1.3.1 空间直角坐标系-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

数学选择性必修第一册 于点D,E,F,若PD=mPA,PE=nPB,PF= 课堂小结 :元，求证：十十为定值，并求出该定值。 重要思想与方法 (1)空间向量基本定理表明空间的任意一个向量都可以用 空间的一组基底来表示，并且这种表示是唯一的，体现了转 化与化归的思想方法， (2)证明空间中的直线、平面的垂直和平行，要分别结合相 关的判定定理，转化为向量的运算；求空间两点间的距离或 线段的长度一般转化为求对应向量的模；求两直线的夹角 则转化为求向量的夹角（或其补角）.体现了转化与化归的 思想方法。 定理 空间向量 基本定理 单位正交基底与正交分解 基底、基向量 温馨提示 请做课时分层检测（三） 1.3.1 珍空间直角坐标系 【课标要求】1.了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性.2.会用空间直角坐标系刻 画点的坐标，会用坐标表示空间向量 【素养要求】1.点和向量的坐标表示.2.空间直角坐标系理解及运用. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.空间直角坐标系 A的位置由向量OA ,由空间向量基本 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,: 定理，存在唯一的有序实数组(x,y,之)，使 k},以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方 在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA 向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： 对应的有序实数组(x,y,之)，叫做点A在空间 x轴、y轴、之轴，它们都叫做坐标轴.这时我们 直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,之)，其中x 就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原： 叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，之叫 点，i,j,k都叫做 ,通过 做点A的竖坐标. 的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oy之：3.空间向量的坐标表示 平面，Ox平面，它们把空间分成 个 在空间直角坐标系Oxy之中，给定向量a.作OA 部分， =a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实 2.空间点的坐标表示 数组(x,y,),使a=i+y以j十冰.有序实数组 在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向！ (x,y,之)叫做a在空间直角坐标系Oxy之中的 量，对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点： 坐标，上式可简记作 —12 第一章空间向量与立体几何 4.几个特殊位置的点的坐标 即时小练 如图，(1)在x轴上的点 D'(0,0,z) C(0,y,) 的坐标为A(x,0,0). A'(x,0, B'(x z) 1.判断正误 (2)在y轴上的点的坐 C(0,y,0) (1)若向量a=xe1十ye2十e3,则a的坐标是 O(D () 标为C(0,y,0) xA,0,0)B(x,y,0) (x,y,之). (3)在之轴上的点的坐 (2)若向量AB=(x,y,之)，则点B的坐标是(x, y,之). ) 标为D'(0,0,x) (4)在Oxy平面内的点的坐标为 (3)若四边形ABCD是平行四边形，则向量AB (5)在Oxx平面内的点的坐标为 与DC的坐标相同. (6)在Oy之平面内的点的坐标为 2.如图所示的空间直角坐标系 中，单位正方体顶点A的坐 5.空间中点的对称点的坐标 标是 P(x,y,z) 关于原点对称 P1(-x,一y,一之） A.(-1,-1,-1) P(x,y,2) 关于x轴对称 P2(x,-y,-z) B.(1,-1,1) P(x,y,2) 关于y轴对称 P3(-x,y,-x) C.(1,-1,-1) P(x,y,z) 关于之轴对称 P4(-x,-y,z) D.(-1,1,-1) P(x,y,z) 关于平面Oxy对称 P5(x,y,一2) 3.设之是任意实数，则点P(2,2,)运动的轨迹是 P(x,y,z) 关于平面O:x对称 P6(x,一y,2) A.一个平面 B.一条直线 P(r,y) 关于平面Oy之对称 P7(-x,y,z) C.一个圆 D.一个球 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 /方法技巧/ 题点一求点的坐标 ; 1.若坐标系已给出，不用再建系，若未给出坐 [典例](1)画一个正方体ABCD-A1B1C1D1, 标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下 若以A为坐标原点，以棱AB,AD,AA1所在的 原则： 直线分别为x轴、y轴、之轴，取正方体的棱长为 ， (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平 单位长度，建立空间直角坐标系，则 面内； ①顶点A,D1的坐标分别为 (2)充分利用几何图形的对称性。 ②棱C1C中点的坐标为 2.求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐 ③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为 标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出 它在另一坐标轴上的射影（或者通过它到这 (2)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4， 个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第 则棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系， 写出各顶点的坐标. 三个坐标： [听课记录] 对点训练 1.在空间直角坐标系中，已知点P(1,2,3),过点 P作平面Oxx的垂线PQ,垂足为Q,则点Q的 坐标为 ( A.(0,2,0) B.(0,2,3) C.(1,0,3) D.(1,2,0) 13 数学选择性必修第一册 2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 …/方法技巧/ 中，底边长为2，高为4，试建立适当 空间点的对称问题的解题策略 的空间直角坐标系，并写出各顶点 的坐标 (1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐标 系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规 律，才能准确求解 (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保 持不变，其余坐标相反”这个结论 对点训练 1.在空间直角坐标系中，点(2，一1,3)关于平面 Oxx的对称点的坐标是 A.（-2,-1,-3) B.(2,1,-3) C.(-2,-1,3) D.(2,1,3) 2.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=5,AD=4,AA1=3,以DA,DC,DD1所 在直线分别为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐 题点二 空间点的对称问题 标系，则 ( [典例]在空间直角坐标系中，已知点P(一2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2,-1,一4)对称的点的： 坐标 A.点B1的坐标为(4,5,3) [听课记录] B.点C1关于点B对称的点为(5,8，一3) C.点B关于x轴的对称点为（一4,5,0） D.点C1关于平面xDx对称的点为(0，一5,3) 题点三空间向量的坐标表示 [典例]如图，已知PA垂直于正方形ABCD所 在的平面，M,N分别是AB,PC的中点，并且 AB=AP=1,建立适当的空间直角坐标系，并 求MN,DC的坐标 14 第一章空间向量与立体几何 [听课记录] 对点训练 在直三棱柱ABO-A1B1O1中， A ∠A0B=,A0=4.B0=2.AA, D =4,D为A1B1的中点，在如图所 示的空间直角坐标系中，求DO, A1B的坐标. :…/方法技巧/ 在几何图形中要依据图形的特点建立恰当的 空间直角坐标系，以方便确定点的坐标为原 则，建立的空间直角坐标系不同，则各点的坐 标一般不会相同，但向量的坐标始终是不 变的. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标是(8,6,4)，：4.已知棱长为a的正四面体 其中a=i十j,b=j+k,c=k十i,则点A在基底： ABCD,如图，建立空间直角 {i,j,k}下的坐标是 ) 坐标系，O为A在底面上的 A.(12,14,10) B.(10,12,14) 射影，M,N分别为线段AB, C.(14,12,10) D.(4,3,2) AD的中点，则M的坐标是 2.在空间直角坐标系Oxy之中，点M(.x,y,2022):5.在长方体ABCD-A1BCD1 2 D (x∈R,y∈R)构成的集合是 ( 中，AD=3,DC=5,DD1=4, A A.一条直线 在如图建立的空间直角坐标 B.平行于平面Oxy的平面 系中，求点B与向量AC的 C.两条直线 坐标. D.平行于平面O必x的平面 3.(多选)关于空间直角坐标系O-xy中的一点 P(1,2,3)有下列说法，其中正确的是 ( A.线段OP的中点坐标为（行1，） B.点P关于x轴对称的点的坐标为（一1，一2，： -3) C.点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，： -3) D.点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2， -3) 15 数学 选择性必修第一册 课堂小结 右手系 空间直角 坐标系 点的坐标表示 重要思想与方法 向量的坐标表示 (1)和平面直角坐标系一样，建立空间直角坐标系也要借助 于具体的几何图形的特征，体现了数形结合的思想方法 点的对称性 (2)求空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标，要观察该 点在坐标轴的正方向或负方向上离开原点的距离： 温馨提示 请做课时分层检测（四） 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 【课标要求】1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示. 3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题 【素养要求】通过学习空间向量坐标运算的公式及方法，提升学生数学运算素养和数学抽象素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.与空间向量运算有关的坐标表示 :2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 设A(x1,y1,21),B(x2,y2,22),O(0,0,0),AB 名称 坐标表示 =OB-OA= .即一个空间 向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 加法 a+b= 坐标减去起点坐标 3.空间两点间的距离公式 减法 6 己知A(x1y1之1)，B(x2y2,2),则A,B两点间 的距离dAB=AB|= 数乘 λa=(λa1,Aa2,λa3)(入∈R) 数量积 a·b 即时小练 当b≠0时，a∥b台a=Ab台a1=入b1,a2=Ab2, 1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a 共线 a3=λb3(入∈R) 十2b等于 A.(16,0,4) B.(8,-16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) 垂直 a⊥b台a·b=0台 2.下列向量中，与向量a=(0,0,1)平行的向量为 向量长 会 a=√a·a=√a+a+a A.b=(1,0,0) B.c=(0,1,0) C.d=(-1,-1,-1)D.e=(0,0,-1) cosa,b)=a·b 3.已知A(1,2,一1)关于Oxy平面的对称点为B, 向量夹 lab 而B关于x轴的对称点为C,则BC=() 角公式 ab+azb2+a3b3 √a+a+a√b+b+b A.(0,4,2) B.(0,4,0) C.(0,-4,-2) D.(2,0,-2) 16由A,B1,D1,C四点不共面可知向量x,y,!∴BD⊥EG,BD⊥FG,又EG∩FG=G,: y1的点P在这两个三棱柱的公共部 z也不共面， ,B1D⊥平面EFG,又BD⊥平面ABD,! 分（如图），即三棱锥A-A,CD内，其体 同理可知b,c,z和r,y,a十b十c也不共： 平面ABD与平面EFG不重合，∴，平面 面，可以作为空间的基底.因x=a十b,故 EFG∥平面ABD 积是号×号×1X1×1=] a,b,x共面，故不能作为基底.] 对点训练 5.证明连接AG并延长交BC于点H(图 2.0m与n共线，设n=m(入∈R),则 解(1)取空间中的一个基底：AB=a,AD=! 略)，由题意，可令{PA,PB,PC为空间的 I=A xa十b十c=a-b十c,即 b,AA=c若BD⊥AN,则BD·AN=0. -个基底，i=子心=号Pi+)- A=1 .BD-AD-AB-6-a,AN-AA+A N- x=1,y=-1,则x十y=0. 是+是×号府=是成+合× 题点 「典例] 解 连接 应+花=是成+(-)+ BO,则B萨-2成 -含=0∴a=5-1 2 (2)当M为棱DD1的中点，BM∥平面： 十元-pi)=i+p+P元 -+0 ABN时，Bi=-a+b+之c,A=办+ 连接DM,因为点D,E,F,M共面，所以存 =(-b-a+ c,AB,=a+c.BM∥平面ABN,向i 在实数入，以使得DM=AD正+：DF,即 含a-b+7c, 量BM,AN,AB共面，∴了x,y∈R,使得 PM-PD=X(PE-PD)+(PF-PD), 成-心+C=-a+前 BM=xAN+yAB,R-a+b+2c=xa 所以PM=(1一X-)PD+PE+uPF- (1-A-)mPA十PB+世PC,由空间 -1=y, --a+之d+0) 1=x入， 向量基本定理，知子=(1-入-0m,子 +xb十(x+y)c 解得 ,=,所以+1+1 1 =4(1-λ ab+c. n )十4十44=4，为定值 A正=AP+P =A0+O+之(Pi+dC) 素养演练·提升技能 1.3.1 空间直角坐标系 1.A「如图所示，连接 必备知识·自主梳理 =-a+c+2(-c+b) AG,并延长，交BC于 1.坐标向量每两条坐标轴八 点E,则点E为BC的 2.唯一确定OA=i十十冰 =-a+be 中点，A正=号（店+ 3.a=(x,y,z)4.(4)B(x,y,0) (5)A'(x,0,x)(6)C(0,y,z) 亦=号=0i=2a 0=之O成-2 即时小练 :1.(1)×(2)×(3)/ 对点训练 解1)B成=心+CM-元+号C市- +d.G=号应 2.C「依据空间中点的坐标的定义，点A的 坐标是(1，一1，一1). BC+号（成+i+Ap)=号成- =号(O成-2Oi+心).：0心=2GG,3B点P(2,2,)运动的轨连是过点(2， 2,0)且与x轴平行的一条直线，] 号i+号币--3a+号b+号。 花=号G=号（成+AG)=关键能力，合作探究 :题点一 (2)成-成-i-劢-号元- 号0i+号成-号i+号d)=典例1)00,00.0,11)@11， 控在 2)③3,0,2) (2)解，正四棱锥P-ABCD的底面边 多市号迹+动+号市-号峦：丽成 长为4，侧棱长为10， ,正四棱锥的高 为2√23. 得A店.=Ai·(D丽-号D心) 以正四棱锥的底 以x=一2 面中心为原，点，平 名又应=写，故s,应= 行于BC,AB所在 题点三 2 的直线分别为x 典例]证明(1)易得BD-B,C+CD: ,则直线AB和CE所成角的余弦值 轴、y轴，垂直于平 面ABCD的直线 B =BC+Bi,d=B元+C苏=BC! 为 为x轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则正四 合B或.：B立·-(B亡+aC设成=a,D西-c,以abc 棱锥各顶，点的坐标分别为A(2,-一2,0)， B(2,2,0),C(-2,2,0),D(-2,-2, 2·BA=0,马i.励=(BC! 为基底，则AD=AD+DD=一a+c,DB 0),P(0,0,2√23). -DA+DC+BB=a+b+c.又AD,=2,对点训练 +2B·(BC-B)-BC DB|=√5，所以cos(AD1,DB1〉= 1.C PQ⊥平面Ozx,Q为垂足，在平面 Ozx内，所以纵坐标为0，即点Q的坐标为 (a+b+c)·(-a十c)=-a+c= 2 -十B房=0，∴B.DLBA,BDLBD, (1,0,3).] 2√5 2√5 25!2.解取BC的中点O,连接 又BA∩BD=B,∴.BD⊥平面ABD. 即异面直线AD与DB,所成角的 OA,过O作OD⊥BC交 (2)连接BG(图略).D元=B1C-B主= 5 BC于点D,则OAL BC 余孩值为5，] ODL平面ABC,所以OA (BC+BA)-B= 5 OB,OD两两垂直，以点O 4.D厂根据向量加法 为坐标原点，OA,OB,OD所 号BABD.元=(BC+号BB) 的几何意义和空间 在直线分别为x轴、y轴、z 向量基本定理，知满 轴建立空间直角坐标系，如图所示 ·(2BC+分B-)= 足0x≤y≤1的点 P在三棱柱ACD 由题意，得40=×2=尽，从而可知 2BC-gB=0,BD.元= A1C1D内，满足 各顶点的坐标分别为A(√，0,0)，B(0,1, 0y2≤1的，点P (Bd+国)·(2B)-0 在三棱柱AA,D 0),C(0,-1,0),A(W3,0,4),B(0,1, BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤ 4),C(0,-1,4). 187 题点二 以a十b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2, [典例]解(1)由于点P关于x轴对称 一2)，又因为a十b与2a一b互相垂直，所 后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的 以(a+b)·(2a一b)=0,即3k-3+2k- 分量变为原来的相反数，所以对称点坐标 √6 ,∴AB的中点M的坐标为 为P(一2，-1，一4). 4 4=0,解得k=子.] (2)由点P关于Oxy平面对称后，它在x1 √3.√6 2.证明(1)设AC与BD交于，点G,连 轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原 12a,6a 接EG. 来的相反数，所以对称点坐标为P,(-2,5.解记x,y,:轴正方向上的单位向量分 1,-4). 因为EF∥AC,且EF=1,AG=号AC- (3)设对称点为P(x,y,),则点M为线 别为i,j,k,则DA=3i,DC=5j,DD= 4k,所以DB=DA+AB+BB,=DA+DCI 1,AF-AG+GE+EF-GE, 段PP?的中点，由中点坐标公式，可得x AF∥GE,∴AF∥EG. =2×2-(-2)=6, +DD1=3i+5j+4k=(3,5,4),即B,的 因为EGC平面BDE,AF寸平面BDE,所 y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-41 坐标为(3,5,4).AC=AB+BC+CC= 以AF∥平面BDE. 一12， (2)因为正方形ABCD和四边形ACEF 所以P3的坐标为(6，一3，一12). DC-DA+DD=5j-3i+4k=-3i+5j +4k=(-3,5,4). 所在的平面相互垂直，AC为交线且CE」 对点训练 1D[因为关于平面Ozx对称的两点其纵1.3.2 AC,CEC平面ACEF,所以CE⊥平面 空间向量运算的坐标表示· ABCD. 坐标互为相反数，故答案为(2,1,3).] 2.AD[根据题意，点B,的坐标为(4,5，必备知识·自主梳理 如图，以C为原点，建 3),选项A正确：点B的坐标为(4,5,0)，！ 1.(a1+b,a2+be,a3+b)(a1-h, 立空间直角坐标系 a2-b3,a3-bs ab+a2b2+asbs Cxvz.则C(0,0,0), C1坐标为(0,5,3)，故点C关于点B对称 的点为(8,5，一3)，选项B错误：，点B关于 a1b+a2b十agb3=0 A(2,2,0),B(0, x轴的对称点为(4，一5,0)，远项C错误： 2.(x-x1,y-M,22-a1) √2,0)，D(2,0,0),E 点C1关于平面xDx对称的点为(0，一5， 3.√/(x2-x1)2+(y2-y1)+(x2-z1) 3),远项D正确.故选A、D.] 即时小练 005号，9， 题点三 1.D[4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0) [典例]解设DA=e, =(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).」 AB=e2,AP=e,则DC 2.D3.C 关键能力·合作探究 BE=(0,-√2,1)，DE-(-2,0,1). =AB=e2,以{e1,e2 题点一 所以C亦.B正=0-1+1=0， e}为单位正交基底建 ,典例] 解AB=(2,6,-3),AC=(-4, CF·DE--1+0+1=0, 立空间直角坐标系，如 3,1). 所以C正⊥B正，C市⊥D正 图所示.则M-MA+AP+P=MA+ (1)0=(店-0=6,3，-40= 即CF⊥BE,CF⊥DE. +心-Mi+市+名i+市+ 又BE∩DE=E,且BEC平面BDE, =-e+6+(-6-e)= (3,号，-2)，则点P的坐标为(3，号 3 DEC平面BDE,所以CF⊥平面BDE !题点三 -2) :[典例]解(1)如 (2)设P(x,y,z) 图，建立空间直角 坐标系」 D元-(0,1,0). 则AP=(x-2,y十1,2-2). 3 对点训练 :市=Ai-A=(3,号，-2)， :∠ADC=∠DAB =90°， 解因为D0=-O市=-(0d+OD)= x-2=3, x=5, AB=4,CD=1, -[od+÷(0i+0i]=-0d 1-，解得 AD=2, .A(2,0,0),C(0, 号i-0成=-20，-6-4e,所以Dò （x-2=-2, ! (2=0, 1,0),B(2,4,0) 由PD⊥平面ABCD,得 （-2,一、-0.国为AB二0亦-0对点训练 则点P的坐标为(5,20). ∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， =OB-(OA+00)=Oi-0A-00=:1.C[因为a=(4,2,-4),b=(2,1,-1), ∴.∠PAD=60. -4e+2e-4e,所以AB=(-4,2,-4). 所以2a-3b=2(4,2,-4)-3(2,1,-1) 在Rt△PAD中，由AD=2,得PD=25 素养演练·提升技能 =(2,1,-5).] ∴P(0,0,2W3) 1.A[设0为坐标原点，则Oi=8a+6b+2B[b十c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2, .BP=√/(0-2)2+(0-4)2+(25-0)2= 4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+ 5),a·(b+c)=2×2+2×3+(-1)×5· 4√2 14j+10k,故点A在基底{i,j,k}下的坐 =5. (2)由(1)得，PA=(2,0,-23),BC= 标是(12,14,10). 题点二 2.B[由题意知，点M在平面Oxy的上方，[典例]解(1)因为a=A店=(1,1,0)，b (-2,-3,0) 且距平面Oxy的距离始终为2022，故！ ..cos(PA,BC) =AC=(-1,0,2),所以2a-b=(3,2,1 选B.] -1 -2×(-2)+0×(-3)+(-23)×0 3.AD[对于A,线段OP的中点坐标为1 -2),又c= 4×/13 1 1,）故A正确：对于B点P关 所以2a-b=-2c. 13 所以(2a-b)∥c. 13 于x轴对称的点的坐标为(1，一2，一3)， (2)因为a=AB=(1,1,0), ∴，异面直线PA与BC所成角的余弦值 故B错误：对于C,点P关于坐标原点对 称的，点的坐标为（一1，一2，一3），故C错 b-AC=(-1,0,2), 为3 131 误；对于D,点P关于xOy平面对称的，点 所以ka十b=(k一1，k,2) 的坐标为(1,2，一3)，故D正确.故远！ ka-2b=(k+2,k,-4). 对点训练 1.B[如图，取AB的中 A、D.] 又因为(ka+b)⊥(ka-2b), 点O,连接OC,以)为 4(.-5 所以(ka十b)·(ka-2b)=0, [由正四面体棱· 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k- 坐标原点，以AB所在 直线为x轴，以OC所 10=0. 长为a,知△BCD的外接图半径为。 在直线为y轴建立空 解得及=2或-号 间直角坐标系. B(一，一0），又正回面体的高：对点训练 设AA=a,则A 1.A[因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所 188