精品解析：安徽省巢湖市2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 注意：请在答题卡上作答，在试卷上作答无效！ 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，列式计算可得答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加法和除法法则计算即可判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的判定方法． 直接根据平行四边形的判定定理进行逐项分析，判断即可． 【详解】解：∵ ∴四边形也可能是梯形， 故A选项不符合题意； ∵ ∴不能证明四边形是平行四边形 故B选项不符合题意； ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故C选项符合题意； ∵ ∴不能证明四边形是平行四边形 故D选项不符合题意； 故选C． 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A 2，3，3 B. 2，3，4 C. 2，3，5 D. 2，，3 【答案】D 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； C、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； D、因为，所以能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，解题关键是认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 一个四边形是菱形，则它的四条边都相等 C. 一个四边形是矩形，则它的对角线相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】B 【解析】 【分析】先写出原命题的逆命题，根据角的认识，菱形的判定，矩形的判定，实数的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】A．逆命题为：如果两个角相等，那么它们都是直角，错误，是假命题，不符合题意； B．逆命题为：如果四边形的四条边相等，那么它是菱形，正确，是真命题，符合题意； C．逆命题为：如果四边形的对角线相等，那么它是矩形，错误，是假命题，不符合题意； D．逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们也相等，错误，是假命题，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了判断逆命题的真假，矩形的判定，菱形的判定定理，掌握相关定义定理是解题的关键． 6. 在平行四边形中，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及内角比可得，设每份为，则，解得，进而可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， 设每份为，则， 解得， 则． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是4 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是3 D. 样本的平均数是3.5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算公式逐项判断即可得． 【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为 则样本的容量是4，选项A正确 样本的中位数是，选项B正确 样本的众数是3，选项C正确 样本的平均数是，选项D错误 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出样本数据是解题关键． 8. 直线经过点，且当时，的最大值为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分函数在当x=3时取得最大值和当x=6时取得最大值两种情况讨论即可． 【详解】解：把点（2，-4）代入y=kx+b，可得：2k+b=-4， 在范围内，当x=3时取得最大值，此时k＜0， 把（3，8）代入y=kx+b，可得：3k+b=8， 解得：k=12，b=-28，k＞0，不符合题意,； 在范围内，当x=6时取得最大值，此时k>0， 把（6，8）代入y=kx+b，可得：6k+b=8， 解得：k=3，b=-10，k＞0，符合题意， 所以k+b=3-10=-7； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标特征的问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式． 9. 如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法： ①； ②； ③； ④． 其中说法正确的是(    ) A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确． 【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故式①正确； ②小正方形面积为，则其边长是2， 因为是四个全等三角形，所以有，所以，故式②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即，化简得，故式③正确； ④因为，所以，故式④不正确． 综上，①②③正确． 故选：B． 10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为 ( ) A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】取MB的中点P，连接FP，EP，DN，由中位线的性质，可得当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为∆EFP，求出当点N与点A重合时，FP的值，以及FP上的高，进而即可求解． 【详解】取MB的中点P，连接FP，EP，DN， ∵FP是∆MNB的中位线，EF是∆DMN的中位线， ∴FP∥BN，FP=，EF∥DN，EF=， ∴当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为∆EFP． ∴当点N与点A重合时，FP===4， 过点D作DQ⊥AB于点Q， ∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5， ∴AQ=8-5=3， ∴DQ=， ∴当点N与点Q重合时，EF=，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP， ∴∆EFP中，FP上的高=2， ∴当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=×4×2=4． 故选A． 【点睛】本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键． 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 一组数据按从小到大排列为1，2，4，，6，9，这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意先根据中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义即可求出答案． 【详解】解：∵这组数据按从小到大排列为1，2，4，x，6，9， 又∵这组数据的中位数为5， ∴（4+x）÷2=5， 解得：x=6， ∴这组数据为1，2，4，6，6，9， ∴这组数据的众数为6. 故答案：6． 【点睛】本题考查中位数和众数，解题的关键是先根据中位数的定义求出x的值，再找众数． 12. 定义运算“”的运算法则为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加法运算．根据新定义运算，利用二次根式的运算，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图所示，矩形的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先证明，得到，从而得到阴影部分的面积为，解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴阴影部分的面积为3， 故答案为：3． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点． （1）用含x的式子表示线段的长是_____； （2）结合图形，判断式子的最小值是____． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可； （2）根据题意得出求PA+PB的最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由题意可得：，即为求PA+PB的最小值， 作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如图所示： PA+PB=AB’=， 即最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 三、（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．先根据二次根式、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算后，再进行实数的加减混合运算即可． 【详解】解： ． 16. 已知：如图，点E、F分别是中、边上的点，且，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，利用平行四边形的性质得出，，进而求出，进而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而求出即可． 【详解】证明：∵是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 四、（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 17. 在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） （1）在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； （2）在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； （3）在图3中作一条线段，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查网格作图-应用与设计作图，涉及勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）由网格特点或勾股定理取格点，即可得解； （2）由网格特点和勾股定理，取格点、，可得到，； （3）由网格特点和勾股定理，取格点，可得到，再取与格线的交点，得到． 【小问1详解】 解：如图1，格点和线段或点和线段即为所求作； ； 【小问2详解】 解：如图2，格点和点，线段和线段即为所求作； ； 【小问3详解】 解：如图3，线段即为所求作． 18. 阅读下列解题过程：＝＝＝＝；请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，化简：①，②； （2）利用上面提供的解法，请计算：． 【答案】（1）①；②；（2）n 【解析】 【分析】根据题意给出的运算过程即可求出答案． 【详解】解：（1）① ＝＝＋3； ② ＝＝； （2） ＝（）（） ＝（）（） ＝n． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解分母有理化，本题属于基础题型． 五、（本大题共两小题，每小题10分，共20分） 19. 某商场计划购进两种商品进行销售，商品每件进价30元，原定售价48元，商品每件进价40元，原定售价60元，设购进商品件，商场总利润为元． （1）一月份计划购进两种商品共20件，商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元，有几种进货方案？ （2）若按（1）中方案进货，实际销售中由于某原因，决定降价销售，每件降价元，每件降价2a元，全部售完，可获得最大利润350元，求的值． 【答案】（1）三种；即：①商品10件，商品10件；②商品11件，商品9件；③商品12件，商品8件． （2）的值为1． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式组的应用． （1）先求得，再根据“商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元”列出不等式组，求解即可； （2）设降价后的总利润为元，求得，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购进商品件，则购进商品件，由题意得 ， 商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元， ， 解得， 为整数， 或或， 故有三种进货方案， 即：①商品10件，商品10件；②商品11件，商品9件；③商品12件，商品8件； 【小问2详解】 解：设降价后的总利润为元，则 ， ，即时，此时随的增大而减小， ， 当时，，即， 解得．故的值为1． 20. 某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长（简称：停车时长）的情况．超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据（单位：分钟），并将数据整理，绘制了如下统计图表： 组别 停车时长/分钟 组内平均停车时长/分钟 15 47 80 105 200 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在_________组； （2）求本次采集的这60个数据的平均数； （3）如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多少辆车免收停车费？ 【答案】（1）图见解析， （2）本次采集的这60个数据的平均数为65分钟； （3）估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据条形图求出组的频数，即可补全条形统计图；根据中位数的定义即可得出答案； （2）根据平均数公式计算即可； （3）用1000乘以停车时长不超过60分钟的百分比即可． 【小问1详解】 解：组的频数为， 补全条形统计图如下： 中位数是数据从小到大排列后第30个和31个数据的平均数，第30个和31个数据都在组， 这60个数据的中位数落在组； 故答案为：； 【小问2详解】 解：（分钟）， 答：本次采集的这60个数据的平均数为65分钟； 【小问3详解】 解：（辆， 答：估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，，AB＝8cm，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． （1）当为何值时，是等边三角形？ （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】(1)首先可求得，故当AF=AP时，即时，是等边三角形，据此即可求得； (2)分两种情况分别计算，即可求得； (3)首先可求得PC=16-2t，再根据直角三角形的性质，可求得PD=8-t，即可证得PD=AF，根据平行四边形的判定定理，即可证得． 【小问1详解】 解：由题意知：AP=2t，AF=8-t， 在中，， ∴，． 当AF=AP时，即时，是等边三角形， ∴当时，是等边三角形； 【小问2详解】 解：当时，， ，，解得； 当时，， ，，解得， ∴当或时，是直角三角形； 【小问3详解】 证明：，， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的性质，平行四边形的判定定理，用含有t的代数式表示出相关线段是解决本题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 结合函数的学习过程，探究函数，已知当时，；当时，． （1）求这个函数的解析式； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出这个函数的两条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集________________． 【答案】（1） （2）画图见解析；①当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；②当时，函数有最小值； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数图象的性质，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点连线画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出函数与函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：依题意可得， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问2详解】 解：列表如下： … 0 2 … … … 该函数的图象如图所示： 由函数图象可得，①当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；②当时，函数有最小值； 【小问3详解】 解：当时，， 联立，解得； 当时，， 联立，解得； ∴由函数图象可得不等式的解集为． 八、（本题满分14分） 23. 在正方形中，点在射线上，点在的延长线上，为的角平分线，点为射线上一点，且． （1）如图，当点在线段上时，补全图形，求证：； （2）在（1）的条件下，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （3）若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）画图见解析，证明见解析 （2），证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据题意作图，由正方形的性质可得，再由角平分线的定义可得，由此证明得到，再由三角形内角和定理和等边对等角得到，则 （2）如图所示，在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到； （3）分图3-1和图3-2两种情况，通过证明，，之间的数量关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵四边形是正方形， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，当点E在上时， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）的结论可知， ∴； 如图3-2所示，当点E在延长线上时， 在射线上截取，连接， 同理可证明， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，平行线的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 注意：请在答题卡上作答，在试卷上作答无效！ 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C D. 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，3 B. 2，3，4 C. 2，3，5 D. 2，，3 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 一个四边形是菱形，则它的四条边都相等 C. 一个四边形是矩形，则它的对角线相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 6. 在平行四边形中，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 7. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是4 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是3 D. 样本的平均数是3.5 8. 直线经过点，且当时，的最大值为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图是用个全等直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法： ①； ②； ③； ④． 其中说法正确的是(    ) A ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为 ( ) A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 一组数据按从小到大排列为1，2，4，，6，9，这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为______． 12. 定义运算“”的运算法则为，则___________． 13. 如图所示，矩形的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，则图中阴影部分的面积为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点． （1）用含x的式子表示线段的长是_____； （2）结合图形，判断式子的最小值是____． 三、（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 16. 已知：如图，点E、F分别是中、边上的点，且，连接、．求证：四边形是平行四边形． 四、（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 17. 在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） （1）在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； （2）在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； （3）在图3中作一条线段，使． 18. 阅读下列解题过程：＝＝＝＝；请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，化简：①，②； （2）利用上面提供的解法，请计算：． 五、（本大题共两小题，每小题10分，共20分） 19. 某商场计划购进两种商品进行销售，商品每件进价30元，原定售价48元，商品每件进价40元，原定售价60元，设购进商品件，商场总利润为元． （1）一月份计划购进两种商品共20件，商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元，有几种进货方案？ （2）若按（1）中方案进货，实际销售中由于某原因，决定降价销售，每件降价元，每件降价2a元，全部售完，可获得最大利润350元，求的值． 20. 某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长（简称：停车时长）的情况．超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据（单位：分钟），并将数据整理，绘制了如下统计图表： 组别 停车时长/分钟 组内平均停车时长/分钟 15 47 80 105 200 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在_________组； （2）求本次采集的这60个数据的平均数； （3）如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多少辆车免收停车费？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，，AB＝8cm，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． （1）当为何值时，是等边三角形？ （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形． 七、（本题满分12分） 22. 结合函数的学习过程，探究函数，已知当时，；当时，． （1）求这个函数的解析式； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出这个函数的两条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集________________． 八、（本题满分14分） 23. 在正方形中，点在射线上，点在的延长线上，为的角平分线，点为射线上一点，且． （1）如图，当点在线段上时，补全图形，求证：； （2）在（1）条件下，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （3）若，，直接写出线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $