广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

试卷第 1 页，共 4 页 新会一中 2024－2025 学年第二学期月考（二） 高二级数学试题 命题人：梁必文 审题人：李振能 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．在一个关于AI 智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI 模型A ， B ，C .模型A 的准确率为 0.8，模 型 B 的准确率为 0.75，模型C 的准确率为 0.7.已知选择模型A ， B ，C 的概率分别为0.4 ，0.4 ，0.2 .现 随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ） A．0.56 B．0.66 C．0.76 D．0.86 2． 7 2 x x   −    的展开式中 x 的系数是（ ） A．560 B． 560− C．280 D． 280− 3．已知函数 21( ) ln 2 f x x x= + ，函数 ( )f x 在[1, ]e 上的最大值为 A． 1 2 B． 2 e C． 1 3 D． 2 1 2 e + 4．在等比数列 na 中， 2 9a = ， 5 243a = ，则首项 1a =（ ） A．3 B． 1 3 C．2 D． 1 2 5．有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取两件，若 X 表示取得次品的件数，则 ( 2)P X  =（ ） A． 7 15 B． 8 15 C． 14 15 D．1 6．如图，用 4 种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两 个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ） A．48 B．56 C．72 D．256 7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载；一年有二十四个节气，每 个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量 影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或 增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷 长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ） A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 试卷第 2 页，共 4 页 C．立春的晷长与立秋的晷长相同 D．立冬的晷长为一丈五寸 8．小王家附近有 A，B两家超市，小王第一次购物时从两家超市中随机选择一家，且去每家超市的概率相 等.如果他第一次购物时去 A超市，那么第二次购物去 A超市的概率为 0.7，如果他第一次购物时去 B超市， 那么第二次购物去 A超市的概率为 0.6，则小王第二次购物去 B超市的概率是（ ） A．0.65 B．0.6 C．0.4 D．0.35 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列各式中与排列数Amn 相等的是（ ） A． ( ) ! ! n n m− B． ( 1)( 2) ( )n n n n m− − − C． 1 A 1 m nn n m − − + D． 1 1 1A A m n n − − 10．已知 5 2 5 0 1 2 5(1 2 )x a a x a x a x− = + + + + ，则下列说法正确的是（ ） A． 0 1a = B． 3 80a = − C． 1 2 3 4 5 1a a a a a+ + + + = − D． 0 2 4 121a a a+ + = 11．记 ( )f x 、 ( )g x 分别为函数 ( )f x 、 ( )g x 的导函数，若存在 0x R，满足 ( ) ( )0 0f x g x= 且 ( ) ( )0 0f x g x = ，则称 0x 为函数 ( )f x 与 ( )g x 的一个“S点”，则下列说法正确的为（ ） A．函数 ( ) exf x = 与 ( ) 1g x x= + 存在唯一“S点” B．函数 ( ) lnf x x= 与 ( ) 2g x x= − 存在两个“S点” C．函数 ( )f x x= 与 ( ) 2 2 2g x x x= + − 不存在“S点” D．若函数 ( ) 2 1f x ax= − 与 ( ) lng x x= 存在“S点”，则 e 2 a = 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12． 8( 2 )x y− 的展开式中 6 2x y 的系数为 （用数字作答）. 13．天津有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从包子、麻花、炸 糕、素卷圈、锅巴菜、大饼卷一切这 6 种美食中随机选择品尝，每天至少品尝一种且每天不重样，若三天 后他品尝完这 6 种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为 ． 试卷第 3 页，共 4 页 14．设 ( ) ( ) 3 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2x x a a x a x a x a x− + = + + + + ，则 1 a ＝ ， 2 3 4 2 3 4a a a+ + ＝ . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分 13 分）已知在 2 1 1 2 n x x   −    的展开式中，第 9 项为常数项，求： (1) n的值；(2)展开式中 5x 的系数；(3)含 x 的整数次幂的项的个数. 16．（本小题满分 15 分）甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投 2 次，甲先投， 若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为 1 4 ，乙每次投中的概率为 1 3 ，求： (1)乙投篮次数不超过 1 的概率； (2)记甲、乙两人投篮次数总和为 ξ，求 ξ的分布列. 17．（本小题满分 15 分）已知函数 ( ) 2 3ln 1f x x x x = − − + . (1)求函数 ( )f x 的单调区间； (2)求 ( )f x 在区间 21,e  上的值域. 试卷第 4 页，共 4 页 18．（本小题满分 17 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 ( )1 1 13, 1n n na S S n a+ += + = + . (1)求 na 的通项公式； (2)若 1 1 n n n b a a + = ，求数列 nb 的前n 项和 nT . 19．（本小题满分 17 分）已知函数 ln ( ) x f x x = ， ( )g x ax b= + ，设 ( ) ( ) ( )F x f x g x= − ． （1）若 1a = ，求 ( )F x 的最大值； （2）求 ( )f x 在[2 , ] ( 2)m m  上的最小值； （3）若 ( )F x 有两个不同的零点 1 2,x x ，求证： ( ) ( )1 2 1 2 2x x g x x+ +  . 答案第 1 页，共 9 页 《高二下第二次月考数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D A C A C D 题号 9 10 11 答案 AD ABD ACD 1．C 【分析】直接由全概率公式进行计算即可求解. 【详解】由全概率公式可知，所求准确率为 0.4 0.8 0.4 0.75 0.7 0.2 0.76P =  +  +  = . 故选：C. 2．D 【分析】求出展开式的通项，再令 x 的指数等于1，即可得解. 【详解】 7 2 x x   −    展开式的通项为 7 7 21 7 7 2 C ( 2) C r r r r r r rT x x x − − +   = − = −    ， 令7 2 1r− = ，得 3r = ， 所以展开式中 x 的系数是 3 3 7( 2) C 280− = − ． 故选：D. 3．D 【解析】分析函数的单调性即可求得最大值. 【详解】因为函数 21( ) ln 2 f x x x= + ，则 1 ( )f x x x  = + ， 显然在[1, ]e 上 ( ) 0f x  ，故函数 ( )f x 单调递增， 故 2 2 max 1 ( ) ( ) ln 1 2 2 e f x f e e e= = + = + 故选：D 【点睛】本题考查利用导数求函数（不含参）的最大值，属于基础题. 4．A 【分析】结合等比数列的通项公式即可求出结果. 【详解】因为 35 2 a q a = ， 3 27q = ， 3q = ，所以 2 1 3 a a q = = . 故选：A. 5．C 答案第 2 页，共 9 页 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及古典概率求解即得. 【详解】依题意， ( ) ( ) 2 1 1 7 7 3 2 2 10 10 C C C7 7 0 , 1 C 15 C 15 P X P X= = = = = = 所以 ( ) ( ) 7 7 14 ( 2) 0 1 15 15 15 P X P X P X = = + = = + = . 故选：C 6．A 【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数. 【详解】将四个区域标记为 , , ,A B C D ，如下图所示： 第一步涂 : 4A 种涂法，第二步涂 : 3B 种涂法，第三步涂 : 2C 种涂法，第四步涂 : 2D 种涂法， 根据分步乘法计数原理可知，一共有4 3 2 2 48   = 种着色方法. 故选：A. 7．C 【分析】根据所给条件结合数列的性质，进行分析判断即可得解. 【详解】由题意知：设晷长为等差数列 na ，公差为d ， 则 1 135a = ， 13 15a = ，解得 10d = − . ∴相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故 A 正确. 秋分的晷长为： 7 75a = ，春分的晷长为：75， 春分和秋分两个节气的晷长相同，故 B 正确. 立春的晷长为 105，立秋的晷长为 45，故 C 不正确. 立冬的晷长为： 4 105a = 即为一丈五寸，故 D 正确. 故选：C. 8．D 【分析】根据题意，结合条件概率和全概率公式，准确计算，即可求解. 答案第 3 页，共 9 页 【详解】解：设 1A = “第一次购物去 A超市”， 1B = “第一次购物去 B超市”， 2A = “第二次购 物去 A超市”， 2B =“第二次购物去 B超市”， 由题可知 ( ) ( )1 1 0.5P A P B= = ， ( )2 1 0.7P A A = ， ( )2 1 0.6P A B = ， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 1 0.5 0.7 0.5 0.6 0.65P A P A P A A P B P A B= + =  +  = ， 所以 ( ) ( )2 21 0.35P B P A= − = ． 故选：D. 9．AD 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于 A，由排列数公式知， ! ( )! Amn n n m = − ，A 正确； 对于 B，A ( 1)( 2) ( 1) m n n n n n m= − − − + ，B 错误； 对于 C， 1 ( 1)! A !( 1 )! A 1 1 ( 1)( 1)! m mn n n n n nn m n m n m n m n m − −  − − = =  − + − + − + − − ，C 错误； 对于 D， 1 1 1 ( 1)! ! A A A [( 1) ( 1)]! ( )! m m n n n n n n n m n m − − − =  = = − − − − ，D 正确. 故选：AD 10．ABD 【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A， 取 0x = , 则 0 1a = ，则 A 正确； 对 B，根据二项式展开通式得 5(1 2 )x− 的展开式通项为 ( )55C 1 2 rr r x− − ，即 ( )5C 2 rr rx −  ，其中 0 5, Nr r   所以 3 3 3 5C ( 2) 80a = − = − ，故 B 正确； 对 C，取 1x = ，则 0 1 2 3 4 5 1a a a a a a+ + + + + = − ， 则 1 2 3 4 5 01 2a a a a a a+ + + + = − − = − ，故 C 错误； 对 D，取 = 1x − ，则 5 0 1 2 3 4 5 3 243a a a a a a− + − + − = = ， 将其与 0 1 2 3 4 5 1a a a a a a+ + + + + = − 作和得 ( )0 2 42 242a a a+ + = ， 所以 0 2 4 121a a a+ + = ，故 D 正确； 故选：ABD. 答案第 4 页，共 9 页 11．ACD 【分析】令 ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ，求出 ( )h x ，利用“S点”的定义逐项判断，可得出合适的选 项. 【详解】令 ( ) ( ) ( )h x f x g x= − . 对于 A 选项， ( ) e 1xh x x= − − ，则 ( ) e 1xh x = − ， 由 ( ) 0h x  可得 0x  ，由 ( ) 0h x  可得 0x  ， 所以，函数 ( )h x 在 ( ),0− 上单调递减，在 ( )0, + 上单调递增， 所以， ( ) ( ) 00 e 0 1 0h x h = − − = ，所以， ( ) ( )0 0 0h h = = ， 此时，函数 ( ) exf x = 与 ( ) 1g x x= + 存在唯一“S点”，A 对； 对于 B 选项， ( ) ln 2h x x x= − + ，则 ( ) 1 1 1 x h x x x − = − = ， 函数 ( )h x 的定义域为 ( )0, + ，令 ( ) 0h x = 可得 1x = ，且 ( )1 ln1 1 2 1 0h = − + =  ， 所以，函数 ( ) lnf x x= 与 ( ) 2g x x= − 不存在“S点”，B 错； 对于 C 选项， ( ) ( )2 22 2 2h x x x x x x= − + − = − − + ，则 ( ) 2 1h x x = − − ， 令 ( ) 0h x = 可得 2 2 0x x+ − = ，解得 1x = 或 2− ，但 ( )1 3 0h = −  ， ( )2 3 0h − =  ， 此时，函数 ( )f x x= 与 ( ) 2 2 2g x x x= + − 不存在“S点”，C 对； 对于 D 选项， ( ) 2 ln 1h x ax x= − − ，其中 0x  ，则 ( ) 1 2h x ax x  = − ， 若函数 ( ) 2 1f x ax= − 与 ( ) lng x x= 存在“S点”，记为 0x ， 则 ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 ln 1 0 1 2 0 h x ax x h x ax x  = − − =   = − =  ，解得 0 1 e e 2 x a  =   =  ，D 对. 故选：ACD. 12．112 【分析】由二项式定理展开即可求出 6 2x y 的系数. 【详解】因为( ) 8 2x y- 的展开式中含 6 2x y 的项为 ( ) 22 6 6 2 8C 2 112x y x y− = ， 答案第 5 页，共 9 页 ( ) 8 2x y- 的展开式中 6 2x y 的系数为 112. 故答案为：112. 13．540 【分析】将品尝的 6 种美食分组为{1,1,4}、{1,2,3}、{2,2,2}三种情况，应用排列组合数依 次求出不同分组情况下不同的选法种数，即可得. 【详解】由题意，三天各品尝种数有{1,1,4}、{1,2,3}、{2,2,2}三种情况， 若{1,1,4}分组，先从 6 种美食选 4 种有 4 6C 15= 种， 再把它与其它两种美食安排在三天品尝有 3 3A 6= 种，故共有15 6 90 = 种； 若{1,2,3}分组，先从 6 种美食选 3 种有 3 6C 20= 种，再从余下 3 种美食选 2 种有 2 3C 3= 种， 把它们与余下的一种美食安排在三天品尝有 3 3A 6= 种，故共有20 3 6 360  = 种； 若{2,2,2}分组，将 6 种美食平均分成 3 份有 2 2 2 6 4 2 3 3 C C C 15 A = 种， 再把它们安排在三天品尝有 3 3A 6= 种，故共有15 6 90 = 种； 综上，一共有90 360 90 540+ + = 种. 故答案为：540 14． －4 31 【详解】因 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 2 2 2x x x x x− + = + − + ， 则 3 3 2 2 1 3 3 2 2 4C Ca =  −  = − . 注意到 ( ) ( ) ( ) 3 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2x x a a x a x a x a x   − + = + + + +    = ( ) ( ) 22 3 1 2 3 4 2 3 4 2 4 1a a x a x a x x x+ + + = + − ，令 1x = ， 得 1 2 3 42 3 4 27a a a a+ + + = ，又 1 4a = − ，得 2 3 42 3 4a a a+ + 31= . 故答案为： 4− ；31. 答案第 6 页，共 9 页 15．解:（1）由已知得二项展开式的通项为 2 2 2 1 5 1 1 1 C ( 1) C 2 2 kn k n k n k k k k k n nT x x x − − − +      =  − = −            …….3 分 0,1,2, ,k n= .…….4 分 因为第 9 项为常数项，所以当 8k = 时， 5 2 0 2 n k− = ， …….5 分 即 2 20 0n − = ，解得 10n = . …….6 分 （2）由（1）知 10 5 20 2 1 10 1 ( 1) C 2 k k k k kT x − − +   = −     ， 令 5 20 5 2 k− = ，得 6k = ，所以 5x 的系数为 4 6 10 6 8 ( ) 105 2 1 1 C  −  =   .……….8 分 （3）要使 5 20 2 k− 为整数，只需 k为偶数 …………….10 分 由于0 10k  ，k∈N，………………………….11 分 因此含 x的整数次幂的项共有 6 项，分别为展开式的第 1，3，5，7，9，11 项. ……….13 分 16．解:（1）记“甲投篮投中”为事件 A，“乙投篮投中”为事件 B. ……………….2 分 “乙投篮次数不超过 1”包括三种情况： 第一种是甲第 1 次投篮投中，第二种是甲第 1 次投篮未投中而乙第 1 次投篮投中， 第三种是甲、乙第 1 次投篮均未投中而甲第 2 次投篮投中. 故所求的概率 ( ) ( ) ( )( )P P A A B A B A P A P A B P A B A= +  +   = +  +   ……………….4 分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 2 1 5 4 4 3 4 3 4 8 P A P A P B P A P B P A= + + = +  +   = . ……………….6 分 所以乙投篮次数不超过 1 的概率为 5 8 ………………………….7 分 （2）甲、乙投篮次数总和 ξ的值为 1，2，3，4， ………………….9 分 ( ) ( ) 1 1 4 P P A = = = ， ( ) ( ) 3 1 1 2 4 3 4 P P A B = =  =  = ， ( ) ( ) 3 2 1 1 3 4 3 4 8 P P A B A = =   =   = ， ( ) ( ) 3 2 3 3 4 4 3 4 8 P P A B A = =   =   = .……….13 分 所以甲、乙投篮次数总和 ξ的分布列为 ……………….15 分（列表） ξ 1 2 3 4 P 1 4 1 4 1 8 3 8 答案第 7 页，共 9 页 17．解:（1）函数 ( )f x 的定义域是 ( )0, + ，…………….1 分 ( ) ( )( )2 2 2 2 1 22 3 3 2 1 x xx x f x x x x x − −− + = = + − = . …………….2 分 令 ( ) 0f x = ，解得 1x = 或 2x = . …………….3 分 当 x变化时， ( )f x ， ( )f x 的变化情况如下表： x ( )0,1 1 ( )1,2 2 ( )2,+ ( )f x + 0 − 0 + ( )f x 极大值 极小值 所以 ( )f x 的单调递增区间为 ( )0,1 ， ( )2,+ ，单调递减区间为 ( )1,2 .…………….7 分 （2）由（1）可知在区间 ( )21,e 内，当 2x = 时， ( )f x 取得极小值. …………….9 分 由 ( )1 0f = ， ( )2 2 3ln 2f = − ， ( )2 2 2 2 e e 5 e f = − − ， …………….13 分 得 ( ) ( ) ( )22 1 ef f f  ， …………….14 分 所以 ( )f x 在区间 21,e  上的值域为 2 2 2 2 3ln 2,e 5 e   − − −    .…………….15 分 18．(1) 3na n= ；(2) 9 9 n n+ 【详解】（1）当 1n = 时， 2 1 22S S a+ = ，解得 2 12 6a a= = . …………….1 分 当 2n  时，由 ( )1 11n n nS S n a+ ++ = + ，得 1−+ =n n nS S na ， …………….2 分 两式相减得 ( )1 11n n n na a n a na+ ++ = + − ，即 1 1n n a n a n + += ， …………….4 分 利用累乘可得 32 4 1 2 3 1 6 3 4 3 2 3 1 n n a aa a n a a a a n−    =     − ， …………….6 分 即 1 na n a = ，因为 1 3a = ，所以 3na n= ； …………….8 分 所以 na 的通项公式为 3na n= .………9 分 （2）由（1）可知，裂项可得 ( )1 1 1 1 1 1 9 1 9 1 n n n b a a n n n n+   = = = −  + +  ， …………….13 分 则 1 1 1 1 1 1 1 9 2 2 3 1 9 9 n n T n n n   =  − + − + + − =  + +  . …………….16 分 答案第 8 页，共 9 页 所以数列 nb 的前n项和 9 9 n n T n = + …………………………….17 分 19．【详解】解： ln ( ) ( ) ( ) x F x f x g x ax b x = − = − − ，定义域 (0, )+ （1）解：当 1a = 时， ln ( ) x F x x b x = − − ，所以 2 1 ln ( ) 1 x F x x −  = − ． -----------1 分 2 2 2 1 ln 1 ln ( ) 1 x x x F x x x − − −  = − = ，记 2( )=1 lnx x x − − ， 1 ( )= 2 0x x x  − −  -----------2 分 所以 2( )=1 lnx x x − − 在 (0, )+ 上单调递减，又 (1)=0, 所以 (1) 0F  = ， -----------3 分 当0 1x  时， ( ) 0F x  ， ( )F x 单调递增； 当 1x  时， ( ) 0F x  ， ( )F x 单调递增减． -----------4 分 所以 ( )F x 的最大值为 (1) 1F b= − − ． -----------5 分 （2）函数 ln ( ) x f x x = ． 2 1 ln ( ) x f x x −  = ． 所以： (0, )x e 时， 2 1 ln ( ) 0 x f x x −  =  ， ( , )x e + 时， 2 1 ln ( ) 0 x f x x −  =  ， -----------6 分 所以： ( )f x 在 (0, )e 上单调递增，在 ( , )e + 上单调递减， 当 2 m e 时， ( )f x 在[2， ]m 递增，所以 ( )f x 最小值为 ( ) ln 2 2 2 f = ， -----------7 分 当m e 时， ( )f x 在[2， ]e 递增， ( )f x 在[e， ]m 递减， 所以： ( ) ( ) ln 4 ln 2 4 2 4 2 f f= = = ， 所以： 4e m  时， ( )f x 最小值为 ( ) ln 2 2 2 f = ， -----------8 分 4m  时， ( )f x 最小值为 ( ) ln f m m m = ， -----------9 分 综上所述，2 4m 时， ( )f x 最小值为 ( ) ln 2 2 2 f = ， 4m  时， ( )f x 最小值为 ( ) ln f m m m = ， -----------10 分 （3）证明：由题知， 1 2 1 2 1 2 ln lnx x ax b ax b x x = + = +， ， 即 2 1 1 1ln x ax bx= + ， 2 2 2 2ln x ax bx= + ， 可得 2 1 2 1 2 1ln ln ( )[ ( ) ]x x x x a x x b− = − + + ． -----------11 分 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 ( )x x g x x a x x b x x + +   + +  + 2 1 2 1 1 2 ln ln 2x x x x x x −   − + ． -----------12 分 不妨 1 20 x x  ，则上式进一步等价于 2 2 1 1 2 1 2( ) ln x x x x x x −  + ． -----------13 分 答案第 9 页，共 9 页 令 2 1 x t x = ，则只需证 2( 1) ln ( 1) 1 t t t t −   + ． -----------14 分 设 2( 1) ( ) ln ( 1) 1 t t t t t  − = −  + ， 2 2 ( 1) ( ) 0 ( 1) t t t t  −  =  + ， -----------15 分 所以 ( )t 在 (1 + )， 上单调递增， 从而 ( ) (1) 0t  = ，即 2( 1) ln ( 1) 1 t t t t −   + ，故原不等式得证． -----------17 分 【点睛】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力； 考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，属于难题．