四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一下学期6月期末测试数学试题

**基本信息** 该试卷覆盖高一数学核心内容，以复数、向量、统计、立体几何等为载体，融入环保知识竞赛、汽车抽样调查等真实情境及棋盘游戏创新应用，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达的素养融合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数共轭、弹簧振子模型、向量性质、统计百分位数等|基础概念辨析，如斜二测画法还原直观图| |多选题|3|复数运算、正方体动态问题、统计图表分析|分层考查空间观念与数据意识，如正方体中四点共面判断| |填空题|4|分层抽样、方差、球与三棱锥|聚焦运算能力，如球体积与三棱锥面积关联| |解答题|5|向量运算、统计应用、立体几何翻折、解三角形、三角函数图像|梯度设计，从基础运算（向量模）到创新探究（棋盘游戏函数应用），突出推理能力与模型意识|

仁寿一中南校区2028届高一下学期期末测试 数学试卷 2026-6-29 一、单选题 1．设复数，则z的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 2．已知某弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（   ） A．振幅是2，初相是 B．振幅是-2，初相是 C．振幅是-2，初相是 D．振幅是2，初相是 3．关于向量，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 4．已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 5．如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 6．已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 8． （ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B． C．若，则 D．若，则 10．在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（   ） A．过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形 B．C、M、N、Q四点共面 C．直线与所成角余弦值 D．三棱锥的体积是定值 11．某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 C．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 三、填空题 12. 某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人． 13．已知三个数值的方差是1，对任意的最小值是 。 14．已知球O的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________________. 四、解答题 15．已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 16．为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． (1)求a的值； (2)从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； (3)认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 17．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 18．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A． (1)求的值； (2)若，，求的面积； (3)若，求实数k的取值范围． 19．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向上平移两个单位长度得到函数．求函数的解析式与对称中心． (2)已知（），求的值． (3)已知，高2025级数学节利用函数进行了一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，开始时将一颗棋子置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第n（，）步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求实数λ的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区2028届高一下学期期末测试 数学试卷 一、单选题 1．设复数，则z的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由复数得，则其虚部为4. 2．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（   ） A．振幅是2，初相是 B．振幅是4，初相是 C．振幅是2，初相是 D．振幅是2，初相是 【答案】D 【详解】由题意，振幅是2，初相是. 3．关于向量，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，只说明向量模长相等，但向量的方向不一定相同，所以不一定等于，A错误； 对于B，若，零向量和任意向量平行，此时、，但与不一定平行，B错误； 对于C，说明与方向相反，方向相反的两个向量是平行向量，即，C正确； 对于D，向量既有大小又有方向，向量不能直接比较大小，只有模长可以比较，D错误． 4．已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【详解】由题知，解得， 所以这组数据为，，，，，. 又因为，所以这组数据的第百分位数为第四个数. 5．如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题意可得还原后如下： 中，， 所以， 所以， ，，， 则. 6．已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据平面向量平行性质，，，，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 7．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由解得：， 所以圆锥的表面积为. 8． （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 ． 二、多选题 9．已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于，因为当时，，选项A正确； 对于B，设，， ， 则 ， ，所以，选项B正确； 对于C，当，，则，但， ，，选项C错误． 对于D，，时，，但，选项D错误． 故选：AB. 10．在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（   ） A．过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形 B．C、M、N、Q四点共面 C．直线与所成角余弦值 D．三棱锥的体积是定值 【答案】BCD 【详解】对于A选项，平面，平面， 而与异面，A正确； 对于B选项，M为底面的中心， 与确定平面，平面， 、M、N、Q四点共面于平面，B正确； 对于C选项，当Q与重合时，余弦值最大，当Q为A中点时，余弦值最小为0,故C正确； 对于D选项，（定值），D正确． 11．某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 根据图表，列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 C．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】BD 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故B正确； 对于C，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故C错误； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 三、填空题 12. 某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人． 13．已知三个数值的方差是1，对任意的最小值是 。 设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____ 【答案】 【详解】因为在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以， 所以. 14．已知球O的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________________. 【答案】答案： 【详解】设球O的半径为R，由球的体积公式得，解得.由为等边三角形，，可知四面体是正三棱锥.设等边三角形ABC的外接圆半径为r，的边长为a，则，正三棱锥的高.球心O必在外接圆的圆心与顶点D的连线上，满足几何关系，即，得，故，因此的面积. 15．已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 【详解】（1），； （2）， ，因为， 所以， 即. 16．为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． (1)求a的值； (2)从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； (3)认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1， 可得，解得， （2）估计本次竞赛成绩的众数为分， 估计本次竞赛成绩的平均数为 分. （3）由题意，成绩位于前百分之六十的考生为良好，则良好认定的分数线是第40百分位数， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为， 设第40百分位数为，则， 则，解得， 因此，估计良好认定的分数线为68分. 17．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为在等腰梯形ABCD中， ，，E是BC的中点， 所以四边形ABED为菱形，所以， 又，所以，， 又，平面， 所以平面； （2）由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以，又， 所以即为二面角的平面角， 在直角三角形中，，所以，所以； （3）假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点P作交于Q，连接MP，AQ，如下图所示： 所以，即可得A，M，P，Q四点共面， 又因为平面，平面平面， 平面，所以， 所以四边形AMPQ为平行四边形，所以，点P为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且， 易知为正三角形，且，所以， 由勾股定理可得， 所以，所以 18．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A． (1)求的值； (2)若，，求的面积； (3)若，求实数k的取值范围． 【详解】（1）由，结合正弦定理可得， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得，所以； （2）因为平分内角A，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，又， 所以，所以，所以，， 又， 所以是直角三角形，且， 所以，又，所以； （3）设，因为， 所以， 若，则， 又，即所以， 又，所以，所以. 所以实数k的取值范围为． 19．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向上平移两个单位长度得到函数．求函数的解析式与对称中心． (2)已知（），求的值． (3)已知，高2025级数学节利用函数进行了一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，开始时将一颗棋子置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第n（，）步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求实数λ的取值范围． 【详解】（1）由图可得，函数的周期满足，即，， 又函数的图象经过点，则有， 即， 解得，因，则，故. 依题意，将的图象向右平移个单位长度，可得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，即得， 再向上平移两个单位长度得到函数. 由，即，故函数的对称中心为. （2）由，可得， 因，则，则， 又，故，则， 则. 则 ， 因， 则有. （3）， 则，即，即棋子的移动周期为4，因， 由正弦函数的单调性，可得. 若中至少有3个大于或等于， 符合题意，此时由可得； 若中只有2个大于或等于，则棋子落在右上角也符合题意， 故，解得. 综上，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $