课时分层检测(4) 空间直角坐标系-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 课时分层检测（四）》 …0 基础达标练。… 1.点A(-2,3,-4)关于坐标平面Ox之对称点 A'的坐标为 ( A.(-2,-3,-4) B.(2,-3,4) C.(-2,-3,4) D.(2,3,-4) 2.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxy之中 x轴、y轴、之轴的正方向上的单位向量，且 OB=一i+j一k,则点B的坐标是( A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k) C.(1,-1,-1) D.不确定 3.如图，在长方体OABC- O1A1B1C1中，OA=3, OC=5,OO1=4,点P是 B1C1的中点，则点P的 坐标为 A.(3,5,4) B(层3,4 c(35,4 D(5,2 4.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，向量a 在基底{AB,AD,AA1}下的坐标为(2,1， -3),则向量a在基底{DA,DC,DD1}下的 坐标为 ( A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9) 5.(多选)已知单位向量i,j,k两两的夹角均为 0(0<0<元，0≠罗)，若空间向量a满足a= xi十j十k(x,y,之∈R),则有序实数组(x, y,之)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为 坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a=(x,y, 之)0，则下列命题是真命题的有 () A.已知a=(1,3,-2)0,b=(4,0,2)0,则 a·b=0 B.已知a=(y,0)号，b=(0,0,e)5其中 x,y,之>0，则当且仅当x=y时，向量a,b 的夹角取得最小值 得分 空间直角坐标系 C.已知a=(x1y1,x1)0,b=(x2y2,x2)0, 则a十b=(x1十x2y1十y2之1十之2)0 D已知0A=(1.0.0)5,0店=(0.1.0)号 O元=(0,0,1)，则三棱锥0-ABC的表 面积S=√2 6.设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底， 则向量a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k的 坐标分别是 7.在空间直角坐标系中，正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，一1,2)， 其对角线AC1的中点M的坐标为(0,1,2)， 则该正方体的顶点C1的坐标为 8.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1CD1中，M 是AD的中点，AB=1,则 A--M 向量C1M的坐标为 9.结晶体的基本单位称为晶 胞，如图是食盐晶胞的 示意图可看成是八个 棱长为2的小正方体 堆积成的正方体)，其 中灰点代表钠离子，黑点代表氯离子.建立 如图所示的空间直角坐标系Oxy之后，试写 出全部钠离子所在位置的坐标. 7 班级 姓名 10.如图所示，在长方体AB D 3 CD-A1B1C1D1中，AB| B =4,AA1|=5,AD|= 3,N为棱CC1的中点，分 D 别以AB,AD,AA1所在的 直线为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐 标系 (1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标； (2)求点N的坐标 …0能力提升练0…。 1.下列说法：①在空间直角坐标系中，在x轴 上的点的坐标一定可记为(0，b,c);②在空间 直角坐标系中，在Oy之平面上的点的坐标一 定可记为(0，b,c);③在空间直角坐标系中， 在之轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c); ④在空间直角坐标系中，在Ox平面上的点 的坐标一定可记为(a,0,c).其中，正确的个 数是 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,1， -1),则p在基底{2a,b,-c}下的坐标为 ;在基底{a十b,a一b,c}下的坐标为 118 得分 如图，在空间直角坐标系 中，BC=2,原点O是BC 的中点，点D在平面Oy之 B 内，且∠BDC=90°，∠DCB =30°，求点D的坐标。 已知正方体ABCD z个 D C A1B1C1D1的棱长为1， 点E,F分别在线段 A 、E B A1D,AC上，且EF⊥ A1D,EF⊥AC,以点D 4-16 B 为坐标原点，DA,DC, DD1分别作为x轴、y轴、之轴建立空间直 角坐标系（如图所示）. (1)试求向量EF的坐标： (2)求证：EF∥BD1.1e-3a-b-5c, 2),A点的坐标为(3，一1,2)，得C1的坐 得e,=a-c,所以OP=2e,-e,+ 标为(0一3,2十1,4-2)=(-3,3,2).] (e=4a-b-7c, 设DE=xCA+yCF(x,y∈R), [因为CM=CC 3e=2(3a-b-5c)-(a-c)+3(4a-b 8.-1,-,-1 -7c)=17a-5b-30c=17OA-50B- 则c-b=x(a+b)+ya+c Ci+Ai--CC-A花+Ai=-AA 30OC, (2)假设P,A,B,C四点共面，则存在实： --亦+号亦=-店-亦 数x,y,z,使OP=xOA十yOB+zOC, 且x+y+=1.由(1)知Oi-17OA- x+2y=0, 解得{x=1, AA=-, 因此x=一1， 50B-300C,但17-5-30=-18≠1， 1y=2. 故P,A,B,C四点不共面 2y=1, 所以G=(-1,-,-门 能力提升练 1.ACD AM=AA+AM=AA+ 从而D正，CA,C市共面，又直线DE不在平9.解起图中的钠离子分成下、中、上三层 面ACF内，因此DE∥平面ACF, 来写它们所在位置的坐标下层的钠离子 A,D市-Di+D币-A才+号A成. (2)证明依题意得Bi-b-a,AE-c-a 全部在Oxy平面上，它们所在位置的竖坐 标全是0，所以这五个钠离子所在位置的 AM∥DP,又A1M与D1P无公共点， -b,则BD·AE=(b-a)·(c-a-b)= 坐标分别是(0,0,0)，(1,0,0)，(1,1,0)， AM∥DP,由线面平行的判定定理可 -b十a=0, 因此BD⊥AE,从而BD⊥AE (0,1,0), (合，合0）：中层的纳离子所 知，A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面 DPQB,故远ACD] (3)由AB=√2CE,设a=b=2,则|c1 在的平面平行于(Oxy平面，与：轴交，点的 2.号a+b+c[知图， =√2，假设在线段EO上存在点G,使CG 竖坐标均为？，所以这四个钠离子所在位 ⊥平面BDE,由O,G,E三点共线，设CG Ai+AN=号AB =(1-a+aCò=之a+2b+1 显的生标分精是（合0，）(1， AC)+多(A+ A)c(0≤A≤1)，由CG⊥平面BDE知CG⊥ 1 11 )=A峦+司 DE,而DE=c-b,图此C花·DE= 纳离子所在的平面平行于Oxy平面，与z 2a+2b+(1-a)c1·(c-b)=(1 轴交，点的竖坐标均为1，所以这五个钠离 A正i+C=2b+a+b)+(a+0)= -x)c-号沥=2-4以=0，解得1=7： 子所在位置的坐标分别是(0,0,1)，(1,0， atb+e.] 即点G是线段EO的中点时，满足题意，此！ D.1,.0,1(合 3.年 号。[设证=a心-b,市-e,则 时之 !10.解(1)由已知，得A(0,0,0),由于点B 在x轴的正半轴上，AB=4,故B(4,0, {a,b,c}是空间的一个基底，∴a=b= 课时分层检测（四） 0),同理可得D(0,3,0),A(0,0,5),由 ·基础达标练 于点C在坐标平面Axy内，BC⊥AB, c=aab=a·c=b:c=a.亦；L.A点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐 CD⊥AD,故C(4,3,0),同理可得B(4, 标变为原来的相反数即得A'的坐标为 0,5),D1(0,3,5),与点C的坐标相比，点 -亦-花=(a+b)-名c萨. (-2,-3,-4).」 C的坐标中只有竖坐标不同，CC1= 2.A[由空间直角坐标系中点的坐标的定 AA1=5,则C1(4,3,5) =合+a…b-ac= 义可知点B的坐标为（一1,1，一1）.] (2)由(1)知，C(4,3,0),C1(4,3,5),则 ,3.CL由题图知，点P在x轴、y轴、x轴上 的射影分别为P,P。,P3,它们在坐标轴 CC的中点坐标为N(4,3受） 上的坐标分别是号，5,4，放点P的坐标是能力提升练 E亦.A成 1.C [由定义可知，对于在x轴上的，点(a, .cos〈E,AB》 EFABI (4J b,c),有b=c=0,所以在x轴上的点的坐 标可记为(a,0,0),故①错误，经验证知② 4.B[由已知a=2AB+AD-3AA ③④正确.] 31 号，异面直线EF与AB所成的角 2 DC-DA-3 DD =-DA+2 DC 2.(1,1,1) 2’z,-1 [由题意知p 3DD,.向量a在基底{DA,DC,DD} 为开.] =2a+b 下的坐标为(-1,2，-3).故选B.] c,则向量p在基底{2a,b,一c} 下的坐标为(1,1,1).设向量p在基底{a 4.解(1)证明设CA=a,CB=b,C己=c, 5.BC[a·b=(1,3,-2)0 十b,a一b,c}下的坐标为(x,y,z),则p= ·(4,0,2)0=(i+3j-2k) 则{a,b,c}构成空间的一个基底.根据题1 B x(a+b)+y(a-b)十zc=(x+y)a十(x一 ·(4i+2k)=4+2i·k+ y 意，a=b=cl,且a·b=b·c=c·a y)b十xc.又p=2a十b-c, 12i·j+6j·k-8k·i-4 =0.:Ci-b+之e而=-c+b- A x+y=2 =12cos0,因为0<0<元， 3 1 0 ∴x-y-1,解得x=，y=2,= (=-1, 2a.:CB.AD-+0. 且0≠受，所以a…b≠0， -1,∴p在基底{a十b,a-b,c}下的坐标 ∴CE⊥A'D. 故A错误；如图所示，设OB-b,OA-a,则 (2:=-a+c.在-什cC 点A在平面Oy上，点B在x轴上，由图 为（是-门 易知当x-y时，∠AOB取得最小值，即向：3.解如图，过点D作 量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根： =厄a,=5a,A.Ci=(-a DE⊥BC,垂足为E, 据“仿射”坐标的定义可得，a十b=(x1, 在Rt△BDC中 y1,21)0+(x2,,x)0=(x1i十y1j+x1k) ∠BDC=90°，∠DCB +e)(b+e)=c=a, +(x2i+y2j+2k)=(x1+x2)i+(y1+ =30°，BC=2,得BD y2)j十(21+2)k=(x1+x2,y1十y2,21+} a =1,CD=√5，.DE 1 x)0,故C正确：由已知可得三棱锥) ∴.cos(AC,CE= ,即 ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S= xal 10 -CDsin 30OE-OB-BE-OB- =√3，故D错误.故选 BDcos60°=1- 1 异面直线CE与AC所成角的余弦值： 之，点D的坐标 B、C.] 为e 16.(3,2,-1),(-2,4,2)L因为{i,j,k}是1 单位正交基底，根据空间向量坐标的概念！ 为(，-9 5.(1)证明依题意得DE=c-b, 知a=(3,2,-1),b=(-2,4,2).] 4解(1)：正方体ABCD-A1B,CD,的棱 CA=a十b, 7.(-3,3,2) [由中点M的坐标为(0,1， 长为1，根据题意知(DA,DC,DD}为单 219 位正交基底，设DA=i,DC-j,DD,=k,! 所以Q点的坐标为（一4，一1，一6）或(2，： 5,0). HG,则HG= 向量EF可用单位正交基底(i,j,k}: 表示 6.(-4,3,2)[因为点D(0,0,0),DB1= :EF=ED+DC+C市，ED与DA共线， (4,3,2),所以B(4,3,2),即AD=4,CD =3,DD1=2,所以A(4,0,0),C1(0,3,2), C下与CA共线， 因此AC=(一4,3,2).] = 号成+FG.EBG,HG,FG过月- ∴.设ED-λDA1,CF-CA 则EF=ADA1+DC+:CA 7.3 点G,.E,F,G,H四点共面，又HG与 5 [由题知，b-a=(1十t,2t-1,0), B1D1相交，B1D1与平面EFG相交，故 =A(DA+DD )+DC+(DA-DC) ∴.|b-a2=(1+t)2+(2-1)2+02=521 A不正确；B(a,a,0),D(0,0,a),A(a, =(+)DA+(1-)DC+DD 0,0),B1(a,a,a),C(0,a,0),∴.BD1= =(A十)i+(1一4)j+从， (-a,-a,a),AB1=(0,a,a),AC-(-a, ,EFLA D,EF⊥AC = a,0),则BD,·AB1=0,BD·AC=0, 即EF⊥AD,EF⊥AC 号ba-3y5] 5· ∴BD⊥AB,BD⊥AC,即BD1⊥AB, ∴.EF·AD=0,EF·AC-0, 18.17或-1[由题知，a·b=-2-λ-2= BD1⊥AC,又AB1∩AC=A,∴.BD⊥平 又AD=-i-k,AC=-i+j, -λ-4，a=/1+λ2+4=√5+2，b|1 =√4+1+T=√6，故cos120°=00 面ACB,故B正确：壶=（0，-号， ([(λ+以)i+(1-a)j+k]·(-i-k)=0, [(a+)i+(1-)j+k]·(-i+j)=0,: 2,解得=17或1= ）,Bd=(-a,-a,a∴cos亦，D 整理得{仁设分00 /5十λ2·√6 萨.Bd 1 9.解由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0, EFIBD 即21=0解得 =一3’ 1,0),D(1,1,1) V 2 A+24=1, 2 一3 )由PB=2AP得P(1,号) 3 3 所以M一1, ,所以PM E tan(亦，BD)= 3 √2 萨的坐标是（行宁一） -23 ,异面直线 3 6 2 3 (2)证明 .BD =BD+DD=-i-j (2)当点P是面对角线AB的中点时， +k, 1 ,点Q在面对角线DC上运} 又由(1)知亦=吉计-专k , F与BD,所成角的正切值为号，故C正 确；易知四面体ACB1D的体积等于正方 动，设点Q(a,1,a),a∈[0,1]，则PQ= 体的体积减去四个正三棱锥的体积，即 亦丽 a-+(1-)+(a-)》 -4X号×a2=a,故D不正确.故 即EF与BD1共线， 选B、C 又EF与BD1无公共点， ∴.EF∥BD. )(-号) [由已知 课时分层检测（五） 基础达标练 以当a=子时，PQ取得最小值写，此时 得a·b=5×(-2)+3+1× (-) 1.A[a-b十2c=(9,3,0), a-b+2c=√g+32+0=3√0.] 点Q是1) -号，因为a与b的夹角为纯角，所以 2.B[设b=(x,y,),各选项给出的向量的：10.解(1)设正三棱柱的侧棱长为h, a·b<0, 模都是√2，且a=√2 由题意得A(0,一1,0)，B(√5,0,0)，C(0, 1,0),B1(5,0,h),C(0,1,h), 即3-号<0，所以1器。 2 若a与b的夹角为180°，则存在入<0， 即x一2=1，结合远项知B项满足.] 则AB1=(W5,1,h),BC=(-√5,1，h), 使a=b(入<0)， 因为AB1⊥BC1,所以AB,·BC=-3+ 3.C[由题唐得AB中点M(2,号3又 1十h2=0, 即(5,3,1)=1-2,1，- 5=-2 C0,l,0),所以Ci-(2,2,3,故M到 所以h=√2. (2)由(1)可知AB1=(W3,1,2), 所以3=d, C的距离为CM=|CM BC=(-5,1,0), 01=- +() +32=3 所以AB1·BC=-3+1=-2. 所以1一 6 2 因为AB1=√6，BC=2, 故1的取值范围是 4.A[根据公式os(a,b>=ab a·b 所以os,ò=2 2√ 6 所以异面直线AB,与BC所成角的余弦： -,号)（号） x+8-10 √/x2+16+25×√/1+4+4 6 x-2 值为怎 3.平行 3√2 4 工以 ,解得工=一3。故能力提升练 D为原点，DA, /x2+41 1.BC 「如图，以D IDC,DD1所在的 选A.] 为原点，DA,DC, 5,B[设Q(xy,z),则PQ=(x+1,y2,z DD,所在直线分 H 嘉我编我他 +3),由题知MN=(1,1,1),又PQ= 别为x轴、y轴、z 图所示的空间直 3MN且PQ∥M衣，所以Pd=-3MN或 轴，建立空间直角 角坐标系Dxyz, 坐标系Dxyz,则 PQ=3 MN, 易得D(0,0,0),A1(1,0,1),E0,1, （x+1=3, D(0,0,0),Ea, 即∫十2=二3成2=3， ）B(1,1,0,因为P,Q均在平面 (z+3=-3 (z+3=3, x=-4, x=2, A1BCD1内，所以可设P(a,b,1),Q(n, 解得y=-1,或y=5, (x=一6 (x=0, AD的中点H,则H(受，0，@连接 1),从A它=（-1,1，-）B前 220