重庆市实验中学校2025-2026学年高二下学期数学期末复习题

**基本信息** 试卷聚焦选择性必修三与函数性质，通过高尔顿板概率、促销抽奖等现实情境，结合正态分布、导数应用等核心知识，考查数学建模与逻辑推理能力，适配高二期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、百分位数、线性回归|基础概念辨析，如第4题结合回归方程考相关性判断| |多选题|3/18|概率事件独立性、函数周期性|多选项逻辑推理，如第10题综合函数奇偶性与对称性| |填空题|3/15|回归模型转换、导数极值|数学建模应用，如第14题高尔顿板概率分布| |解答题|5/77|频率分布直方图、二项式定理、导数证明|综合实践与创新，如第17题促销抽奖方案比较，第19题导数单调性与方程根证明|

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 重庆市实验中学校高二下期末复习题 考试范围：选择性必修三加函数性质；考试时间：100分钟；命题人：汤波 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.样本数据，，，，，，，，，的第百分位数是(    ) A. B. C. D. 或 3.已知，，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如表：                           若回归直线方程是，则下列说法不正确的是 A. 的值是 B. 变量，呈正相关关系 C. 若，则的值一定是 D. 若的值增加，则的值约增加 5.甲盒中有个螺杆，其中有个型的，乙盒中有个螺母，其中有个型的．现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成型螺栓的概率为  (    ) A. B. C. D. 6.的展开式中的系数是(    ) A. B. C. D. 7.已知，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取出个球放入乙罐，事件“从甲罐中取出的球是红球”，事件“从甲罐中取出的球是白球”，再从乙罐中随机取出个球，事件“从乙罐中取出的球是红球”，下列说法正确的是  (    ) A. B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件相互独立 D. ，互斥 10.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是(    ) A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数为奇函数 11.已知函数，则下列说法正确的是(    ) A. 函数的极值点个数可能为，， B. 若函数有两个极值点，则 C. 若，则函数在上的最小值为 D. 若，则函数在上的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.用模型拟合变量与的关系时，为了求出回归方程，设，得到线性回归方程，则          ． 13.已知函数，其中，若函数在处取得极大值，则          ． 14.如图是一块高尔顿板的示意图．黑点表示木钉小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入          号格子的概率最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 新高考改革是中央部署全面深化改革的重大举措之一，为了了解学生对于选择物理学科的倾向，某中学在一次大型考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了名同学的物理成绩均在分之间，将抽取的成绩分组为，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． Ⅰ求这名同学物理平均成绩与标准差的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表结果精确到 Ⅱ已知全年级同学的物理成绩服从正态分布，其中，分别取Ⅰ中的，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间的概率．结果精确到 Ⅲ根据Ⅱ的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取名同学的物理成绩，若他们的成绩都在的概率不低于，求的最大值．为整数 附：，． 若，则，． 16.本小题分 若，其中． 求的值； 求； 求． 17.本小题分 端午假期即将到来，永辉超市举办“浓情端午高考加油”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小完全相同的小球其中红球有个，黑球有个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一： 从抽奖箱中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折． 方案二： 从抽奖箱中，有放回的摸球，每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元． 若小南、小开均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求他们均享受免单优惠的概率； 若小杰消费恰好满元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？ 18.本小题分 已知定义在上的偶函数和奇函数，满足． 求的值 方程有两个不等的实数根，． (ⅰ)求实数的取值范围 (ⅱ)若，证明：． 19.本小题分 已知函数，，． 若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值； 讨论的单调性； 若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，，证明：． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市实验中学校高二下期末复习题 答案和解析 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15. 解：Ⅰ； ， 则． Ⅱ由Ⅰ知，，， 因为全年级同学的物理成绩服从正态分布， 所以，， 所以， 所以该成绩在区间的概率约为． Ⅲ由Ⅱ可知成绩位于的概率为，所以， 所以， 所以的最大值为．  16. 解：根据条件，，则，得到． 令， ，， 故． 根据可知， ．  17. 解：方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则． 所以小南、小开二人均享受到免单的概率为 若小杰选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、． ， ， 故的分布列为： 所以元． 若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则． 由已知可得，故， 所以元． 因为，所以小杰选择第一种抽奖方案更合算．  18. 解：由题意可知，是定义在上的偶函数，所以， 且满足， 即； 由题意可得：，， ， 解得：，， 原式等价于有两个不相等的实数根， 设关于在上单调递增， 则有两个不相等的实数根， 所以， 即． (ⅱ)证明：原式等价于有两个不相等的实数根， 设，则有两个不相等的实数根， 由韦达定理得的两个根的乘积为， 所以， 记，，所以， 化简， 所以， 所以， 则， 又，则， 因为，所以， 解得或舍， 当且仅当时，等号成立， 因为，则，所以， 即随着的增大而减小， 则得证．  19. 解：，， 因为曲线在点处的切线与轴垂直， 故，解得． 解：，， 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增． 证明：方程， 即在上有两个不相等的实数根，， 不妨设，则， 两式相减得， 所以， 要证，只需证， 因为，所以， 即需证， 整理得，即证， 令，， 令，， 所以在上单调递增， 所以， 所以，得证．  【解析】 1. 【分析】 本题主要考查了不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题． 先求出集合，，进而得出结果． 【解答】 解：集合，， ，， ． 故选A． 2. 【分析】 本题考查百分位数，属于基础题． 根据百分位数的概念计算即可． 【解答】 解：共个数，已经从小到大排列好，而， 则第百分位数是第个和第个数的平均数，即， 故选C． 3. 【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题． 根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】 解：当时，一定成立，即必要性成立， 当，时，满足，但不成立，即充分性不成立， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：． 4. 【分析】 本题考查回归直线方程的应用，属于基础题． 根据回归直线方程及表格数据即可逐项说明正误． 【解答】 解：根据表格中数据可求得 ， 因为回归直线方程是， 所以， 又因为， 解得 ，故A选项正确； 根据表格中与的对应数据，可以看出变量与变量呈正相关关系，故B选项正确； 若，则可得到变量的预估值大约为， 而不是说的值一定是，故选项C不正确； 因为回归直线方程是， 所以每当的值增加时，的值大约就增加，故D选项正确． 故选C． 5. 设“从甲盒中任取一螺杆为型螺杆”为事件，“从乙盒中任取一螺母为型螺母”为事件，  则与相互独立，，，  则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成型螺栓的概率为． 6. 【分析】 本题主要考查了二项展开式的特定项的系数，组合数公式，属于基础题． 的展开式中的系数是，借助组合数公式计算即可． 【解答】 解：的展开式中的系数是， 因为且，所以， 所以， 以此类推，． 故选：． 7. 【分析】 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 由题意知，然后根据基本不等式即可求解． 【解答】 解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 故选：． 8. 【分析】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，不等式问题以及转化思想，是中档题． 设函数，求出函数的导数，根据函数的单调性问题转化为，求出不等式的解集即可． 【解答】 解：根据题意，设函数， 其导数 又由， 则有，即函数为增函数，且 ，即， 又由函数在上为增函数， 则有，即不等式的解集为 故选：． 9. 根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数． 因此，，，故 A正确；  又，，  所以事件与事件不相互独立，故B错误；  同理，C错误；  显然，不可能同时发生，故，互斥，  故D正确． 10. 解：选项A，，即函数的周期为，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则，所以函数的图象关于对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误． 故选：． 11. 解：依题意，， 若，则， 此时方程有两个不等实根，记为，，取， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 此时函数有两个极值点 若，则恒成立， 此时函数在上单调递增，无极值． 则函数的极值点个数可能为，，不可能为，故B正确，A错误； 若，则， 则， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 故函数在上的最小值为，最大值为，故C正确，D正确． 故选BCD． 12. 【分析】 本题考查的知识点是线性回归方程的应用，属于基础题． 我们根据对数的运算性质：，，函数两边取对数，则，，即可求出，，即可得出结论． 【解答】 解：， 两边取对数，可得， 令，可得， ， ，，， 则   ， 故答案为． 13. 【分析】 本题考查了利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题． 因为在时取得极大值，则求出，得到，解出即可，注意结果的检验． 【解答】 解：由题意，得， 因为在时取得极大值，则，则， 得或， 当时，， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则函数在处取极小值，故不满足条件 经检验当时，函数在处取得极大值，故． 故答案为：． 14. 【分析】由题意可得小球掉入号格子的概率为，由此列出不等式组求解即可． 【详解】小球下落需要次碰撞，每次向左下落的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入号格子需要向左次，其概率为； 小球掉入号格子需要向左次，向右次，其概率为； 小球掉入号格子需要向左次，向右次，其概率为； 小球掉入号格子需要向左次，向右次，其概率为； 依此类推，小球掉入号格子需要向左次，向右次，其概率为； 设小球掉入号格子的概率最大，显然， 则 即 所以 解得， 又因为为整数， 所以． 即小球落入号格子的概率最大． 15. 本题考查正态分布的实际应用、频率分布直方图、平均数、方差、利用指数函数的单调性解不等式、对数运算的实际应用，属于中档题． Ⅰ结合频率分布直方图，利用公式分别计算、，即可得出这名同学物理平均成绩与标准差的估计值． Ⅱ根据计算，即可求出该成绩在区间的概率． Ⅲ根据题意可得，利用对数的性质即可得出的最大值． 16. 本题主要考查二项式定理的应用及二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 根据表示项的系数，利用通项公式得出关系式求出的值即可； 在中，令，得出关系式求出； 令与令得出即可． 17. 本题主要考查超几何分布与二项分布的数学期望求法，属于中档题． 先算出一人免单对应的概率为，则两个人都免单对应的概率为； 选择方案一时，写出付款金额的各种可能取值，计算出对应的概率，得到分布列，求出其数学期望值；选择方案二时，设摸到的红球的个数为，付款金额为元，计算的数学期望值，比较两个期望值的大小，即可得到本题答案． 18. 详细解答和解析过程见【答案】 19. 本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，考查分类讨论思想、方程思想与转化思想的应用，属于难题． 求出的导数，计算，求出的值即可； 求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； 不妨设，由题意可得，则只需证，转化变形可得，令，利用导数证得即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $