重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 巴蜀中学高二期末数学试卷，覆盖集合、函数、统计、概率等知识，解答题融合投篮比赛、气压海拔统计等现实情境与导数单调性证明等逻辑推理，突出数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合运算、椭圆方程、统计散点图|结合散点图考查回归方程选择，体现数学眼光| |选择题（多选）|3/18|等差数列性质、函数单调性|多角度考查函数性质，层次分明| |填空题|3/15|独立性检验、正态分布、切线问题|以篮球兴趣调查考独立性检验，强化数据意识| |解答题|5/77|立体几何证明、概率比赛模型、导数极值|投篮比赛问题融合概率与数列，培养数学建模能力|

巴蜀中学2027届高二期末考试 数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。 3. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。满分150分，考试用时120分钟。 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合 ，集合 ，则 () A. B. C. D. 2. 已知 ，则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 3. 离心率为 ，焦点在 轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 4. 某中学的兴趣小组获得了海拔高度 (单位:千米)、气压 (单位:千帕)的若干个数据，并绘制成如图所示的散点图，下列经验回归方程中，有一个是利用最小二乘法得到的气压 关于海拔高度 的经验回归方程，则该方程是( ) A. B. C. D. 若一批产品共有 200 件, 其中, 每件产品是次品的概率为 0.1 , 每件合格品的利润为 50 元，每件次品亏损 60 元，则该批产品的利润的均值为( ) A. 2200 元 B. 7800 元 C. 10000 元 D. 10200 元 6. 已知函数 ，则 是 在 单调递增的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知 是抛物线 上两点，且 ，则( ) A. 的最小值为 B. 的最小值为 5 C. 的最小值为 D. 的最小值为 5 8. 若一个三位数的百位数字是 ,十位数字是 ,个位数字是 ,且 三个数中最大值和最小值的和等于 3 ，则这样的三位数的个数是( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分。 9. 若等差数列 的公差 ,且 的前 项和为 ,则 ( ) A. B. C. D. 10. 设函数 ，则( ) A. 的递增区间是 B. 的递减区间是 C. 的值域是 D. 的值域是 11. 若 满足 ,则( ) A. 的最小值是 -2 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 为了解学生是否对篮球感兴趣与性别的关系, 现从某年级的学生中随机抽取了男、女同学各 50 名, 整理得到下列 列联表: 性别 兴趣爱好 感兴趣 不感兴趣 总计 男 40 10 50 女 30 20 50 总计 70 30 100 则基于小概率值 0.01 的独立性检验，可以认为男、女同学对篮球是否感兴趣_____差异. 参考公式: ，其中 . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 13. 某物理量 的测量结果服从正态分布 ，则 _____. (若 ,则 .) 14. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 15. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形， ， 是 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)求二面角 的正弦值. 16. 已知数列 的前 项和为 ，且 数列 满足 . (1)求 和 的通项公式； (2)若 满足 ，求 的前 项和 . 17. 已知点 ，点 满足直线 和直线 的斜率之积为3. 点 的轨迹为曲线 . (1)求 的方程； (2)设 是坐标原点， 是 上位于第一象限内的一点，点 ，射线 交 于点 ，射线 交 于点 ，若 和 的面积之差为 ，求直线 的方程. 18.甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，若恰有 1 人命中，则命中者得 1 分，未命中者得 -1 分；若两人都命中或都未命中，则两人均得 0 分；当一方累计得分为 5 分时，比赛结束,该方获胜. 设甲每次投球命中的概率为 ,乙每次投球命中的概率为 ,且各次投球是否命中相互独立. (1)经过 1 轮投球，记甲的得分为 ，求 的分布列和数学期望； (2)用 表示甲的累计得分为 时，最终甲获胜的概率. (i) 写出 并证明数列 是公比为 2 的等比数列; (ii) 求比赛甲获胜的概率并解释这种比赛方案的合理性. 19. 已知函数 . (1)若 ，求 的极值； (2)若 ，且 的最小值是 0， 是曲线 上的点. (i) 求 的值,并证明 是 的定义在 的增函数; (ii) 设点 ,函数 ,若存在点 使得 , 且 ,求 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $