精品解析：河南省南阳市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2026年春期期末质量评估检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果分式有意义，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 2. 南阳月季香飘九洲，月季花历来被称为“花中皇后”．月季属蔷薇科，已有4000年的种植历史，已知月季花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 南阳是艾草产业发展规模最大的地区，近年来，持续拓宽艾制品多元消费市场．某艾草商铺统计了某段时间内四种品类南阳艾制品——甲、乙、丙、丁的销售情况，如下表所示： 品类 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 156 372 241 189 根据表中数据，该艾草店决定增加乙品类艾制品的进货数量，影响其决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 4. 如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（ ） A. B. 10 C. 8 D. 14 5. 如图，在中，与交于点，下列结论中错误的是（ ）     A. 当时，是菱形 B. 当时，是矩形 C. 当时，是菱形 D. 当时，是正方形 6. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，，，点E，F分别是，边上的动点，连接，，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 （教材115页练习3改编） 8. 如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（ ） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 10. 如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ） A. 水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B. 在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C. 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D. 在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 12. 实验中学举行演讲比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项综合评分所占百分比如下图所示．则平均分最高的选手是________． 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 13. 如图，在四边形中，，，为对角线的中点，连接，，，则的度数为__________度． 14. 在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后，点的对应点的坐标为__________． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为__________． 三、解答题（共75分） 16. 计算与化简 （1）计算： （2）化简： 17. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：在线段上作点，使；作的角平分线，交于点，连接； （2）求证：四边形是菱形． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 20. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． （1）请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． （2）选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 21. 2026年南阳五一期间，卧龙岗文化园、世界月季大观园等景区文旅活动火爆出圈，带动了本地文创产品热销．某商场计划购进一批南阳特色文创纪念章A、B两款进行销售．已知每个B款纪念章的进价比A款纪念章贵20元，用400元购进的A款纪念章和用500元购进的B款纪念章个数相同． （1）求A，B两款纪念章每个的进价分别是多少元； （2）若商场计划购进A，B两款纪念章共100个，每个A款纪念章售价为120元，每个B款纪念章售价为150元，且B款纪念章的数量不超过A款纪念章数量的．要使售完这批纪念章后的利润最大，应分别购进A，B两款纪念章多少个？并求出最大利润． 22. 如图，已知以的三边为边，在的同侧分别作等边三角形、和． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积； （3）满足什么条件时，四边形是菱形？直接写出条件． 23. 【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是__________（填序号）． 【基础探究】 （2）如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．求证：四边形为“神奇四边形”． （3）在（2）的条件下，若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期期末质量评估检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果分式有意义，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义，则分式的分母不为0，可得关于x的不等式，解不等式即得答案. 【详解】解：要使分式有意义，则x+1≠0，解得，故选C. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，属于基础题型，分式的分母不为0是分式有意义的前提条件. 2. 南阳月季香飘九洲，月季花历来被称为“花中皇后”．月季属蔷薇科，已有4000年的种植历史，已知月季花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 3. 南阳是艾草产业发展规模最大的地区，近年来，持续拓宽艾制品多元消费市场．某艾草商铺统计了某段时间内四种品类南阳艾制品——甲、乙、丙、丁的销售情况，如下表所示： 品类 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 156 372 241 189 根据表中数据，该艾草店决定增加乙品类艾制品的进货数量，影响其决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，结合商铺增加畅销品类进货的决策目的，根据各统计量的定义即可判断． 【详解】解：由题意得：商铺增加乙品类进货，是因为乙品类的销售量最高，说明乙是最受市场欢迎的品类， ∵众数反映一组数据中出现次数最多/频数最大的品类，可直接体现最畅销的产品，符合决策需求；平均数反映平均销量，中位数反映销量的中间水平，方差反映销量的波动程度，均不符合需求， ∴影响该决策的统计量是众数． 4. 如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（ ） A. B. 10 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，   ，．  ，  ．  ， 即． 在中，由勾股定理得：  ．  ． 5. 如图，在中，与交于点，下列结论中错误的是（ ）     A. 当时，是菱形 B. 当时，是矩形 C. 当时，是菱形 D. 当时，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、当时， 是菱形，故本选项正确，不符合题意； B、当时，，所以 是矩形，故本选项正确，不符合题意； C、当时， 是菱形，故本选项正确，不符合题意； D、当时， 是矩形，故本选项错误，符合题意． 6. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由于题中出现了一次函数和不等式，可以考虑用一次函数和不等式的相关知识解决问题； 根据题意，不等式的解集即为直线在上方的图象对应的x的取值范围，观察图形可得不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断，即可选出正确答案，此题便得到解决． 【详解】解：根据题意得， 当时，， 即不等式的解集为， 故选：C． 7. 如图，矩形中，，，点E，F分别是，边上的动点，连接，，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，在直角中，使用勾股定理求出．容易判断出是的中位线，则，结合，求出的最大值． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，取得最大值， 此时， ∴的最大值为． （教材115页练习3改编） 8. 如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 9. 如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（ ） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，连接交于O，由菱形的性质得到，再由函数图象可得，且当点P运动到上，且时，，据此可得的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， 由函数图象可知，，且当点P运动到上，且时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ） A. 水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B. 在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C. 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D. 在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 【答案】C 【解析】 【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D． 【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、， ∴， 解得：， ∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是， ∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意； 设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为， 当时，， ∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为， ∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意； 当时，，解得：； 当时，； 又∵， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为， ∴选项C的说法错误，故此选项符合题意； 当时，， ∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为， ∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 【答案】（答案不唯一，小于0即可） 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出的取值范围，写出符合范围的任意一个的值即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，， ， 可以取（答案不唯一）． 12. 实验中学举行演讲比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项综合评分所占百分比如下图所示．则平均分最高的选手是________． 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算；计算出甲、乙、丙三位选手的平均数，比较平均数的大小即可． 【详解】解：甲选手的平均分：， 乙选手的平均分：， 丙选手的平均分：， 而， 故乙选手的平均分最高； 故答案为：乙． 13. 如图，在四边形中，，，为对角线的中点，连接，，，则的度数为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得得．利用等腰三角形底角相等及外角性质，分别得，，故．由三角形的内角和定理即可得的度数． 【详解】解：∵，为对角线的中点， ∴， ∴， ∴． 同理，∵，为对角线的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后，点的对应点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可先求出点的坐标，然后可得旋转2026秒后与旋转2秒后点的对应点位置相同，进而问题可求解． 【详解】解：过A作轴于E，过C作轴于F， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 因为， 所以每旋转四次点的位置循环出现． 因为余2， 所以旋转2026秒后与旋转2秒后点的对应点位置相同． 因为点且旋转2秒后的对应点与点关于原点对称， 所以旋转2秒后的对应点的坐标为， 则旋转2026秒后，点的对应点的坐标为． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】存在两种情况，当时，在中，根据勾股定理证明即可求解；当时，过点作于点，设，则，证明，得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：①当时，如图， 设， ∵将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 即； ②当时，如图，过点作于点， ∴，， 设，则， ∵将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； 综上所述，的长为或． 三、解答题（共75分） 16. 计算与化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90；92 （2）70；96；补图见解析 （3）乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【小问1详解】 解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． 【小问2详解】 解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： 【小问3详解】 解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：在线段上作点，使；作的角平分线，交于点，连接； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以为圆心为半径画弧交于，作的角平分线交于点，连接即可； （2）由四边形是平行四边形，可得，则，由是的平分线，可得，则，证明四边形是平行四边形，由，可证四边形是菱形． 【小问1详解】 解：作图如下； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定等知识．熟练掌握作线段等于已知线段，作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定是解题的关键． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入得，得出，将代入得，，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据图象写出一次函数在反比例函数下方时的自变量的取值范围，即可求解； （3）分别求得点的坐标，求得，根据，得出，进而将代入反比例函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， ∴反比例函数的解析式为， 将代入得，， ∴点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 由图象可知：或 【小问3详解】 解：将代入得，， ∴点的坐标为， ， ． 将代入得，， ∴点的坐标为， ， 解得． ∴当， 将代入得，， ∴点坐标为． ∴当， 将代入得，， ∴点坐标为． 综上：点坐标为或． 20. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． （1）请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． （2）选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【答案】（1）①② （2）①，证明见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【小问1详解】 解：符合条件的选项有：①②； 【小问2详解】 解：我选择①，证明过程如下： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 21. 2026年南阳五一期间，卧龙岗文化园、世界月季大观园等景区文旅活动火爆出圈，带动了本地文创产品热销．某商场计划购进一批南阳特色文创纪念章A、B两款进行销售．已知每个B款纪念章的进价比A款纪念章贵20元，用400元购进的A款纪念章和用500元购进的B款纪念章个数相同． （1）求A，B两款纪念章每个的进价分别是多少元； （2）若商场计划购进A，B两款纪念章共100个，每个A款纪念章售价为120元，每个B款纪念章售价为150元，且B款纪念章的数量不超过A款纪念章数量的．要使售完这批纪念章后的利润最大，应分别购进A，B两款纪念章多少个？并求出最大利润． 【答案】（1）A，B两款纪念章每个的进价分别是80元、100元 （2）应购进A款纪念章60个，B款纪念章40个．最大利润为4400元 【解析】 【分析】（1）设每个A款纪念章的进价为元．根据题意，列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购进A款纪念章个，则购进B款纪念章个，根据题意得出，设销售完这批纪念章后的利润为元，列出一次函数关系式，进而根据一次函数的性质求得最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个A款纪念章的进价为元．根据题意， 得 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． （元）． 答：A，B两款纪念章每个的进价分别是80元、100元 【小问2详解】 解：设购进A款纪念章个，则购进B纪念章型个． 根据题意，得， 解得． 设销售完这批纪念章后的利润为元，则 ， 随的增大而减小， ∴当时，最大， 此时． 答：应购进A款纪念章60个，B款纪念章40个．最大利润为4400元． 22. 如图，已知以的三边为边，在的同侧分别作等边三角形、和． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积； （3）满足什么条件时，四边形是菱形？直接写出条件． 【答案】（1）证明：，都是等边三角形， ，，． 在与中， ， ． ． 又， ． 同理可得． ∴四边形是平行四边形． （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形性质得相等边、角，通过SAS证明，得到，同理，两组对边分别相等证平行四边形； （2）由推导，平行四边形为矩形，面积； （3）菱形要求平行四边形邻边相等，即，得且，否则、、共线无法构成四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， ， 代入： ， 由（1）知四边形是平行四边形，且有一个内角为， 四边形是矩形， ， 矩形面积： ． 【小问3详解】 解：菱形判定：平行四边形邻边相等． ，，四边形是平行四边形 当时，， 若，则三点共线，无法构成四边形，故需， 综上条件：且． 23. 【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是__________（填序号）． 【基础探究】 （2）如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．求证：四边形为“神奇四边形”． （3）在（2）的条件下，若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【答案】（1）④ （2）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ∴四边形是“神奇四边形”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的性质结合题中所给的新定义进行求解即可； （2）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而问题可求证； （3）由题意易得，然后可得，由可知，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 解：在平行四边形，矩形，菱形及正方形中，只有正方形的对角线是互相垂直且相等，符合“神奇四边形”的定义； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29， ， ， ∵正方形边长为7， ， ， 由（2）可知：， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $