1.1《集合的概念》导学案2026-2027学年人教A版（2019）高一上学期数学必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的概念，引导学生通过实例理解集合含义及元素与集合的“属于”关系，掌握元素确定性、互异性、无序性三大特性，学习列举法与描述法，建立从具体实例到抽象概念的学习支架。 资料通过实例辨析强化元素确定性理解，分层习题设计兼顾基础与拓展，助力学生掌握集合表示方法。典例与练习结合，培养抽象能力和推理意识，提升用数学语言表达集合关系的能力，适合课堂教学与自主学习。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 一、学习目标 1. 通过实例理解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系； 2. 掌握集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 3. 熟练掌握集合的两种表示方法——列举法与描述法，能选择恰当的方法表示集合； 4. 熟记常用数集的符号表示，能准确判断元素与数集的关系。 二、重点难点 重点：集合的基本概念、元素与集合的关系、集合的表示方法。 难点：对集合元素互异性的理解与应用，描述法表示集合的正确书写。 三、知识梳理 知识点1：集合与元素的定义 （1）元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母 a, b, c, … 表示。 （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），常用大写拉丁字母 A, B, C, … 表示。 （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 知识点2：集合中元素的三个特性 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 ② 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。 ③ 无序性：集合中的元素没有固定的先后顺序，如 {1, 2, 3} 与 {3, 2, 1} 表示同一个集合。 知识点3：元素与集合的关系 （1）属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a ∈ A。 （2）不属于：如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a ∉ A。 知识点4：常用数集及其记法 非负整数集（自然数集）：N （全体非负整数组成的集合） 正整数集：N* 或 N₊ （全体正整数组成的集合） 整数集：Z （全体整数组成的集合） 有理数集：Q （全体有理数组成的集合） 实数集：R （全体实数组成的集合） 知识点5：集合的表示方法 （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号"{ }"括起来表示集合的方法。 适用：元素个数较少的集合，或元素有明显规律的无限集。 （2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式为 { x ∈ A | P(x) }。 其中 x 是代表元素，A 是 x 的取值范围，P(x) 是元素 x 满足的共同特征。 四、典例精析 【例1】判断下列各组对象能否构成集合，并说明理由。 （1）大于3且小于11的偶数； （2）我国的小河流； （3）平面直角坐标系中第一象限的点； （4）比较接近0的实数。 【例2】用符号"∈"或"∉"填空。 （1）0 ___ N； （2）√2 ___ Q； （3）-3 ___ Z； （4）1/2 ___ N*； （5）π ___ R； （6）0.5 ___ Z。 【例3】用适当的方法表示下列集合。 （1）方程 x² - 5x + 6 = 0 的所有实数根组成的集合； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合； （3）所有正奇数组成的集合； （4）直线 y = 2x + 1 上所有点组成的集合。 五、课堂达标练习 1. 下列各组对象中，能组成集合的是( ) A. 一切很大的数 B. 聪明人 C. 本班视力在5.0以上的同学 D. 跑得快的人 2. 已知集合 A = {a, b, c} 中的三个元素可构成某三角形的三边长，那么此三角形一定不是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 下列关系中正确的个数是( ) ① 0 ∈ N；② √3 ∉ Q；③ 1/3 ∈ R；④ |-4| ∉ Z A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 集合 {x ∈ N* | x - 3 < 2} 用列举法表示正确的是( ) A. {0, 1, 2, 3, 4} B. {1, 2, 3, 4} C. {0, 1, 2, 3, 4, 5} D. {1, 2, 3, 4, 5} 5. 设集合 M = {大于0且小于1的有理数}，N = {小于10⁵⁰的正整数}，P = {定圆C的内接三角形}，Q = {所有能被7整除的数}，其中无限集的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知集合 A 含有两个元素 a - 3 和 2a - 1，若 -3 ∈ A，则实数 a = ________。 六、拓展提升 7. 已知集合 A = {x | ax² - 3x + 2 = 0}，若 A 中只有一个元素，求实数 a 的值。 8. 数集 A 满足条件：若 a ∈ A，则 (1+a)/(1-a) ∈ A（a ≠ 1）。若 1/3 ∈ A，求集合 A 中的其他元素。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 四、典例精析 【例1】 （1）能构成集合。元素是4, 6, 8, 10，具有确定性。 （2）不能构成集合。"小河流"标准不明确，不满足确定性。 （3）能构成集合。第一象限的点满足横坐标和纵坐标都大于0，标准明确。 （4）不能构成集合。"比较接近0"没有明确的衡量标准，不满足确定性。 【例2】 （1）∈ （2）∉ （3）∈ （4）∉ （5）∈ （6）∉ 【例3】 （1）解方程得 x = 2 或 x = 3，用列举法表示为 {2, 3}。 （2）用列举法表示为 {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}； 也可用描述法表示为 {x ∈ Z | 10 < x < 20}。 （3）用描述法表示为 {x | x = 2k + 1, k ∈ N}。 （4）点集用描述法表示为 {(x, y) | y = 2x + 1}。 五、课堂达标练习 六、拓展提升 1. C 解析："很大""聪明""快"都没有明确标准，不满足确定性；C选项标准明确。 2. D 解析：由集合元素的互异性知 a, b, c 互不相等，故不可能是等腰三角形。 3. C 解析：①②③正确，④错误（|-4|=4是整数），共3个正确。 4. B 解析：x - 3 < 2 即 x < 5，又 x ∈ N*，故 x = 1, 2, 3, 4。 5. C 解析：M、P、Q都是无限集，N是有限集。 6. 0或-1 解析：分两种情况：a - 3 = -3 或 2a - 1 = -3，解得 a = 0 或 a = -1，验证均满足互异性。 7. 解：当 a = 0 时，方程化为 -3x + 2 = 0，有唯一解 x = 2/3，符合题意； 当 a ≠ 0 时，由 Δ = 9 - 8a = 0，得 a = 9/8。 综上，a = 0 或 a = 9/8。 8. 解：因为 1/3 ∈ A，所以 (1 + 1/3)/(1 - 1/3) = 2 ∈ A； 因为 2 ∈ A，所以 (1 + 2)/(1 - 2) = -3 ∈ A； 因为 -3 ∈ A，所以 (1 - 3)/(1 + 3) = -1/2 ∈ A； 因为 -1/2 ∈ A，所以 (1 - 1/2)/(1 + 1/2) = 1/3 ∈ A，开始循环。 故集合 A 中其他元素为 2, -3, -1/2。 学科网（北京）股份有限公司 $