精品解析：陕西西安市新城区协作西光中学教育集团2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

西安市西光中学教育集团2025～2026学年第二学期 初二年级期末数学学科试题 一、选择题（共9小题，每题3分） 1. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则四边形是矩形 B. 若且，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是平行四边形 D. 若且，则四边形是正方形 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 下列算式中，你认为错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是中边的垂直平分线，若，，，则的周长是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 9. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③的最小值为2；④．其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（共6小题，每题3分） 10. 一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 11. 分解因式：______． 12. 已知点与点关于原点对称，则______． 13. 如图，已知在四边形中，，点E，F分别是的中点，连接，若，，则线段的长是______． 14. 已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 15. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为________． 三、解答题（共11小题，共75分） 16. 计算 （1）解不等式组； （2）解分式方程． 17. 两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 18. 已知a满足，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形边长都为1个单位长度． （1）画出关于y轴对称的图形后向下平移1个单位得到的； （2）画出关于原点中心对称的图形． 20. 阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为的三边长，且满足，试判断的形状． 解： （A） ∴ （B） ∴ （C） ∴是直角三角形． 问： （1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______； （2）判断的形状，并说明理由． 21. 为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． （1）请列方程求出跳绳和实心球的单价； （2）该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 22. 一次函数与的图象如图所示． （1）点C的坐标为______；当______时，； （2）若点D在直线上，且满足，求点D的坐标． 23. 如图，在中，，D为的中点，E为上一点，． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 24. 西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）该品牌头盔销售量的月增长率是______； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 25. 如图，在中，，D是中点，是的外角的平分线，于E，连接交于F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 26. 解决问题 【问题提出】 （1）如图（1），P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转与重合，若，则______（直接写出答案）． 【问题探究】 （2）如图（2），点P是等边内一点，，，，求的度数． 对于这个问题，小明是这样思考的：将绕点B顺时针方向旋转至处，连接，根据所学便可以求出的度数，请你根据小明的想法，作出图形，并求出的度数． 【问题解决】 （3）如图（3），为等腰直角三角形，，，P是内部一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学教育集团2025～2026学年第二学期 初二年级期末数学学科试题 一、选择题（共9小题，每题3分） 1. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 2. 下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，即可求解． 【详解】解：A． ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B． ，是因式分解，符合题意， C． 等式右边的不是整式，故该选项不符合题意；        D． 等式的右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意． 4. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则四边形是矩形 B. 若且，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是平行四边形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、且，不能得到四边形是矩形，故A错误； B、且，仅能说明邻边相等，对边关系不确定， 则四边形不一定是菱形，故B错误； C、且，则对角线互相平分，四边形是平行四边形，故C正确； D、且，未强调对角线互相平分， 则不能判定四边形是正方形，故D错误． 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 6. 下列算式中，你认为错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式分母有理化及同级运算的运算顺序，逐个计算各选项即可判断出错误的算式． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 7. 如图，是中边的垂直平分线，若，，，则的周长是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是中边的垂直平分线， ， 又，， 的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③的最小值为2；④．其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形、正方形的性质和勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟练矩形的性质，添加合适的辅助线是关键是关键． 利用正方形的性质，得到，进而证明是等腰直角三角，最后用勾股定理得到，故①正确； 利用等量代换，把四边形的周长转化为，代入即可得到四边形的周长为8，故②正确； 当 时的值最小，求出 ．再由矩形的对角线相等可知，则的最小值为，故③错误； 先证明，再利用角的等量代换证明两锐角的和为 ，最后得到两条线的夹角为直角，故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ∴ 故①正确 ∵ 是等腰直角三角形 ∴ 同理 四边形的周长 故②正确 连接， ∵ ,当 时的值最小， ∴的最小值为 故③错误 如图：过点P作 ，点G为垂足，则，延长 交 于点H，连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故④正确， 正确结论序号为①②④ 故选：B． 二、填空题（共6小题，每题3分） 10. 一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键．根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意得： ， 解得 ， 故答案为：7． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，可得 ，， 则． 13. 如图，已知在四边形中，，点E，F分别是的中点，连接，若，，则线段的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，在中利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ，，，  ， 点，分别是，的中点， ． 14. 已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解分式方程，得到含的解的表达式，再根据分式方程的解为负数，且分母不为零，列出关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】解：， 将方程变形为， 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 分式方程的解为负数， ，且， 即，且， 解得， 解得， 已经满足， 的取值范围是． 15. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为________． 【答案】（，）． 【解析】 【分析】点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可． 【详解】解：连接ED，如图， ∵点B的对称点是点D， ∴DP=BP， ∴ED即为EP+BP最短， ∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°， ∴点D的坐标为（1，）， ∴点C的坐标为（3，）， ∴可得直线OC的解析式为：， ∵点E的坐标为（﹣1，0）， ∴可得直线ED的解析式为：， ∵点P是直线OC和直线ED的交点， ∴点P的坐标为方程组的解， 解方程组得：， 所以点P的坐标为（，）， 故答案为（，）． 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题． 三、解答题（共11小题，共75分） 16. 计算 （1）解不等式组； （2）解分式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 【小问2详解】 解： 原方程去分母得， 解得， 检验：当时，， 故原方程的解为． 17. 两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法及角平分线的性质、线段垂直平分线的作法及线段垂直平分线的性质；作出的角平分线及线段的垂直平分线，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图： 故点C即为所求作的点． 18. 已知a满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法得出或．然后再进行分式的混合运算，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代入求解即可． 【详解】解：， ． ，， 则或． 根据分式有意义的条件知且， 则，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形边长都为1个单位长度． （1）画出关于y轴对称的图形后向下平移1个单位得到的； （2）画出关于原点中心对称的图形． 【答案】（1）如下： （2）如下： 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质得出点，，关于y轴对称的点分别为：，，，然后再根据平移的性质得出，，．然后顺次连接即可． （2）根据关于原点中心对称的性质得出点，，关于原点中心对称的点分别为，，，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：根据坐标可知：，，， 点，，关于y轴对称的点分别为：，，， 再将，，，向下平移1个单位后对于的点，，． 图略； 【小问2详解】 解：点，，关于原点中心对称的点分别为：，，， 图略； 20. 阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为的三边长，且满足，试判断的形状． 解： （A） ∴ （B） ∴ （C） ∴是直角三角形． 问： （1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）C （2）的形状为等腰三角形或直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 移项，得 ， 因式分解，得 ， ∴或， 当时，，为等腰三角形； 当时，，为直角三角形； 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形． 【解析】 【分析】（1）逐一分析等式每一步变形的依据，发现步骤直接在等式两边除以，未考虑该式可能为的情况，违背等式的性质，由此确定出错的步骤； （2）先对原等式两边分别因式分解，再移项并提取公因式，将等式转化为两个因式乘积为的形式，分两种情况讨论，分别得出三角形为等腰三角形或直角三角形，二者同时成立时为等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：从开始出现错误，步骤直接在等式两边除以，未考虑该式可能为的情况，违背等式的性质； 【小问2详解】 略 21. 为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． （1）请列方程求出跳绳和实心球的单价； （2）该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 【答案】（1）跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元 （2）最低费用为1600元 【解析】 【分析】（1）先将跳绳的单价和实心球的单价设出来，再根据“数量总价单价”列出代数式，根据题目的等量关系列出等量关系式； （2）根据跳绳的数量与实心球的数量之间的关系列不等式求出跳绳数量的取值范围，再列出跳绳与实心球的总费用的一次函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：设跳绳的单价为元，则实心球的单价为元， 根据题意得：，解得， 将代入验证，分母不为， ∴是原方程的解， ， 答：跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元． 【小问2详解】 解：设购买跳绳个，则购买实心球个，购买跳绳和实心球的费用为元， 则题意， 解得， ， ∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，最小， （元）， 答：最低费用为1600元． 22. 一次函数与的图象如图所示． （1）点C的坐标为______；当______时，； （2）若点D在直线上，且满足，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）联立两直线解析式求出点C的坐标，再结合函数图象求解即可． （2）先求出点B的坐标，，再求出，进而可求出，设点D的坐标为，然后根据面积即可求出m的值，最后即可求出点D的坐标． 【小问1详解】 解：联立， 解得， ∴点C的坐标为． 由图形可知，当时，． 【小问2详解】 解：当时，，解得， ∴， ∴， 设点D的坐标为， ∵，且， ∴， 即， ∴， ∴点D的坐标为或． 23. 如图，在中，，D为的中点，E为上一点，． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质求出，然后结合即可求出； （2）结合已知条件可知E是中点，根据直角三角形斜边中线的性质并结合已知条件求出，然后利用勾股定理可求出，进而求解． 【小问1详解】 解：，D为的中点，， ，， ， ． ， ； 【小问2详解】 解： ， ，E为的中点， ． ， ， ， ，D为的中点， ． 24. 西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）该品牌头盔销售量的月增长率是______； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 【答案】（1） （2）该品牌头盔每个售价应上涨10元 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价−进价）×销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去． 所以，元． 答：该品牌头盔每个售价应上涨10元． 25. 如图，在中，，D是中点，是的外角的平分线，于E，连接交于F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）∵，D是中点， ∴，， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求得，，根据是的外角的平分线，推得，再根据矩形的判定定理即可证明； （2）由（1）证明是等边三角形，求出，的长即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴，， ∴， ∴． 26. 解决问题 【问题提出】 （1）如图（1），P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转与重合，若，则______（直接写出答案）． 【问题探究】 （2）如图（2），点P是等边内一点，，，，求的度数． 对于这个问题，小明是这样思考的：将绕点B顺时针方向旋转至处，连接，根据所学便可以求出的度数，请你根据小明的想法，作出图形，并求出的度数． 【问题解决】 （3）如图（3），为等腰直角三角形，，，P是内部一点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意得，旋转中心为点，旋转角，对应点、到旋转中心的距离相等，即，可证为等腰直角三角形，由勾股定理求； （2）由旋转可知：，先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，把问题转化为； （3）如图③中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于点．由旋转的性质可知，，，，，推出，可得，解直角三角形，求出，可得结论． 【小问1详解】 解：根据旋转的性质可知，，， 为等腰直角三角形， 由勾股定理，得； 【小问2详解】 解：如图， 由旋转可知：， ，，， 又， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ； 【小问3详解】 解：如图（3）中，将△绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于点． 由旋转的性质可知，，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $