·2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册8《第2章一元二次方程第4节一元二次方程的应用》预习讲义

本讲义聚焦一元二次方程的应用这一核心知识点，承接方程解法，系统梳理审设列解验答五步解题流程，重点构建增长率、销售利润、几何面积三大题型的等量关系模型，搭建从数学建模到实际问题解决的学习支架。 该资料以真实情境问题为载体，通过自主探究（如增长率公式推导）、易错点预判（如几何边长需为正）培养学生数学眼光（抽象能力）和思维（推理意识），结合中考真题训练提升用数学语言表达实际问题的能力，课中辅助教师突破难点，课后助力学生巩固模型应用，查漏补缺。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册8 《第2章一元二次方程第4节一元二次方程的应用》预习讲义 一．学习目标 ( 1.熟记列一元二次方程解决实际问题的完整步骤，掌握增长率、销售利润、几何面积三大核心应用题型的等量关系模型。 2.能准确从实际问题中提取已知量、未知量，梳理数量关系并建立一元二次方程模型，学会结合实际场景检验方程解的合理性。 3.体会数学建模、转化的核心思想，提升用一元二次方程解决生活实际问题的能力，规避实际应用中常见的取值陷阱。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.掌握列一元二次方程解应用题的规范五步解题流程。 2.熟练掌握增长率问题、销售利润问题、几何图形面积问题的核心等量关系式。 （二） 难点 1.复杂实际问题中隐蔽等量关系的挖掘与梳理。 2.根据实际意义对一元二次方程的两个根进行取舍、检验，排除不符合题意的解。 3.几何图形动态变化问题中，用含未知数的代数式表示图形边长、面积等关键量。 ) 三．知识梳理 （一）核心解题步骤（基础必背） 1.审：认真读题，梳理题目中的已知条件、所求问题，找准题目中不变的等量关系（解题核心依据）。 2.设：合理设未知数，优先设直接未知数（问什么设什么）；复杂题型可设间接未知数，注意标注单位。 3.列：用含未知数的代数式表示相关未知量，根据等量关系列出一元二次方程。 4.解：选择合适的方法（因式分解法、公式法等）解方程，求出未知数的值。 5.验、答：双重检验，先检验解是否满足方程，再检验解是否符合实际生活意义，舍去增根、不合理根，最后规范作答。 【思考】：为什么一元二次方程应用题必须检验根的实际意义？ 答：一元二次方程通常有两个实数根，部分根会出现负数、超出实际范围等情况（如边长、人数、增长率不能为负），不符合实际场景，因此必须取舍。 （二）三大核心题型自主探究（重点） 题型1：增长率（降低率）问题 1.基础公式推导 设初始基数为a，平均增长率为x： 第一次增长后数量：a(1+x) 第二次增长后数量：a(1+x)2 设初始基数为a，平均降低率为x，两次降低后数量：a(1-x)2 2.自主尝试 某商店今年7月营业额为20万元，9月营业额达到24.2万元，若7月到9月每月营业额的平均增长率相同，求月平均增长率。 （1）审题：初始基数a=20，增长次数=2，最终数量=24.2 （2）设未知数：设月平均增长率为x （3）列方程：20(1+x)2=24.2 （4）尝试解方程并检验作答：20(1+x)2=24.2→(1+x)2=1.21→1+x=±1.1→x1=0.1=10％，x2=-1.2（舍去），答：月平均增长率10％。 3.易错点：增长率结果需化为百分数，且必须为正数；降低率取值范围0<x<1。 4.小试牛刀 （2025·贵阳市南明区九上期末）某社区2024年投入环境整治资金60万元，计划2026年投入86.4万元，每年资金的平均增长率相同。 （1）求每年资金的平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2027年需要投入多少万元？ 解：（1）设年均增长率为x， 60(1+x)2=86.4， (1+x)2=1.44, 1+x=±1.2 x1=0.2=20%，x2=-2.2（增长率不能为负，舍去） 答：平均增长率为20%。 （2）86.4×(1+20%)=103.68（万元） 答：2027年投入103.68万元。 题型2：销售利润问题 1.核心等量关系 单件利润 = 单件售价 - 单件进价 总利润 = 单件利润 × 销售数量 规律：商品涨价，销量减少；商品降价，销量增加，需准确用未知数表示变化后的销量。 2.自主尝试 某进价为40元的文创摆件，售价为60元时，每周可卖出300件。已知售价每涨价1元，每周销量减少10件，若想要每周获得8000元利润，每件摆件应涨价多少元？ （1）设未知数：设每件摆件涨价x元 （2）表示相关量：涨价后单件利润=（60+x）元，涨价后销量=（300-10x）件 （3）列方程：（60+x）（300-10x）=8000 （4）尝试解方程并检验作答：x2+30x-1000=0，x1=5，x2=-65（不符合销售实际舍去），答：每件摆件应涨价5元. 3.易错点：需结合实际销售场景取舍根，避免出现涨价过高、销量为负数的情况。 4.小试牛刀 （2026·贵阳市乌当区一模）童装每件进价40元，定价60元时，每月售出200件；每降价5元，每月可以多售出25件。 （1）设每件降价x元，用式子表示单件利润与月销量； （2）每月想要获利4500元，每件应降价多少； （3）从让利顾客的角度，选择最合适的降价方案。 解：（1）单件利润：60-x-40=20-x；每降1元多卖5件，销量：200+5x （2）(20-x)(200+5x)=4500 4000+100x-200x-5x2=4500 x2+20x+100=0 (x-10)2=0, x=10 答：每件降价10元。 （3）只有唯一解，降价10元最适合让利销售。 题型3：几何图形面积问题 1.解题核心：结合矩形、正方形等图形的面积公式，通过平移、割补思想，用含未知数的式子表示图形边长，建立面积方程。 2.自主尝试 现有一块长80cm、宽50cm的矩形风景画，要在四周镶一条宽度相同的金色边框，制成矩形挂图，若挂图总面积为5400cm2，求边框的宽度。 （1）设未知数：设边框宽度为xcm （2）平移分析：镶边后挂图的长=（80+2x）cm，宽=（50+2x）cm （3）根据面积公式列方程：（80+2x）（50+2x）=5400 （4）尝试解方程并检验作答：x2+65x-350=0，x1=5，x2=-70（不符合销售实际舍去），答：边框的宽度为5cm. 3.易错点预判：几何边长必须为正数，且变化后的边长不能小于0，需严格取舍根。 4.小试牛刀 （2025·贵阳市云岩区九上期中）一块矩形风景画长70cm，宽50cm，在四周镶一圈等宽的装饰边框，镶完之后的总面积是4032cm2。 （1）设边框宽度为xcm，列出方程_________________； （2）求出边框的宽度。 解：（1）镶边后长：70+2x，宽：50+2x, (70+2x)(50+2x)=4032 4x2+240x+3500=4032 x2+60x-133=0 x1=2,x2=-66（宽度不能为负，舍去） 答：边框宽2cm。 【预习小结】 1.一元二次方程应用题的核心是建模思想，将实际问题转化为数学方程求解。 2.所有题型通用原则：方程求解≠解题结束，实际检验是必备步骤。 3.三大高频题型固定等量关系需熟练背诵，为课堂深度学习和习题训练打基础。 四．经典例题 例1.（2025·贵阳市南明区九上期末）某工厂产值2023年为100万元，2025年达到144万元，设年均增长率为x，方程正确的是（ ） A.100(1+x)=144 B.100(1+x)2=144 C.100+100x2=144 D.100(1+2x)=144 【答案】：B 【解析】：连续两年增长模型，基数a=100，两次增长后为a(1+x)2，代入得100(1+x)2=144。 例2.（2026·贵阳市花溪区一模）商品每件进价30元，售价50元时每周卖200件，每涨价1元少卖5件，涨价x元周利润3000元，方程为（ ） A.(20+x)(200-5x)=3000 B.(50+x)(200-5x)=3000 C.(20+x)(200+5x)=3000 D.(50-30-x)(200-5x)=3000 【答案】：A 【解析】：单件利润50+x-30=20+x，销量200-5x，总利润=单件利润×销量。 例3.（2025·贵阳市云岩区九上期中）矩形空地长22m，宽16m，修等宽小路后剩余面积240m2，设路宽x，方程是（ ） A.(22-x)(16-x)=240 B.(22-2x)(16-2x)=240 C.22×16-(22x+16x)=240 D.22×16-22x-16x+x2=240 【答案】：B 【解析】：四周等宽小路，长、宽各减去2倍路宽，剩余矩形面积列等式。 例4.（2026·贵阳市清镇市二模）一人患流感，两轮传染后共81人患病，每轮平均传染x人，方程为（ ） A.1+x=81 B.(1+x)2=81 C.1+x+x2=81 D.x2=81 【答案】：B 【解析】：第一轮后1+x人，第二轮每人传染x人，总数(1+x)2。 例5.（2025·贵阳市乌当区九上期末）某商品连续两次降价，原价100元，现价64元，平均降价率x，列方程：________ 【答案】：100(1-x)2=64 【解析】：连续两次降低模型，公式a(1-x)2=最终价格。 例6.（2026·贵阳市观山湖区一模）直角三角形两直角边相差3cm，面积18cm2，设短直角边xcm，方程：________ 【答案】：x(x+3)=18 【解析】：长边x+3，直角三角形面积=两直角边乘积÷2。 例7.（2025·贵阳市白云区九上期中）篮球单循环赛制，共21场，设有x支球队，方程：________ 【答案】：x(x-1)=21 【解析】：单循环每两队只赛1场，总场次x(x-1)。 例8.（2026·贵阳市花溪区三模）商店每件盈利40元，日均售20件，每降2元多售4件，降价x元后日均销量为________件 【答案】：20+2x 【解析】：每降2元多4件，即每降1元多售2件，降价x多售2x，总销量20+2x。 例9.（2025·贵阳市南明区九上期末，2小问）某社区2023年垃圾分类投入50万元，2025年投入72万元。 （1）求这两年投入资金的年均增长率； （2）保持相同增长率，2026年投入多少万元？ 解：（1）设年均增长率为x 50(1+x)2=72 (1+x)2=1.44 1+x=±1.2 x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去，增长率不能负） 答：年均增长率20%。 （2）72×(1+20%)=86.4（万元） 答：2026年投入86.4万元。 例10.（2026·苏州姑苏中考二模）矩形纸片长30cm、宽20cm，四角裁去相同正方形，折无盖长方体，底面积416cm2。 (1)求裁去正方形边长； (2)求长方体容积。 解：(1)设边长x cm，底面长30-2x，宽20-2x， (30-2x)(20-2x)=416， x2-25x+76=0， x1=4，x2=19，(x=19时2×19>20，舍去) 边长4cm。 (2)底面长22cm，宽12cm，高4cm，容积22×12×4=1056cm3。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·清镇市九上期末）原价200元商品两次打折后128元，两次折扣率相同，设折扣率x，方程（ ） A.200(1-x)2=128 B.200(1-2x)=128 C.200x2=128 D.200(1+x)2=128 【答案】：A 【解析】：打折属于降低率问题，连续两次降价，套用a(1-x)2=现价。 2.（2025·花溪区九上期中）矩形画布长30cm，宽20cm，四周镶等宽衬纸，总面积864cm2，衬纸宽x，列式（ ） A.(30+x)(20+x)=864 B.(30+2x)(20+2x)=864 C.30×20+4x2=864 D.30×20+2(30x+20x)=864 【答案】：B 【解析】：左右、上下各加宽x，长宽均增加2x，总面积为大矩形面积。 3.（2025·乌当区一模）聚会所有人互送贺卡，共送出42张，人数x，方程（ ） A.x(x-1)=42 B.x(x-1)=42 C.x2=42 D.x(x+1)=42 【答案】：B 【解析】：互送贺卡有方向，每人送x-1张，总张数x(x-1)，区别于无向单循环比赛。 4.（2024·白云区九上期末）药品成本两年从5000元降到3200元，年均下降率（ ） A.10% B.15% C.20% D.25% 【答案】：C 【解析】：5000(1-x)2=3200，(1-x)2=0.64，1-x=0.8，x=0.2=20%。 5.（2026·南明区一模）商店每盒水彩盈利15元，日均售30盒，每涨3元少卖6盒，涨价x元后日销量（ ） A.30-2x B.30-6x C.30-3x D.30-x 【答案】：A 【解析】：涨3元少6盒，涨1元少2盒，涨x元少2x盒，销量30-2x。 6.（2025·观山湖区九上期中）面积为24的矩形，长比宽多2，宽x，方程（ ） A.x(x-2)=24 B.x(x+2)=24 C.2x+2(x+2)=24 D.x2+2x-12=24 【答案】：B 【解析】：宽x，长x+2，矩形面积=长×宽。 7.（2024·常州新北期末）每涨2元少卖5件，原销量40件，涨价x元，销量（ ） A.40-5x B.40-x C.40-2x D.40-10x 【答案】：B 【解析】：涨2元少5件，涨1元少件，涨x少x，涨价x元，销量40-x 8.（2025·淮安淮阴期末）靠墙矩形，篱笆24m，面积70m2，墙长10m，平行墙边长（ ） A.7 B.10 C.14 D.5 【答案】：B 【解析】：x(24-2x)=70，x=5时平行墙14>10舍去；x=7，平行墙10符合。 （二）填空题 9.（2025·云岩区期末）2人患病，两轮传染后共288人，每轮每人传染x人，方程：________ 【答案】：2(1+x)2=288 【解析】：初始基数为2，两轮传染模型a(1+x)2=总人数。 10.（2026·清镇市一模）单循环篮球赛36场，参赛队伍x，方程化简后：________ 【答案】：x2-x-72=0 【解析】：x(x-1)=36，两边乘2整理得x2-x-72=0。 11.（2024·花溪区期末）长方形绿地长40m，宽30m，中间十字路宽x，绿地面积936m2，方程：________ 【答案】：(40-x)(30-x)=936 【解析】：平移道路后剩余绿地为矩形，长宽各减道路宽x。 12.（2025·白云区一模）奶茶每杯利润8元，日销100杯，每降价1元多卖20杯，降价a元日总利润代数式：________ 【答案】：(8-a)(100+20a) 【解析】：单件利润8-a，销量100+20a，总利润相乘。 13.（2026·乌当区二模）某数与其平方和为42，设该数x，方程：________ 【答案】：x+x2=42 【解析】：文字等量关系直接转化代数式。 14.（2025·观山湖区期末）正方形边长增加3cm，面积增加45cm2，原边长x，方程：________ 【答案】：(x+3)2-x2=45 【解析】：新面积减原面积等于增加的面积。 15．一个容器盛满了纯药液20 L，第一次倒出若干升，用水加满，第二次倒出同样多的液体，这时容器内只剩下纯药液5 L，则每次倒出的液体是____L. 【答案】10 【解析】：设每次倒出液体x(L)，由题意，得 20－x－·x＝5，整理，得x2－40x＋300＝0，解得x1＝10，x2＝30(不合题意，舍去)．∴每次倒出的液体是10 L. 16．如图要设计一幅宽120 cm，长180 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，每个彩条的宽度为_______, 【答案】：15 cm 【解析】：设横彩条的宽度为2x cm，则竖彩条的宽度为3x cm，依题意，得(180－2×2x)(120－2×3x)＝180×120×（1-），整理，得x2－65x＋300＝0，解得x1＝5，x2＝60.∵当x＝60时，3x＝180＞120，∴x＝60舍去，∴2x＝10，3x＝15. （三）解答题 17.（2024·花溪区九上期末）新能源门店2023年销售电动车200台，2025年销售288台。 （1）求年均销售增长率； （2）按此增速，2026年能售多少台？ 解：（1）设年均增长率x 200(1+x)2=288 (1+x)2=1.44 1+x=1.2（负根舍去），x=0.2=20% 答：年均增长率20%。 （2）288×(1+20%)=345.6，取整346台 答：2026年销售346台。 18.（2025·云岩区九上期中）长方形活动场地长24m，宽18m，向外扩等宽区域，扩建后总面积608m2。 （1）求向外拓宽的宽度； （2）拓宽区域铺设草坪，每平米造价25元，总花费多少？ 解：（1）设拓宽宽度m (24+2x)(18+2x)=608 432+48x+36x+4x2=608 4x2+84x-176=0， x2+21x-44=0 (x+22)(x-2)=0， x1=2，x2=-22（舍去） 答：拓宽宽度2米。 （2）新增面积608-24×18=608-432=176m2 总造价：176×25=4400元 答：总花费4400元。 19.（2026·盐城东台一模）盐城特产大闸蟹礼盒进价60元，售价100元每周卖80盒；每降价5元，多卖20盒。 (1)降价10元，每周销量多少盒？ (2)定价多少时，周利润3600元，且让利顾客； (3)能否实现周利润4000元？ 解：(1)降价10元，多卖40盒，销量80+40=120盒； (2) 设降价5x元， (40-5x)(80+20x)=3600， x1=2，x2=4，让利取x=4，降价20元，定价80元； (3)(40-5x)(80+20x)=4000，△=<0，无实根，不能。 20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？ 解：过点P作PM⊥BC于点M，则四边形PMCD为长方形，∴PM＝CD＝12，CM＝PD＝2t，CQ＝t，∴QM＝t，BQ＝16－t，BM＝16－2t.易得PD＝2t≤21，∴t≤10.5. ①当PQ＝BQ时，在Rt△PMQ中，PQ2＝PM2＋QM2＝122＋t2，由PQ2＝BQ2，得122＋t2＝(16－t)2，解得t＝.②当BP＝BQ时，在Rt△PMB中，BP2＝BM2＋PM2＝(16－2t)2＋122，由BP2＝BQ2，得(16－2t)2＋122＝(16－t)2，即3t2－32t＋144＝0.∵b2－4ac＝－704＜0，∴3t2－32t＋144＝0无实数根，∴BP≠BQ.③当BP＝PQ时，∵PM⊥BQ，∴BM＝QM，∴16－2t＝t，解得t＝.综上所述，当t＝或 时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·花溪区二模）某公司一季度营收100万，三季度144万，季度平均增长率x，方程（ ） A.100(1+x)2=144 B.100(1+2x)=144 C.100(1+x)3=144 D.100+100x2=144 【答案】：A 【解析】：一季度到三季度间隔2个增长周期，使用二次增长公式。 2.（2026·南明区三模）矩形花园长比宽多5m，面积150m2，宽x，方程（ ） A.x(x-5)=150 B.x(x+5)=150 C.2x+2(x+5)=150 D.x2+5x-50=150 【答案】：B 【解析】：宽x，长x+5，长×宽=面积。 3.（2026·盐城阜宁一模）单循环足球赛36场，队伍数（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】：C 【解析】：n(n-1)=36，n2-n-72=0，n=9。 4.（2026·乌当区二模）商品每件盈利30元，月销60件，每涨4元少卖8件，涨价m元月销量（ ） A.60-2m B.60-4m C.60-8m D.60-m 【答案】：A 【解析】：涨4元少8件，涨1元少2件，涨m少2m件，销量60-2m。 5.（2026·白云区三模）平面内线段两两握手，共55次，人数n，n=（ ） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】：C 【解析】：n(n-1)=55，n2-n-110=0，解得n=11。 6.（2026·观山湖区二模）正方形木板截去宽2cm长条，剩余面积48cm2，原边长（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】：C 【解析】：设边长x，x(x-2)=48，x2-2x-48=0，x=8。 7.（2026·云岩区二模）两年前存款1000元，复利计息，本息1210元，年利率（ ） A.9% B.10% C.11% D.12% 【答案】：B 【解析】：1000(1+x)2=1210， (1+x)2=1.21，x=0.1=10%。 8.（2026·花溪区三模）商店卖摆件，进价25元，售价40元日销50件，每降1元多卖5件，日利润800元，设降价x，方程（ ） A.(15-x)(50+5x)=800 B.(40-x)(50+5x)=800 C.(15+x)(50-5x)=800 D.(25-x)(50+5x)=800 【答案】：A 【解析】：单件利润40-25-x=15-x，销量50+5x，总利润相乘。 9.（2026·河南洛阳洛龙二模）植物主干长出若干支干，每个支干又长出同等数量小分支，主干、支干、小分支总数73，设支干x根，方程（ ） A.1+x+x2=73 B.(1+x)2=73 C.x+2x=73 D.1+x=73 【答案】：A 【解析】：主干1，支干x，小分支x·x=x2，三者相加总数73。 10．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，则此菱形的面积是（　　） A．18 B．30 C．36 D．不确定 【答案】A 【解析】x2﹣13x+36＝0，（x﹣9）（x﹣4）＝0，∴x﹣9＝0或x﹣4＝0，∴x1＝9，x2＝4，即菱形ABCD的对角线AC，BD的长度为9和4，∴此菱形的面积＝×9×4＝18．故选：A． （二）填空题 11.（2026·南明区二模）小区停车位2024年有200个，2026年达288个，年均增长率x，方程：________ 【答案】：200(1+x)2=288 【解析】：间隔2年，二次增长模型。 12.（2026·清镇市三模）等宽边框包裹长36宽24相框，挂图面积1008，边框宽x，方程化简：________ 【答案：x2+30x-36=0 【解析】：(36+2x)(24+2x)=1008，展开整理得标准一元二次方程。 13.（2026·乌当区一模）全班互赠照片，共182张，人数x，方程：________ 【答案】：x(x-1)=182 【解析】：互赠为有向传递，总数量x(x-1)。 14.（2026·白云区二模）矩形周长30，面积54，长x，方程：________ 【答案】：x(15-x)=54 【解析】：周长30，长+宽=15，宽15-x，长×宽=面积。 15．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则三角形的周长是　 ． 【答案】：12或6或15 【解析】：方程x2﹣7x+10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x＝2或x＝5，三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，则周长为12或6或15．故答案为：12或6或15 16．甲用1000元人民币购买了一只股票，随即他将这只股票转卖给了乙，获利10%，而后乙又将这只股票返卖给了甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这只股票卖出．在上述股票交易中，甲获利____元． 【答案】：1 【解析】：1000(1＋10%)＝1100，甲获利100元．1100(1－10%)＝990，990×0.9＝891，此时甲亏了99元．∴甲获利100－99＝1(元)． 17．某商场今年2月的营业额为400万元，3月的营业额比2月增加了10%，5月的营业额达到了633.6万元．求3月到5月营业额的月平均增长率为_______． 【答案】：20%. 【解析】：设3月到5月营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：3月到5月营业额的月平均增长率为20%. 18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定适当降价．经调查发现，若每件衬衫降价1元，则商场平均每天可多售出2件．若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价_20___元. 【答案】：20. 【解析】：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得[来源:学§科§网Z§X§X§K](40－x)(20＋2x)＝1200， 解得x1＝10，x1＝20.∵要尽快减少库存，∴x＝20.答：每件衬衫应降价20元． 19．某超市将甲、乙两种糖果混合销售，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价＝元/kg，其中m1，m2分别为甲、乙两种糖果的质量，a1，a2分别为甲、乙两种糖果的单价．已知a1＝20元/kg，a2＝16元/kg，现将10 kg乙种糖果和一箱甲种糖果混合(搅拌均匀)销售，售出5 kg后，又在混合糖果中加入5 kg乙种糖果，再出售时混合糖果的单价为17.5元/kg.,这箱甲种糖果有_______千克. 【答案】：10 【解析】：设这箱甲种糖果有x(kg)，则17．5(10＋x)＝·(5＋x)＋16×5， 化简并整理，得x2－4x－60＝0，(x－10)(x＋6)＝0，∴x1＝10，x2＝－6(不合题意，舍去)． ∴这箱甲种糖果有10 kg. 20．如图，有一张边AB靠墙的长方形桌子ABCD，长120 cm，宽60 cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的2倍，并且如图所示铺在桌面上时，三边垂下的长度中有两边相等(AE＝BF)，另外一边是AE的倍(即CD与MN之间的距离)．求这块台布的长为__160 cm_____,宽为_______,． 【答案】：90 cm 【解析】：设下垂长度BF为x cm，则AE＝BF＝x cm，根据题意，得(120＋2x)·(60＋x)＝2×120×60，∴x2＋100x－2 400＝0.解得x1＝20，x2＝－120(不符合题意，舍去)．∴120＋2x＝120＋2×20＝160，60＋x＝60＋×20＝90. 答：这块台布的长为160 cm，宽为90 cm. （三）解答题 21.（2026·南明区中考三模）城市公园有一直角三角形空地，两直角边和21m，面积54m2。 （1）求两条直角边长度； （2）沿斜边修步道，步道每米造价120元，求步道总造价。 解：（1）设短直角边xm，长边(21-x)m x(21-x)=54 21x-x2=108 x2-21x+108=0 (x-9)(x-12)=0， x1=9，x2=12 两直角边9m、12m。 （2）斜边：15m,总造价：15×120=1800元,答：步道总造价1800元。 22.（2026·清镇市中考一模，2小问）快递公司分拣设备2024年日均分拣800件，2026年日均分拣1152件。 （1）求日均分拣量两年平均增长率； （2）若增速不变，2027年日均分拣量能否突破1380件？计算说明。 解：（1）设年均增长率x 800(1+x)2=1152 (1+x)2=1.44， 1+x=1.2，x=20% 答：年均增长率20%。 （2）2027日分拣量：1152×1.2=1382.4件,1382.4>1380，能突破。 23.（2026·乌当区中考二模，3小问）矩形仓储库房长40m，宽26m，内部修两条互相垂直、等宽的通道，剩余仓储面积864m2。 （1）设通道宽xm，列方程___________； （2）求通道宽度； （3）通道铺防滑地砖，每平米造价85元，求地砖总费用。 解：（1）平移通道后剩余矩形长40-x，宽26-x，方程：(40-x)(26-x)=864 （2）(40-x)(26-x)=864 1040-66x+x2=864 x2-66x+176=0 (x-2)(x-64)=0， x1=2，x2=64（超过长宽舍去） 通道宽2m。 （3）通道总面积=库房总面积-仓储面积40×26-864=1040-864=176m2 总费用：176×85=14960元 24．小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100 kg，超过300 kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/千克．图中折线表示批发单价y(元/千克)与质量x(kg)的函数关系． (1)求图中线段AB所在直线的函数表达式． (2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？ 解：(1)设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx＋b，由题意，得 解得∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝－0.01x＋6(100≤x≤300)． (2)∵800÷3≈267(kg)<300 kg，∴批发单价在线段AB上．设小李共批发水果m(kg)，则单价为(－0.01m＋6)元/千克．由题意，得－0.01m＋6＝，解得m1＝200，m2＝400(不合题意，舍去)．答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200 kg. 25．某菜市场有2.5 m2和4 m2两种摊位，2.5 m2的摊位数是4 m2摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费． (1)若菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4 m2的摊位． (2)为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5 m2和4 m2两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5 m2摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积推位个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少a%；6月份参加活动二的4 m2摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积推位个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少a%.这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少a%，求a的值． 解:(1)设该菜市场共有x个4 m2的摊位，则有2x个2.5 m2的摊位．由题意，得 20×4x＋20×2.5×2x＝4500，解得x＝25.答：该菜市场共有25个4 m2的摊位． (2)由(1)可知，5月份参加活动一的2.5 m2摊位的个数为25×2×40%＝20(个)，4 m2摊位的个数为25×20%＝5(个)．由题意，得20(1＋2a%)×20×2.5×a%＋5(1＋6a%)×20×4×a%＝[20(1＋2a%)×20×2.5＋5(1＋6a%)×20×4]×a%， 整理，得a2－50a＝0，解得a1＝0(不合题意，舍去)，a2＝50.答：a的值为50. 26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. (1)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm2? (2)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿射线CB方向以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发．问：经过几秒后，△PBQ的面积为1 cm2? 解:(1)设经过x(s)后，△PBQ的面积等于8 cm2，由题意，得(6－x)·2x＝8， 解得x1＝2，x2＝4.经检验，x1，x2均符合题意，故经过2 s或4 s后，△PBQ的面积等于8 cm2. (2)不能．理由如下：设经过y(s)，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，由题意，得S△ABC＝×6×8＝24(cm2)，∴(6－y)·2y＝12，∴y2－6y＋12＝0.∵Δ＝b2－4ac＝36－4×12＝－12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分． (3)由题意得，在6 s内，点P在线段AB上，超过6 s，点P在线段AB的延长线上； 在4 s内，点Q在线段CB上，超过4 s，点Q在线段CB的延长线上． 分三种情况讨论：①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上，即运动时间不超过4 s时， 设经过m(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(6－m)(8－2m)＝1，解得m1＝5＋(不合题意，舍去)，m2＝5－. ②当点P在线段AB上，点Q在射线CB上，即运动时间超过4 s，不超过6 s时，设经过n(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(6－n)(2n－8)＝1，解得n1＝n2＝5. ③当点P在射线AB上，点Q在射线CB上，即运动时间超过6 s时，设经过k(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(k－6)(2k－8)＝1，解得k1＝5＋，k2＝5－(不合题意，舍去)．综上所述，经过(5－)s或5 s或(5＋)s后，△PBQ的面积为1 cm2. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册8 《第2章一元二次方程第4节一元二次方程的应用》预习讲义 一．学习目标 ( 1.熟记列一元二次方程解决实际问题的完整步骤，掌握增长率、销售利润、几何面积三大核心应用题型的等量关系模型。 2.能准确从实际问题中提取已知量、未知量，梳理数量关系并建立一元二次方程模型，学会结合实际场景检验方程解的合理性。 3.体会数学建模、转化的核心思想，提升用一元二次方程解决生活实际问题的能力，规避实际应用中常见的取值陷阱。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.掌握列一元二次方程解应用题的规范五步解题流程。 2.熟练掌握增长率问题、销售利润问题、几何图形面积问题的核心等量关系式。 （二） 难点 1.复杂实际问题中隐蔽等量关系的挖掘与梳理。 2.根据实际意义对一元二次方程的两个根进行取舍、检验，排除不符合题意的解。 3.几何图形动态变化问题中，用含未知数的代数式表示图形边长、面积等关键量。 ) 三．知识梳理 （一）核心解题步骤（基础必背） 1.审：认真读题，梳理题目中的已知条件、所求问题，找准题目中不变的等量关系（解题核心依据）。 2.设：合理设未知数，优先设直接未知数（问什么设什么）；复杂题型可设间接未知数，注意标注单位。 3.列：用含未知数的代数式表示相关未知量，根据等量关系列出一元二次方程。 4.解：选择合适的方法（因式分解法、公式法等）解方程，求出未知数的值。 5.验、答：双重检验，先检验解是否满足方程，再检验解是否符合实际生活意义，舍去增根、不合理根，最后规范作答。 【思考】：为什么一元二次方程应用题必须检验根的实际意义？ （二）三大核心题型自主探究（重点） 题型1：增长率（降低率）问题 1.基础公式推导 设初始基数为a，平均增长率为x： 第一次增长后数量：a(1+x) 第二次增长后数量：a(1+x)2 设初始基数为a，平均降低率为x，两次降低后数量：a(1-x)2 2.自主尝试 某商店今年7月营业额为20万元，9月营业额达到24.2万元，若7月到9月每月营业额的平均增长率相同，求月平均增长率。 （1）审题：初始基数a=20，增长次数=2，最终数量=24.2 （2）设未知数：设月平均增长率为x （3）列方程：20(1+x)2=24.2 （4）尝试解方程并检验作答：20(1+x)2=24.2→(1+x)2=1.21→1+x=±1.1→x1=0.1=10％，x2=-1.2（舍去），答：月平均增长率10％。 3.易错点：增长率结果需化为百分数，且必须为正数；降低率取值范围0<x<1。 4.小试牛刀 （2025·贵阳市南明区九上期末）某社区2024年投入环境整治资金60万元，计划2026年投入86.4万元，每年资金的平均增长率相同。 （1）求每年资金的平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2027年需要投入多少万元？ 题型2：销售利润问题 1.核心等量关系 单件利润 = 单件售价 - 单件进价 总利润 = 单件利润 × 销售数量 规律：商品涨价，销量减少；商品降价，销量增加，需准确用未知数表示变化后的销量。 2.自主尝试 某进价为40元的文创摆件，售价为60元时，每周可卖出300件。已知售价每涨价1元，每周销量减少10件，若想要每周获得8000元利润，每件摆件应涨价多少元？ （1）设未知数：设每件摆件涨价x元 （2）表示相关量：涨价后单件利润=（60+x）元，涨价后销量=（300-10x）件 （3）列方程：（60+x）（300-10x）=8000 （4）尝试解方程并检验作答：x2+30x-1000=0，x1=5，x2=-65（不符合销售实际舍去），答：每件摆件应涨价5元. 3.易错点：需结合实际销售场景取舍根，避免出现涨价过高、销量为负数的情况。 4.小试牛刀 （2026·贵阳市乌当区一模）童装每件进价40元，定价60元时，每月售出200件；每降价5元，每月可以多售出25件。 （1）设每件降价x元，用式子表示单件利润与月销量； （2）每月想要获利4500元，每件应降价多少； （3）从让利顾客的角度，选择最合适的降价方案。 题型3：几何图形面积问题 1.解题核心：结合矩形、正方形等图形的面积公式，通过平移、割补思想，用含未知数的式子表示图形边长，建立面积方程。 2.自主尝试 现有一块长80cm、宽50cm的矩形风景画，要在四周镶一条宽度相同的金色边框，制成矩形挂图，若挂图总面积为5400cm2，求边框的宽度。 （1）设未知数：设边框宽度为xcm （2）平移分析：镶边后挂图的长=（80+2x）cm，宽=（50+2x）cm （3）根据面积公式列方程：（80+2x）（50+2x）=5400 （4）尝试解方程并检验作答：x2+65x-350=0，x1=5，x2=-70（不符合销售实际舍去），答：边框的宽度为5cm. 3.易错点预判：几何边长必须为正数，且变化后的边长不能小于0，需严格取舍根。 4.小试牛刀 （2025·贵阳市云岩区九上期中）一块矩形风景画长70cm，宽50cm，在四周镶一圈等宽的装饰边框，镶完之后的总面积是4032cm2。 （1）设边框宽度为xcm，列出方程_________________； （2）求出边框的宽度。 【预习小结】 1.一元二次方程应用题的核心是建模思想，将实际问题转化为数学方程求解。 2.所有题型通用原则：方程求解≠解题结束，实际检验是必备步骤。 3.三大高频题型固定等量关系需熟练背诵，为课堂深度学习和习题训练打基础。 四．经典例题 例1.（2025·贵阳市南明区九上期末）某工厂产值2023年为100万元，2025年达到144万元，设年均增长率为x，方程正确的是（ ） A.100(1+x)=144 B.100(1+x)2=144 C.100+100x2=144 D.100(1+2x)=144 例2.（2026·贵阳市花溪区一模）商品每件进价30元，售价50元时每周卖200件，每涨价1元少卖5件，涨价x元周利润3000元，方程为（ ） A.(20+x)(200-5x)=3000 B.(50+x)(200-5x)=3000 C.(20+x)(200+5x)=3000 D.(50-30-x)(200-5x)=3000 例3.（2025·贵阳市云岩区九上期中）矩形空地长22m，宽16m，修等宽小路后剩余面积240m2，设路宽x，方程是（ ） A.(22-x)(16-x)=240 B.(22-2x)(16-2x)=240 C.22×16-(22x+16x)=240 D.22×16-22x-16x+x2=240 例4.（2026·贵阳市清镇市二模）一人患流感，两轮传染后共81人患病，每轮平均传染x人，方程为（ ） A.1+x=81 B.(1+x)2=81 C.1+x+x2=81 D.x2=81 例5.（2025·贵阳市乌当区九上期末）某商品连续两次降价，原价100元，现价64元，平均降价率x，列方程：________ 例6.（2026·贵阳市观山湖区一模）直角三角形两直角边相差3cm，面积18cm2，设短直角边xcm，方程：________ 例7.（2025·贵阳市白云区九上期中）篮球单循环赛制，共21场，设有x支球队，方程：________ 例8.（2026·贵阳市花溪区三模）商店每件盈利40元，日均售20件，每降2元多售4件，降价x元后日均销量为________件 例9.（2025·贵阳市南明区九上期末，2小问）某社区2023年垃圾分类投入50万元，2025年投入72万元。 （1）求这两年投入资金的年均增长率； （2）保持相同增长率，2026年投入多少万元？ 例10.（2026·苏州姑苏中考二模）矩形纸片长30cm、宽20cm，四角裁去相同正方形，折无盖长方体，底面积416cm2。 (1)求裁去正方形边长； (2)求长方体容积。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·清镇市九上期末）原价200元商品两次打折后128元，两次折扣率相同，设折扣率x，方程（ ） A.200(1-x)2=128 B.200(1-2x)=128 C.200x2=128 D.200(1+x)2=128 2.（2025·花溪区九上期中）矩形画布长30cm，宽20cm，四周镶等宽衬纸，总面积864cm2，衬纸宽x，列式（ ） A.(30+x)(20+x)=864 B.(30+2x)(20+2x)=864 C.30×20+4x2=864 D.30×20+2(30x+20x)=864 3.（2025·乌当区一模）聚会所有人互送贺卡，共送出42张，人数x，方程（ ） A.x(x-1)=42 B.x(x-1)=42 C.x2=42 D.x(x+1)=42 4.（2024·白云区九上期末）药品成本两年从5000元降到3200元，年均下降率（ ） A.10% B.15% C.20% D.25% 5.（2026·南明区一模）商店每盒水彩盈利15元，日均售30盒，每涨3元少卖6盒，涨价x元后日销量（ ） A.30-2x B.30-6x C.30-3x D.30-x 6.（2025·观山湖区九上期中）面积为24的矩形，长比宽多2，宽x，方程（ ） A.x(x-2)=24 B.x(x+2)=24 C.2x+2(x+2)=24 D.x2+2x-12=24 7.（2024·常州新北期末）每涨2元少卖5件，原销量40件，涨价x元，销量（ ） A.40-5x B.40-x C.40-2x D.40-10x 8.（2025·淮安淮阴期末）靠墙矩形，篱笆24m，面积70m2，墙长10m，平行墙边长（ ） A.7 B.10 C.14 D.5 （二）填空题 9.（2025·云岩区期末）2人患病，两轮传染后共288人，每轮每人传染x人，方程：________ 10.（2026·清镇市一模）单循环篮球赛36场，参赛队伍x，方程化简后：________ 11.（2024·花溪区期末）长方形绿地长40m，宽30m，中间十字路宽x，绿地面积936m2，方程：________ 12.（2025·白云区一模）奶茶每杯利润8元，日销100杯，每降价1元多卖20杯，降价a元日总利润代数式：________ 13.（2026·乌当区二模）某数与其平方和为42，设该数x，方程：________ 14.（2025·观山湖区期末）正方形边长增加3cm，面积增加45cm2，原边长x，方程：________ 15．一个容器盛满了纯药液20 L，第一次倒出若干升，用水加满，第二次倒出同样多的液体，这时容器内只剩下纯药液5 L，则每次倒出的液体是____L. 16．如图要设计一幅宽120 cm，长180 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，每个彩条的宽度为_______, （三）解答题 17.（2024·花溪区九上期末）新能源门店2023年销售电动车200台，2025年销售288台。 （1）求年均销售增长率； （2）按此增速，2026年能售多少台？ 18.（2025·云岩区九上期中）长方形活动场地长24m，宽18m，向外扩等宽区域，扩建后总面积608m2。 （1）求向外拓宽的宽度； （2）拓宽区域铺设草坪，每平米造价25元，总花费多少？ 19.（2026·盐城东台一模）盐城特产大闸蟹礼盒进价60元，售价100元每周卖80盒；每降价5元，多卖20盒。 (1)降价10元，每周销量多少盒？ (2)定价多少时，周利润3600元，且让利顾客； (3)能否实现周利润4000元？ 20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？ 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·花溪区二模）某公司一季度营收100万，三季度144万，季度平均增长率x，方程（ ） A.100(1+x)2=144 B.100(1+2x)=144 C.100(1+x)3=144 D.100+100x2=144 2.（2026·南明区三模）矩形花园长比宽多5m，面积150m2，宽x，方程（ ） A.x(x-5)=150 B.x(x+5)=150 C.2x+2(x+5)=150 D.x2+5x-50=150 3.（2026·盐城阜宁一模）单循环足球赛36场，队伍数（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 4.（2026·乌当区二模）商品每件盈利30元，月销60件，每涨4元少卖8件，涨价m元月销量（ ） A.60-2m B.60-4m C.60-8m D.60-m 5.（2026·白云区三模）平面内线段两两握手，共55次，人数n，n=（ ） A.9 B.10 C.11 D.12 6.（2026·观山湖区二模）正方形木板截去宽2cm长条，剩余面积48cm2，原边长（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】：C 【解析】：设边长x，x(x-2)=48，x2-2x-48=0，x=8。 7.（2026·云岩区二模）两年前存款1000元，复利计息，本息1210元，年利率（ ） A.9% B.10% C.11% D.12% 8.（2026·花溪区三模）商店卖摆件，进价25元，售价40元日销50件，每降1元多卖5件，日利润800元，设降价x，方程（ ） A.(15-x)(50+5x)=800 B.(40-x)(50+5x)=800 C.(15+x)(50-5x)=800 D.(25-x)(50+5x)=800 9.（2026·河南洛阳洛龙二模）植物主干长出若干支干，每个支干又长出同等数量小分支，主干、支干、小分支总数73，设支干x根，方程（ ） A.1+x+x2=73 B.(1+x)2=73 C.x+2x=73 D.1+x=73 10．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，则此菱形的面积是（　　） A．18 B．30 C．36 D．不确定 （二）填空题 11.（2026·南明区二模）小区停车位2024年有200个，2026年达288个，年均增长率x，方程：________ 12.（2026·清镇市三模）等宽边框包裹长36宽24相框，挂图面积1008，边框宽x，方程化简：________ 13.（2026·乌当区一模）全班互赠照片，共182张，人数x，方程：________ 14.（2026·白云区二模）矩形周长30，面积54，长x，方程：________ 15．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则三角形的周长是　 ． 16．甲用1000元人民币购买了一只股票，随即他将这只股票转卖给了乙，获利10%，而后乙又将这只股票返卖给了甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这只股票卖出．在上述股票交易中，甲获利____元． 17．某商场今年2月的营业额为400万元，3月的营业额比2月增加了10%，5月的营业额达到了633.6万元．求3月到5月营业额的月平均增长率为_______． 18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定适当降价．经调查发现，若每件衬衫降价1元，则商场平均每天可多售出2件．若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价_20___元. 19．某超市将甲、乙两种糖果混合销售，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价＝元/kg，其中m1，m2分别为甲、乙两种糖果的质量，a1，a2分别为甲、乙两种糖果的单价．已知a1＝20元/kg，a2＝16元/kg，现将10 kg乙种糖果和一箱甲种糖果混合(搅拌均匀)销售，售出5 kg后，又在混合糖果中加入5 kg乙种糖果，再出售时混合糖果的单价为17.5元/kg.,这箱甲种糖果有_______千克. 【答案】：10 20．如图，有一张边AB靠墙的长方形桌子ABCD，长120 cm，宽60 cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的2倍，并且如图所示铺在桌面上时，三边垂下的长度中有两边相等(AE＝BF)，另外一边是AE的倍(即CD与MN之间的距离)．求这块台布的长为__160 cm_____,宽为_______,． （三）解答题 21.（2026·南明区中考三模）城市公园有一直角三角形空地，两直角边和21m，面积54m2。 （1）求两条直角边长度； （2）沿斜边修步道，步道每米造价120元，求步道总造价。 22.（2026·清镇市中考一模，2小问）快递公司分拣设备2024年日均分拣800件，2026年日均分拣1152件。 （1）求日均分拣量两年平均增长率； （2）若增速不变，2027年日均分拣量能否突破1380件？计算说明。 23.（2026·乌当区中考二模，3小问）矩形仓储库房长40m，宽26m，内部修两条互相垂直、等宽的通道，剩余仓储面积864m2。 （1）设通道宽xm，列方程___________； （2）求通道宽度； （3）通道铺防滑地砖，每平米造价85元，求地砖总费用。 24．小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100 kg，超过300 kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/千克．图中折线表示批发单价y(元/千克)与质量x(kg)的函数关系． (1)求图中线段AB所在直线的函数表达式． (2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？ 25．某菜市场有2.5 m2和4 m2两种摊位，2.5 m2的摊位数是4 m2摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费． (1)若菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4 m2的摊位． (2)为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5 m2和4 m2两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5 m2摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积推位个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少a%；6月份参加活动二的4 m2摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积推位个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少a%.这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少a%，求a的值． 26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. (1)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm2? (2)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿射线CB方向以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发．问：经过几秒后，△PBQ的面积为1 cm2? ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $