精品解析：江西赣州市蓉江新区2025 - 2026学年第二学期期末考试七年级数学试题卷

2025—2026学年第二学期期末考试 七年级数学试题卷 （说明：全卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟；答案一律写在答题卡上，否则成绩无效．） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是分数，不是无理数； B、是开立方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数； C、是有限小数，不是无理数； D、，是整数，不是无理数． 2. 用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 木板上弹墨线 B. 测量跳远成绩 C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； B．测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； C．两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； D．把弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意． 3. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 若实数a，b满足，则 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及对顶角概念，平行线的性质，平方的性质等初中知识点，逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，但同位角不是对顶角，∴A是假命题； 对于B选项，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不存在符合要求的平行线，∴B是假命题； 对于C选项，若，则或，例如满足但，∴C是假命题； 对于D选项，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题． 4. 如图，直线、相交于，，垂足为．当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对顶角的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据题意得到，求出即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选C． 5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱48文，问甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱48文”列方程组即可． 【详解】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，由题意得 ， 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组． 6. 如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①② C. ①③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，进而推出，则，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， ∴平分，，故①正确，④错误； ∵， ∴，故②正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 某中学为了了解初二300名学生视力情况，在全校范围内随机抽取20名学生进行调查，本次抽样调查的样本容量是____. 【答案】 【解析】 【分析】根据样本的容量的定义即可得出答案，样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位． 【详解】解：抽取20名学生进行调查， ∴本次抽样调查的样本容量是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了样本的容量的定义，理解定义是解题的关键．样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 8. 若，则______（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质3求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 9. 2026年，“健康第一”不再是口号，而是必须扎根于心的教育哲学，必须付诸行动的政治责任．将如图所示的运动宣传海报放在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先找到原点，再建立平面直角坐标系，即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，即为原点，建立平面直角坐标系，如图 ∴点B的坐标为． 10. 若是方程的解，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：将代入方程得：， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为得． 11. 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二阶行列式，解一元一次不等式，根据二阶行列式的运算法则列不等式是解题的关键． 根据二阶行列式的运算法则得到，解不等式即可得到答案 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据点A，点B，点C的坐标求出三角形的面积，则可得到三角形的面积，再分两种情况：点D在x轴上和点D在y轴上，根据三角形的面积公式讨论求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 当点D在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为或（舍去）， ∴点D的坐标为； 当点D在y轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算与解方程组 （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值，计算算术平方根，立方根，再运算加减法，即可作答． （2）运用代入消元法解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴①代入②，得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为． 14. 已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2，求a+b+c的平方根． 【答案】±4． 【解析】 【分析】根据题意分别求得a，b，c的值，然后代入式子求解即可. 【详解】解：∵a+1的算术平方根是1， ∴a+1=1，即a=0； ∵﹣27的立方根是b﹣12， ∴b﹣12=﹣3，即b=9； ∵c﹣3的平方根是±2， ∴c﹣3=4，即c=7； ∴a+b+c=0+9+7=16， 则a+b+c的平方根是±4． 【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握其知识点与区别是解此题的关键. 15. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集如下： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16. 完成下面的证明． 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（___________）． ． ∴___________（___________）． ．（___________________） ___________（两直线平行，内错角相等）． 又， ∴____________． 平分． 【答案】垂线的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；； 【解析】 【分析】由垂线的定义得到，则根据同位角相等，两直线平行得到，则根据平行线的性质得到，，据此可证明，再由角平分线的定义可证明结论． 【详解】略 17. 如图，将向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： （1）画出平移后的，并写出点的坐标； （2）若平移后的内部有任意一点，请写出平移前对应点的坐标___________． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）结合平移的性质，分别找出点，再依次连接得出，即可得点的坐标； （2）结合平移的性质，以及平移后的内部有任意一点，即可得出平移前对应点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵将向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得，且平移后的内部有任意一点， ∴平移前对应点的坐标为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 19. 2026年4月第四周是首个依法设立的“全民阅读活动周”，某校策划开展“书香校园”系列活动，努力营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围．学校要在各楼层图书角放置散文、小说、诗歌、戏剧四类体裁的文学类书籍，通过调查学生对这四类书籍的喜爱情况，并制作了如图所示的两个不完整的统计图，请根据图中信息解答问题： （1）在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为________； （2）求本次调查中最喜爱“小说”的学生人数； （3）若该校共有860名学生，请你估计全校最喜爱“诗歌”的学生人数． 【答案】（1） （2）人 （3）人 【解析】 【分析】（1）把“散文”的占比直接乘上，得出对应的圆心角，即可作答． （2）先把“散文”的人数除以占比，得出总人数，再列式计算求出最喜爱“小说”的学生人数； （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 即在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为． 【小问2详解】 解：由题意得，总人数为（人）， ∴最喜爱“小说”的学生人数为（人）； 【小问3详解】 解：由题意得，最喜爱“诗歌”的学生占比为， ∴全校最喜爱诗歌的人数为（人）． 20. 阅读理解： 已知实数x，y满足…①，…②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则______，______． （2）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算，已知，，求的值． 【答案】（1）-1， （2）8 【解析】 【分析】（1）利用①−②可求出x−y的值，利用①＋②进行计算可求出x＋y的值； （2）根据题意可得，然后利用整体的思想求出a＋b＋c＝8，即可解答． 【小问1详解】 解：， ①−②得：x−y＝-1， ①＋②得：5x＋5y＝17，则x＋y＝， 故答案为：-1，； 【小问2详解】 根据题意得：， ①×2得：4a＋6b＋2c＝24③， ③−②得：a＋b＋c＝8， ∵1*1＝a＋b＋c＝8． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，加减法的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 探究以下问题： （1）【特例探究】 _______，_______，______． （2）【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． （3）【学以致用】 计算：． 【答案】（1）5，0，6 （2）a， （3） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【小问1详解】 解：，，． 【小问2详解】 解：根据算术平方根的非负性，， 当时，； 当时，． 【小问3详解】 解：∵，，，， ∴ ． 22. 根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【答案】（1），商品的销售单价分别是16元，20元；（2）①；②；（3）购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）设，商品的销售单价分别是元，元，根据“若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元”列出方程组求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）由题意可知，使用外卖配送服务更合算，再结合实际，即可求解． 【详解】解：（1）设，商品的销售单价分别是元，元， 由题意可知，， 解得：， 答：，商品的销售单价分别是16元，20元； （2）①若使用外卖配送商品，共需要元； ②若不使用外卖配送商品，共需要元； 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得：， 又∵，且为整数， ∴购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． （1）观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． （2）探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． （3）如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】（1） （2）（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【小问1详解】 解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末考试 七年级数学试题卷 （说明：全卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟；答案一律写在答题卡上，否则成绩无效．） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 木板上弹墨线 B. 测量跳远成绩 C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直 3. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 若实数a，b满足，则 D. 两直线平行，同位角相等 4. 如图，直线、相交于，，垂足为．当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱48文，问甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①② C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 某中学为了了解初二300名学生视力情况，在全校范围内随机抽取20名学生进行调查，本次抽样调查的样本容量是____. 8. 若，则______（填“＞”或“＜”）． 9. 2026年，“健康第一”不再是口号，而是必须扎根于心的教育哲学，必须付诸行动的政治责任．将如图所示的运动宣传海报放在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 10. 若是方程的解，则_________． 11. 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则的取值范围是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算与解方程组 （1）计算：； （2）解方程组： 14. 已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2，求a+b+c的平方根． 15. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 16. 完成下面的证明． 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（___________）． ． ∴___________（___________）． ．（___________________） ___________（两直线平行，内错角相等）． 又， ∴____________． 平分． 17. 如图，将向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： （1）画出平移后的，并写出点的坐标； （2）若平移后的内部有任意一点，请写出平移前对应点的坐标___________． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 2026年4月第四周是首个依法设立的“全民阅读活动周”，某校策划开展“书香校园”系列活动，努力营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围．学校要在各楼层图书角放置散文、小说、诗歌、戏剧四类体裁的文学类书籍，通过调查学生对这四类书籍的喜爱情况，并制作了如图所示的两个不完整的统计图，请根据图中信息解答问题： （1）在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为________； （2）求本次调查中最喜爱“小说”的学生人数； （3）若该校共有860名学生，请你估计全校最喜爱“诗歌”的学生人数． 20. 阅读理解： 已知实数x，y满足…①，…②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则______，______． （2）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算，已知，，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 探究以下问题： （1）【特例探究】 _______，_______，______． （2）【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． （3）【学以致用】 计算：． 22. 根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． （1）观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． （2）探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． （3）如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $