精品解析：广东揭阳市普宁市第一中学2025-2026学年第二学期高二第二次月考数学试卷

普宁市第一中学2025-2026学年度第二学期 高二第二次月考数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 注意事项： 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 ． 2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数z满足（其中i为虚数单位），则z在复平面上对应的点位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的坐标得答案． 【详解】解：由，得， 故在复平面上所对应的点的坐标为，在第一象限， 故选：． 2. 已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的有（ ） A. a＝0.1 B. P(X≥2)＝0.7 C. P(X≥3)＝0.4 D. P(X≤1)＝0.3 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由概率之和为1可判断A，根据分布列计算可判断B,C,D. 【详解】因为，解得，故A正确； 由分布列知,， ，故BD正确，C错误. 故选：ABD 3. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行以及充分和必要条件等知识来求得正确答案. 【详解】由，得，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，符合题意. 即等价于或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用商数关系和倍角公式，即可求解. 【详解】由，得．又，则， 所以，所以． 故选：C． 5. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（ ） A. 或1 B. 2或 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，由是函数上的极值，得到，求得或，分类讨论，结合函数的单调性和极值点的概念，进行判断，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点，可得， 即，解得或， 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在区间上单调递增，在区间单调递减， 此时，在处函数取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，， 令，解得；令，解得或， 所以在区间上单调递减，在区间单调递增， 此时，在处函数取得极大值，符合题意， 综上可得，实数的值为. 故选：C. 6. 唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解. 【详解】该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮， 有两天出现大潮概率为， 有三天出现大潮概率为， 所以至少有两天出现大潮的概率为， 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. 364 B. 365 C. 728 D. 730 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法计算. 【详解】令，得①， 令，得②， ①+②，得， 所以. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求导可得在上单调递减，再根据转化为，再结合的单调性求解即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即， 所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两点分布求，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， ，， 故选：AB 10. 掷一个均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为，恰好出现次正面的概率记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. ，，，，中最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意知，正面出现次数服从二项分布，由二项分布概率公式可得正确选项. 【详解】A、B选项：， ，故A错误，B正确 C选项：，C错误 D选项：二项分布概率公式可得， 最大值为，D正确 故选：BD 【点睛】本题考查二项分布概率公式，属于基础题. 11. 在数列中，，，，是数列的前项和，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知递推式得，结合等比、等差数列的定义判断A、B；应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和判断C、D. 【详解】由，得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列，A正确. 根据等比数列的通项公式得，即，则， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，B正确. 根据等差数列的通项公式得，即， 所以，C错误. 由， ，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量ξ服从正态分布，若，则________ . 【答案】0.4## 【解析】 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称， 由，得， 根据对称性得，， ， 因为正态曲线关于直线对称，. 13. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】-30 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项公式，再结合两个二项式相乘，即可求得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 故的展开式中的系数为， 故答案为：-30 14. 黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”．在平面直角坐标系中的“优美椭圆”的左右顶点分别为，点是椭圆上异于左右顶点的动点，设直线的斜率分别为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据P点在椭圆上，得到m、n的等式，再求出关于m、n的表达式，并将其转化为关于m的表达式后进一步与离心率e结合，最后根据离心率即可求出． 【详解】设，即，则， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 手机聊天软件是现代生活信息交流的重要工具，随机抽取使用手机聊天软件的100人进行调查，得到数据统计表如下:每天使用手机聊天软件时间在2h以上的人被定义为“手机聊天软件依赖”，不超过2h的人被定义为“非手机聊天软件依赖”.已知“非手机聊天软件依赖”与“手机聊天软件依赖”的人数比恰为3∶2. 使用手机聊天软件时间/h 频数 频率 5 0.05 15 0.15 15 0.15 x p 30 0.30 y q 合计 100 1.00 （1）求出x，y，p，q的值. （2）为进一步了解使用手机聊天软件对日常工作和生活是否有影响，从100人中用分层随机抽样的方法确定10人.若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“手机聊天软件依赖”的人数为X，求X的分布列及其数学期望. 【答案】（1），，，. （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【小问1详解】 由题意可知，“非手机聊天软件依赖”的人数为， “手机聊天软件依赖”的人数为，所以， 又因为，解得，，所以，， 【小问2详解】 用分层随机抽样的方法确定的10人中，“非手机聊天软件依赖”的人数为：， “手机聊天软件依赖”的人数为：， 随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则， ，， ，所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以的数学期望是：. 16. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案； （2）建系，利用点面距的空间向量计算公式可得答案. 【小问1详解】 因为且所以平面 因为平面所以 因为为中点 所以，且 所以平面. 【小问2详解】 如图，以为轴建立 因为 因为 设平面的法向量为 因为 所以 令，则，即 设点到平面的距离为 即 所以点到平面的距离为 17. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点 （1）求抛物线C的方程； （2）若直线为的准线，判断以MN为直径的圆与直线是什么位置关系?请说明理由. 【答案】（1） （2）以为直径的圆与直线是相切的位置关系. 理由如下： 由（1）可求得准线为， 由， 消去并化简得，， 不妨设，，， 解得或， 所以 ， 因为，所以中点坐标为， 该点到准线的距离是， 所以以为直径的圆与相切. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦点可求抛物线方程； （2）利用抛物线的定义结合梯形的中位线通过圆心到直线的距离等于半径可判断相切. 【小问1详解】 抛物线的焦点的坐标为， 由已知直线过点，所以， 所以，故，， 抛物线方程为 【小问2详解】 略 18. 某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. （2）记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用全概率公式计算可得结果； （2）依题意得出与之间的递推关系式，再由等比数列通项公式可得. 【小问1详解】 设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅， 根据题意得，，，， 所以. 【小问2详解】 设表示第天去餐厅用餐，则，， 根据题意得，， 由全概率公式得，， 即， 整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 19. 已知函数. （1）当时，求函数零点的个数； （2）求函数的极值； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）有唯一的零点 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得解； （2）求导，再分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，再结合极值的定义即可得解； （3）利用分离参数法，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，即可得解. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，在上单调递减， 又因为， 由零点存在定理，在区间内存在零点， 所以在上有唯一的零点； 【小问2详解】 ， 则， ①当时，令，得， 当变化时，的变化情况如下表 1 + 0 单调递增 单调递减 所以有极大值，没有极小值； ②当时，令，得， 当即时， 当变化时，的变化情况如下表 1 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极小值为，极大值为； 当即时，没有极值； 当即时， 当变化时，的变化情况如下表 1 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极小值为，极大值为； 综上所述， 当时，有极大值，没有极小值； 当时，的极小值为，极大值为； 当时，没有极值； 当时，的极小值为，极大值为； 【小问3详解】 恒成立，即恒成立， 令，即恒成立，则， 当时，，所以函数在上单调递减， 又因为， 所以，当时，，不符合题意； 当时，令，则，令，则， 所以函数得在上单调递增，在上单调递减， 所以，只需，即， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使，只能，即， 综上，要使不等式恒成立，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市第一中学2025-2026学年度第二学期 高二第二次月考数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 注意事项： 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 ． 2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数z满足（其中i为虚数单位），则z在复平面上对应的点位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 2. 已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的有（ ） A. a＝0.1 B. P(X≥2)＝0.7 C. P(X≥3)＝0.4 D. P(X≤1)＝0.3 3. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（ ） A. 或1 B. 2或 C. D. 1 6. 唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 364 B. 365 C. 728 D. 730 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 掷一个均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为，恰好出现次正面的概率记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. ，，，，中最大值为 11. 在数列中，，，，是数列的前项和，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量ξ服从正态分布，若，则________ . 13. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 14. 黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”．在平面直角坐标系中的“优美椭圆”的左右顶点分别为，点是椭圆上异于左右顶点的动点，设直线的斜率分别为，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 手机聊天软件是现代生活信息交流的重要工具，随机抽取使用手机聊天软件的100人进行调查，得到数据统计表如下:每天使用手机聊天软件时间在2h以上的人被定义为“手机聊天软件依赖”，不超过2h的人被定义为“非手机聊天软件依赖”.已知“非手机聊天软件依赖”与“手机聊天软件依赖”的人数比恰为3∶2. 使用手机聊天软件时间/h 频数 频率 5 0.05 15 0.15 15 0.15 x p 30 0.30 y q 合计 100 1.00 （1）求出x，y，p，q的值. （2）为进一步了解使用手机聊天软件对日常工作和生活是否有影响，从100人中用分层随机抽样的方法确定10人.若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“手机聊天软件依赖”的人数为X，求X的分布列及其数学期望. 16. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点 （1）求抛物线C的方程； （2）若直线为的准线，判断以MN为直径的圆与直线是什么位置关系?请说明理由. 18. 某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. （2）记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； 19. 已知函数. （1）当时，求函数零点的个数； （2）求函数的极值； （3）若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $