1.1.2 空间向量的数量积运算 课时作业 word版-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三层设计，以向量运算为起点，逐步过渡到几何体综合应用及复杂空间情境建模，强化空间观念与推理能力，适配新授课知识巩固与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|向量数量积、投影向量等单一知识点|1-7题直接考查定义与运算，8-10题结合直三棱柱等简单几何体，落实概念理解| |更上层楼|多面体中向量综合应用|11-14题涉及四面体、正四面体等，需综合向量模与夹角公式，提升推理能力| |探究发现|复杂空间情境建模|15-16题以正四棱柱、六棱柱为背景，需抽象向量关系，发展数学眼光与表达能力|

课时作业(三) 1．已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则6a·＝(　　) A．15　　　　　　　　　 B．3 C．－3 D．5 2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝2BC＝2BB1＝2，则·的值为(　　) A．1 B．2 C. D．4 3．已知|a|＝4，向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则向量a在向量e上的投影向量的模为(　　) A．2 B．－2 C．－ D. 4．已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且两两夹角都是，则向量a－b－c和b的夹角为(　　) A. B. C. D. 5．已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a－b＋2c|等于(　　) A．5 B．6 C. D. 6．已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝|c|＝5，且a＋b＋c＝0，则向量a－b在向量c上的投影向量为(　　) A．－c B．－c C.c D.c 7．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝________． 8．已知O1为正方体ABCD－A1B1C1D1上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线BO1与AC1所成角的余弦值为________． 9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，点E在棱CC1的延长线上，且C1E＝CC1.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)求·. 10.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． 11．【多选题】在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则下列结论一定成立的是(　　) A．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2 B．|＋－|2＝||2＋||2＋||2 C．(＋＋)·＝0 D.·＝·＝· 12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量在向量上的投影向量是(　　) A. B. C. D. 13．已知在正四面体D－ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为________． 14.如图，在空间四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝5，∠ABC＝∠BAD＝120°，AD⊥BC，则·＝________，CD的长为________． 15．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 16.如图，在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六边形，设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c分别表示，. (2)若cos∠BAA1＝cos∠FAA1＝，AB＝2，AA1＝4，求： (ⅰ)·；(ⅱ)||. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(三) 1．已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则6a·＝(　　) A．15　　　　　　　　　 B．3 C．－3 D．5 答案　B 解析　∵向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，∴6a·＝3a·b＝3×(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3)＝9|e1|2－6|e3|2＝3.故选B. 2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝2BC＝2BB1＝2，则·的值为(　　) A．1 B．2 C. D．4 答案　A 解析　由题意知，＝－，＝＋，所以·＝(－)·(＋)＝BB12＝1.故选A. 3．已知|a|＝4，向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则向量a在向量e上的投影向量的模为(　　) A．2 B．－2 C．－ D. 答案　A 解析　由题意，|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，则向量a在向量e上的投影向量的模为＝＝＝2. 4．已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且两两夹角都是，则向量a－b－c和b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，所以|a－b－c|＝＝＝，(a－b－c)·b＝a·b－b2－b·c＝－1.设向量a－b－c和b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝. 5．已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a－b＋2c|等于(　　) A．5 B．6 C. D. 答案　C 解析　由题意，得a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ ＝ ＝＝. 6．已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝|c|＝5，且a＋b＋c＝0，则向量a－b在向量c上的投影向量为(　　) A．－c B．－c C.c D.c 答案　C 解析　∵a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b，b＋c＝－a，∴(a＋c)2＝a2＋2a·c＋c2＝41＋2a·c＝25，(b＋c)2＝b2＋2b·c＋c2＝50＋2b·c＝16，∴a·c＝－8，b·c＝－17，∴·＝·c＝c. 7．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝________． 答案　1 解析　因为p⊥q且|p|＝|q|＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. 8．已知O1为正方体ABCD－A1B1C1D1上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线BO1与AC1所成角的余弦值为________． 答案　 解析　设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则＝a＋b＋c，＝c＋(b－a)，则·＝1，||＝，||＝.∴cos〈，〉＝＝＝，则异面直线BO1与AC1所成角的余弦值为. 9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，点E在棱CC1的延长线上，且C1E＝CC1.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)求·. 解析　(1)∵点E在棱CC1的延长线上，且C1E＝CC1，∴＝2＝2，∴＝＋＋＝＋＋2＝2a＋b＋c. (2)由题意得a·c＝0，b·c＝0，|a|＝|c|＝2，|b|＝6，又＝＋＋＝＋－＝a－b＋c，∴·＝c·(a－b＋c)＝a·c－b·c＋c2＝0－0＋|c|2＝4. 10.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． 解析　(1)证明：＝＋，＝＋. 因为BB1⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以BB1⊥BC，BB1⊥AB，即·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， 所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. 因为· ＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋2＋· ＝||·||·cos〈，〉＋2 ＝－1＋1＝0， 所以AB1⊥BC1. (2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1. 又||＝＝)＝||， 所以|cos〈，〉|＝＝. 所以||＝2，即侧棱长为2. 11．【多选题】在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则下列结论一定成立的是(　　) A．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2 B．|＋－|2＝||2＋||2＋||2 C．(＋＋)·＝0 D.·＝·＝· 答案　ABD 解析　∵·＝·＝·＝0，∴|＋＋|2＝||2＋||2＋||2，|＋－|2＝||2＋||2＋||2，·＝·＝·，∴A、B、D正确．∵(＋＋)·＝(＋＋)·(－)＝||2－||2，结果不一定为0，∴C错误． 12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量在向量上的投影向量是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设正方体的棱长为1，＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0， 又＝＋＋＝－a＋b＋c，＝－b， ∴·＝(－a＋b＋c)·(－b)＝a·b－b2－c·b＝－1， ∴向量在向量上的投影向量是||cos〈，〉·＝·＝－＝. 13．已知在正四面体D－ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为________． 答案　 解析　连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝. 14.如图，在空间四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝5，∠ABC＝∠BAD＝120°，AD⊥BC，则·＝________，CD的长为________． 答案　－6　 解析　因为AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝3×4×cos 120°＝－6.因为＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝16＋9＋25＋2(4×3×cos 60°＋3×5×cos 60°＋4×5×cos 90°)＝77，所以CD＝||＝. 15．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 答案　D 解析　在上的投影向量的模均为1， ∴·＝1. 16.如图，在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六边形，设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c分别表示，. (2)若cos∠BAA1＝cos∠FAA1＝，AB＝2，AA1＝4，求： (ⅰ)·；(ⅱ)||. 解析　(1)如图，连接AD， 因为六边形ABCDEF为正六边形， 所以＋＝，则＝2a＋2b， 所以＝－＝2a＋2b－c，＝＋＝－＝2a＋b－c. (2)因为六边形ABCDEF为正六边形，所以∠BAF＝，又cos∠BAA1＝cos∠FAA1＝，AB＝2，AA1＝4， 所以|a|＝|b|＝2，|c|＝4，a·b＝|a|·|b|cos ＝－2，a·c＝b·c＝|a|·|c|×＝2， (ⅰ)·＝(2a＋b－c)·(2a＋2b－c)＝4a2＋2b2＋c2＋6a·b－3b·c－4a·c＝14. (ⅱ)因为＝＋＋＝－＋＝2a＋2b－a＋c＝a＋2b＋c， 所以||＝ ＝ ＝＝2. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $