.空 14.品 【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回， 进行6次一共有4种不同的取法， 恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码， 3种号码出现的次数分别为3、1、1或2、2、1， 3种号码分别出现3、1、1次且6次时停止的取法有C·A=240种： 3种号码分别出现1、2、2次且6次时停止的取法有写C.A=360种： A号 故恰好取6次卡片后停止抽取的概率为：240+360=75 46 512 15.a哈 (2)可以认为学生性别与有无艺术特长无关 【详解】(1)因为该校男生有艺术特长的概率为 2505 250+10071 答案第3页，共8页 记有艺术特长的男生人数为X,显然X~B2,引 于是PK=)=c××号 49 6分 (2)因为x2= (250+100+350+150)250×150-350×100)2 17 ≈0.202<2.706， 350×500×600×250 84 故在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为学生性别与有无艺术特长无关 13份 16.(1)m=2 (2)X的分布列为： X 0 2 个 18 2 9 13 E(X)= 18 【详解】(1)从一个袋子中任取两个球的总组合数为C4 (m+4)(+3) 2 取到两个标号为2的球的组合数为C:=m(m-) 2 m(-1) 由取到的标号都是2的概率是 5得 2 1 4(m+4)m+3)15' 2 整理得7m2-11m-6=0,解得m=2或m=- (舍去)6分 (2)X的可能取值为0,1,2 P(X=0)=1×1+3x3+2×2=Z 666●666181 P《=1=2×(g×+8x8)= P(K=2)=2X(哈×9)=行12分 所以X的分布列为： X 0 2 7 y 1 18 2 9 答案第4页，共8页 经∈g.e2 17. 【削11少由若得)-2三-化-， ex ex 令f'(x)=0得x=0或x=2, f-刘=4，f0=0,f=意B创=2 当x在[-1,3]上变化时，∫'(x),∫(x)的变化情况如下表： -2 (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f(x) 0 + 0 f(x) 4e2 0 e e 因为f(-2)>f(2),f3)>f(0), 所以f(x)在[-2,3]上的最大值为f(-2)=42,最小值为f(0)=0.7分 (2)因为f()=2-型 所以了-芒在定义城取上处处可华、即过原点的切找的斜率行在 设过原点的切线与曲线)-。的切点为民，：》，则切线斜率k=f长， 所以切线方程为y-∫(x)='()(x-), 由切线过原点得f(6)=了(5)，即日=。(2），解得5=0或飞=1. e% 当=0时，切点为(0,0)，切线的斜率为f(0)=0,所以切线方程为y=0: 当￥=1时，切点为日，切线的率为0)所以切线方程为日少，即 e =马x e 综上，所求切线方程为y=0和y=二x.15分 e 8.【答案】)P(X=）:P=3)点4 (（2P(X1=2)=209分 答案第5页，共8页 (3) X2 0 2 > 9 E(X)=4 17分 19. 【详解11D了闭--e+上-e-少(x0, x2 当x>0时，e*-1>0, 由'(x)<0可得0<x<1,由f'(x)>0可得x>1, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 当x=1时，f(x)的最小值为e-1 4分 当k≤1时，则e-k>0对任意的x>0恒成立， 由(x)<0可得0<x<1,由f'(x)>0可得x>1, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增： 当>1时，令f"(x)=0,则x=1或x2=lnk>0, ①当0<lnk<1时，即l<k<e时， 由'(x)>0可得0<x<lnk或x>1,由f'(x)<0可得lnk<x<1, 所以函数f(x)在(k,1)上单调递减，在(0，lk)、(1,+o)上单调递增； ②当nk=1时，即k=e时，对任意的x>0,f'(x)≥0， 此时∫(x)在(0，+o)上单调递增； 答案第6页，共8页 ③当hnk>l时，即k>e时， 由'(x)>0可得0<x<1或x>lnk,由'(x)<0可得1<x<nk, 此时f(x)在(1，n)上单调递减，在(0,1)、(nk,+o)上单调递增， 综上所述：当k≤1时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增； 当1<k<e时，f(x)在(nk,l)上单调递减，在(0，nk)、(L,+o)上单调递增； 当k=e时，则f(x)在(0，+o)上单调递增： 当k>e时，则f(x)在(1，nk)上单调递减，在(0,1)、(lnk,+oo)上单调递增.…10分 (3)由题意可知k>0,由(2)可知，当0<k≤1时， 函数f(x)的极小值为f(I)=e-k=-(nk),此时k-(nk)=e, 因为nk≤0，则(nk)≥0，此时k-(nk)≤1，等式k-(nk)=e不成立： 当1<k<e时，函数f(x)的极小值为(1)=e-k=-(nk),此时k-(nk)}=e, 因为1<k<e,则0<nk<1,则-1<-(nk)2<0, 由不等式的性质可得0<k-(nk)<e,等式k-(nk)=e不成立： 当k=e时，函数f(x)在(0，+o)上单调递增，函数f(x)无极值： 当，e时，局数树的授小值为刻=盒一东 k是+h=-k时n肉=（血今， 可得血).h,令f=hk,则1>l,且k=e,则-=血e Ink k 先证明个等式品号学，其市0， 2-1 即证m生2-)_多 x+为五+1 X2 令五10=t2,其中t>1,期81t+li亿+o, X2 t+1 所以，函数g(t)在(1，+o)上为增函数，当t>1时，8(t)>8(1)=0, 所以，当1>x3>0时， 当-，<+戈 Inx-nx 2 答案第7页，共8页 设=a0, Int=at Ine -Int =a(e'-t) he=e,所以 Ine +Int=ale+t) 上述两个等式相除得血c-血t-e-t Ine'+Int e+t 拟学，以er号 ne+lnt2,则ne+lnt>2, 即lhte)>2,可得te>e2, 由基本不等式可得k+k=e+t>2fe>2e,故原不等式得证17分 答案第8页，共8页