第1章三角形（专题一：全等三角形的动点问题）学案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 第1章三角形 （专题一：全等三角形的动点问题） 【典型例题】 【例1】如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（ ） A. 18 B. 70 C. 88或62 D. 18或70 【例2】如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【例3】已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒2cm的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8cm的速度从B点出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接PA，当t的值为___________________秒时， PAB和QAD全等． 【例4】如图，点C在线段上，于B，于D．，且，点P以的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为______________． 【例5】在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“”字形框架，其中，，足够长，于点A，于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为，运动到某一瞬间两点同时停止，在上取点C，使与全等．求的长度． 【例6】 如图，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． （1）直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【举一反三】 【变式1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，∠BAE＝α，则∠AEF＝　　（用含α的式子表示）． 【变式2】如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【变式3】如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【变式4】如图，在中，，，，P、Q是边AC、BC上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当 秒时，和全等． 【变式5】如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 （1）求证： （2）写出线段的长（用含t的式子表示）， 【变式6】如图，在中，，，，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段上向点A运动，连接、，设D、E两点运动时间为t秒（）． （1）运动　　　秒时，； （2）运动多少秒时，能成立，并说明理由； （3）若，，则　　　（用含α的式子表示）． 【巩固练习】 1.如图已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时，的值为（       ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 2.如图，点C在线段上，于点于点，且，点P从点A开始以的速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，同时停止运动．过分别作的垂线，垂足分别为．设运动的时间为，当以三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（       ）s． A．1 B．1或2 C．1或 D．1或或 3.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　 　秒时，△PEC与△QFC全等． 4.如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值为 ． 5.如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 6.如图，在Rt中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F． （1）求证：∠A=∠BCD （2）当CF=AB时，点E运动多长时间？并说明理由． 7.如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， （1）CP的长为 cm（用含t的代数式表示）； （2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值． 8.如图，已知，A是射线上一点，．动点从点A出发，以1cm/s速度沿水平向左运动，与此同时，动点从点出发，也以1cm/s的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形．设运动时间为，其中． （1）当与全等时，求的值； （2）点是否在平分线上，若在，写出证明过程；若不在，请说明理由； 9.如图，在四边形中，，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）试证明：． （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有与全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，与全等． 10.已知，．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在上由点B向点D运动．它们运动的时间为． （1）如图①，，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 11.如图，在直角三角形中，，直线．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动．动点D以的速度在直线上运动，已知，设动点D，E的运动时间为． （1）当点D沿射线运动时，若，求t的值． （2）当动点D在直线上运动时，若与全等，求t的值． 12.如图，在中，，高、相交于点O，，且． （1）求线段的长； （2）动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（ ） A. 18 B. 70 C. 88或62 D. 18或70 【答案】D 【例2】如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【例3】已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒2cm的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8cm的速度从B点出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接PA，当t的值为___________________秒时， PAB和QAD全等． 【答案】0.8秒或． 【例4】如图，点C在线段上，于B，于D．，且，点P以的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为______________． 【答案】1或或 【例5】在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“”字形框架，其中，，足够长，于点A，于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为，运动到某一瞬间两点同时停止，在上取点C，使与全等．求的长度． 【答案】设，则， ∵，使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 情况二：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 【例6】 如图，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． （1）直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【答案】（1）解：由题意得：∵，，点P在线段上以速度由B点向C点运动． ∴①；②， ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动 ∴③， 故答案为： 【小问2详解】 解：，，，， ， 分两种情况： ①若， 则， ， ， ②若， 则， ， ． 综上所述，的值为6、的值为2或的值为4、的值为1． 【举一反三】 【变式1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，∠BAE＝α，则∠AEF＝　　（用含α的式子表示）． 【答案】90°﹣α 【变式2】如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】或 【变式3】如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】5或 【变式4】如图，在中，，，，P、Q是边AC、BC上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当 秒时，和全等． 【答案】①时，点P从C到A运动，则， 当时， 则， 即，解得：， ②时，点P从A到C运动，则， 当时， 则， 即， 解得：， 综上所述：当秒或6秒时，． 故答案为：3或6． 【变式5】如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 （1）求证： （2）写出线段的长（用含t的式子表示）， 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵点P从点A出发，沿方向以的速度运动， ∴． 【变式6】如图，在中，，，，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段上向点A运动，连接、，设D、E两点运动时间为t秒（）． （1）运动　　　秒时，； （2）运动多少秒时，能成立，并说明理由； （3）若，，则　　　（用含α的式子表示）． 【答案】（1）解：由题可得，， ，， 当时，， 解得， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：运动2秒时，能成立，理由如下： 当时，， ∴， 在和中 ∴； 【小问3详解】 解：当时，， 又，， ， 又，， ． 故答案为：． 【巩固练习】 1.如图已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时，的值为（       ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】D 2.如图，点C在线段上，于点于点，且，点P从点A开始以的速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，同时停止运动．过分别作的垂线，垂足分别为．设运动的时间为，当以三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（       ）s． A．1 B．1或2 C．1或 D．1或或 【答案】C 3.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　 　秒时，△PEC与△QFC全等． 【答案】 4.如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值为 ． 【答案】1秒或2秒 5.如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 【答案】如图所示， 当，，时，， ∴， ∴点运动时间为， ∴点运动的速度为； 如图所示， 当，时，， ∴， ∴点运动的时间为， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 6.如图，在Rt中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F． （1）求证：∠A=∠BCD （2）当CF=AB时，点E运动多长时间？并说明理由． 【答案】（1）∵∠ACB=90°，CD为AB边上的高， ∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD； （2）如图，当点E在射线BC上移动时， ∵∠A＝∠BCD，∠FCE＝∠BCD， ∴∠A＝∠FCE， 在△CFE与△ABC中， ， ∴△CFE≌△ABC（AAS）， ∴CE＝AC=7（cm）， ∴BE＝BC+CE＝5+7=12（cm）， ∴点E的运动时间=12÷2=6（s）； 当点E在射线CB上移动时，如图， 在△CF′E′与△ABC中， ， ∴△CF′E′≌△ABC（AAS）， ∴CE′＝AC=7（cm）， ∴BE′＝7－5=2（cm）， ∴点E的运动时间=2÷2=1（s）； 综上，当点E运动 6s或1s时，CF＝AB． 7.如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， （1）CP的长为 cm（用含t的代数式表示）； （2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值． 【答案】（1）（1）PC=BC-BP=10-4t ； （2）当△BEP≌△CPQ时有BE=CP，BP=CQ，∴6=10-4t，4t=at，∴t=1,a=4， 当△BEP≌△CQP时有BP=CP，BE=CQ，∴10-4t=4t，6=at，∴t=1.25，a=4.8， ∴a的值为4或4.8； 8.如图，已知，A是射线上一点，．动点从点A出发，以1cm/s速度沿水平向左运动，与此同时，动点从点出发，也以1cm/s的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形．设运动时间为，其中． （1）当与全等时，求的值； （2）点是否在平分线上，若在，写出证明过程；若不在，请说明理由； 【答案】（1）解：根据题意得：当与全等时，为等腰直角三角形，即OQ=OP， ∵点从点A出发，以1cm/s的速度沿水平向左运动，与此同时，动点从点出发，也以1cm/s的速度沿竖直向上运动， ∴ ， ∵． ∴ ， ∴ ，解得： ， 即当与全等时，的值为5； 【小问2详解】 解：点是在的平分线上，理由如下： 如图，过点C作CD⊥ON于点D，CE⊥OA于点E， ∵CD⊥ON，CE⊥OA，， ∴∠CDO=∠CEO=∠CEP=∠MON=90°， ∴∠DCE=90°， ∵是等腰直角三角形， ∴CQ=CP，∠PCQ=∠DCE=90°， ∴∠DCQ=∠PCE， ∴△DCQ≌△ECP， ∴CD=CE， ∵CD⊥ON，CE⊥OA， ∴点是在的平分线上； 9.如图，在四边形中，，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）试证明：． （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有与全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，与全等． 【答案】（1）证明：在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：设运动时间为t，点G的运动速度为v， 当时， 若， 则 ， ∴，解得：， ∴； 若，则， ∴， ∴（舍去）； 当时，若， 则， ∴， ∴ ， ∴； 若， 则， ∴， ∴ ， ∴． 答：当点G的运动速度为每秒3个单位长度或个单位长度或1个单位长度时，会有与全等． 10.已知，．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在上由点B向点D运动．它们运动的时间为． （1）如图①，，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：当时，与全等，此时．理由如下： ，点与点的运动速度均为以， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：点的运动速度为，运动的时间为， ∴， 点在上以的速度由点向点运动， ，则， 又， 当与全等时，有以下两种情况： ①当，时，， ， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， 当，时，和全等； ②当，时，， 由于，因此，此时点与点重合，如图所示： 由，得：， 解得：， 由，得：， 将代入，得． 当，时，和全等． 综上所述：当，或，时，和全等． 11.如图，在直角三角形中，，直线．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动．动点D以的速度在直线上运动，已知，设动点D，E的运动时间为． （1）当点D沿射线运动时，若，求t的值． （2）当动点D在直线上运动时，若与全等，求t的值． 【答案】（1）解：过点B作， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 检验知，都是所列方程的解， ∴的值为； 【小问2详解】 解：当与全等时， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 12.如图，在中，，高、相交于点O，，且． （1）求线段的长； （2）动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）、是的高， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ； 【小问2详解】 ，， ，， 设，， ①如图1，当点在线段上时，， ， 的取值范围是， ②如图2，当点在射线上时，， ， 的取值范围是； 综上， 【小问3详解】 存在； ①如图3中，当时， ，， ， ， ， 解得： ； ②如图4中，当时， ，， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，或时，． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $