2.4 函数的周期性与对称性讲义（13大题型）（讲义+精练）-2027届高三数学一轮复习（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数周期性与对称性核心考点，按基础知识点梳理、方法总结、经典题型归纳的逻辑架构组织内容，通过考点分析、方法指导、真题讲解、分层练习的教学环节，帮助学生构建知识网络，突破抽象函数性质推导等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以题型归类与方法总结为特色，如提炼常用周期结论、类周期函数模型等解题策略，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置13类经典题型与分层课后精练，结合高考真题训练，确保学生在有限时间内高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2.4 函数的周期性与对称性 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、函数的周期性 3 知识点二、函数的对称性 3 知识点三、函数的周期对称综合 3 方法总结1：常用周期结论 4 方法总结2：类周期函数 4 方法总结3：抽象函数对应的特殊函数模型 5 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 8 题型1:函数周期的推导计算 8 题型2:周期性下解析式的确定 8 题型3:奇偶性与周期性综合应用 9 题型4:周期内循环规律应用 10 题型5:周期性与零点综合问题 10 题型6:类周期函数的性质应用 11 题型7:奇函数周期零点问题 12 题型8:自对称之轴对称分析 12 题型9:自对称之中心对称分析 13 题型10:双函数对称关系分析 13 题型11:双对称性与周期推导 14 题型12:抽象函数的原函数求解 15 题型13:周期函数的递推规律应用 16 05 课后拓展精练 17 知识点一、函数的周期性 1、周期：若函数对定义域内的任意满足：，则为函数的周期． 最小正周期：周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做的最小正周期． 知识点二、函数的对称性 1、轴对称 将关于轴对称的偶函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于直线对称． ①图象关于直线对称； ②图象关于直线对称． 2、中心对称 将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于点对称． ①函数图象关于点成中心对称； ②函数图象关于点成中心对称； ③函数图象关于点成中心对称． 知识点三、函数的周期对称综合 1、若关于点，对称，则是周期函数，且 2、若图象有两条对称轴，则是周期函数，且 3、若关于点对称，且关于对称，则是周期函数，且 方法总结1：常用周期结论 1、常用周期结论 ①，则的周期 ②，则的周期 ③，则的周期 ④，则的周期 ⑤，则的周期 ⑥，则的周期 ⑦，则的周期 ⑧，则的周期 ⑨，则的周期 ⑩，则的周期 2、若为奇函数则关于点对称；若为偶函数则关于对称 3、若图象关于直线或点对称，且有个零点，，，，则．若，的图象都关于直线对称，且有个交点，则交点的横坐标之和为．若，的图象都关于点对称，且有个交点，则交点的横坐标之和为，纵坐标之和为． 方法总结2：类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 方法总结3：抽象函数对应的特殊函数模型 抽象函数 特殊函数模型 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 幂函数 对数函数 超越函数 正弦型函数 余弦型函数 余弦型函数 余弦型函数 1．（2026年高考全国2卷数学高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025年高考全国一卷数学真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版））已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版））已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A．0 B． C． D． 6．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标II卷））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 7．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则 A． B． C． D． 8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 9．（2017年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）函数的图像关于直线对称，则_____________． 10．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））函数满足，且在区间上，则的值为____． 11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____. 题型1:函数周期的推导计算 【典例1-1】（2026·高三·陕西渭南·开学考试）已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（   ） A． B．6 C．8 D．10 【典例1-2】（2026·高一·江西赣州·期中）若函数满足，且当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式1-1】（2026·高三·浙江·开学考试）已知函数满足：，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）定义在上的奇函数满足，并且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 题型2:周期性下解析式的确定 【典例2-1】（2026·高一·陕西渭南·阶段检测）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高三·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高三·河北·阶段检测）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 题型3:奇偶性与周期性综合应用 【典例3-1】（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【典例3-2】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知是定义在上且周期为2的奇函数，则（   ） A．12 B．-12 C．0 D．-3 【变式3-1】（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【变式3-2】（2026·江西·二模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式3-3】（2026·高一·山东德州·阶段检测）设为定义在上的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-4】（2026·高一·湖南娄底·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．0 题型4:周期内循环规律应用 【典例4-1】（2026·浙江·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，满足，，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【典例4-2】（2026·高三·安徽合肥·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-1】（2026·高一·山东临沂·期末）已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【变式4-2】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（    ） A．0 B．-1012 C．-2 D．1010 题型5:周期性与零点综合问题 【典例5-1】（2026·高二·浙江嘉兴·期末）设是定义在上且周期为的函数，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 【变式5-1】（2026·辽宁大连·三模）函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式5-3】（2026·高三·上海·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．的图像关于点对称 D．函数有个零点 题型6:类周期函数的性质应用 【典例6-1】（2026·高三·山东·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，都有，则______． 【典例6-2】（2026·高三·天津滨海新区·阶段检测）设定义在R上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是___________. 【变式6-1】（2026·高三·上海·期中）定义在上函数满足且当时，则使得在上恒成立的的最小值是________． 【变式6-2】（2026·高三·吉林通化·阶段检测）函数满足是，且，当时，，则当时，的最小值为___________. 【变式6-3】（2026·高二·河北邢台·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，若当时，，则的最小值是___________. 题型7:奇函数周期零点问题 【典例7-1】（2026·河南焦作·一模）已知是定义域为的奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 【典例7-2】定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为_____________ 【变式7-1】（2026·高三·上海徐汇·期中）设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有______个零点. 【变式7-2】设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有_____个零点． 【变式7-3】（2026·高三·甘肃兰州·开学考试）已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 题型8:自对称之轴对称分析 【典例8-1】（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 【典例8-2】（2026·高三·陕西榆林·阶段检测）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则＝__________． 【变式8-1】（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则____________． 【变式8-2】（2026·山东聊城·一模）已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 题型9:自对称之中心对称分析 【典例9-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则________． 【典例9-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知定义在上的偶函数满足，则的值为__________. 【变式9-1】（2026·高一·上海徐汇·期中）已知函数是奇函数，且，，又，则实数t的取值范围为________． 【变式9-2】（2026·高二·吉林·期末）已知函数的定义域为，满足，当时，，则______. 【变式9-3】已知函数满足对任意，都有，且函数为奇函数，，则______． 【变式9-4】（2026·高三·海南·开学考试）若函数定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，则______． 题型10:双函数对称关系分析 【典例10-1】（2026·高一·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n，__________. 【典例10-2】已知函数的图象关于直线对称，且，若对任意的，函数满足，则_______. 【变式10-1】（2026·高一·江苏·期末）已知函数的定义域均为，若，则__________. 【变式10-2】（多选题）（2026·陕西商洛·二模）已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．为的一条对称轴 D． 【变式10-3】（多选题）（2026·云南昭通·模拟预测）设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【变式10-4】（多选题）（2026·高三·山东临沂·阶段检测）已知为定义在上的可导函数，的导数为，，且的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-5】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（   ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 题型11:双对称性与周期推导 【典例11-1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则__________________． 【典例11-2】已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则________． 【变式11-1】（2026·高二·江苏常州·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 【变式11-2】（2026·高一·上海·阶段检测）函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________ 【变式11-3】（2026·高二·湖南长沙·期中）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 【变式11-4】（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 题型12:抽象函数的原函数求解 【典例12-1】（2026·高三·全国·三轮复习）已知的定义域为，，且，则_____． 【典例12-2】（多选题）（2026·高二·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 【变式12-1】（多选题）（2026·高二·山西长治·期中）已知函数的定义域均为，，，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【变式12-2】（多选题）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．3是函数的一个周期 【变式12-3】（多选题）（2026·高三·广东·期末）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式12-4】（多选题）（2026·山西·二模）已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 题型13:周期函数的递推规律应用 【典例13-1】（2026·高一·河南驻马店·期中）已知函数的定义域为，且对任意的，满足，且，则_________． 【典例13-2】已知是定义在上的函数，且对任意实数，都有，，若，则______． 【变式13-1】已知是定义在上的函数，，且对任意的都有，．若，则______． 1．（2026·高三·湖北咸宁·期末）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 2．（2026·四川成都·二模）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·河北保定·开学考试）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·云南迪庆·期末）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（） A． B． C． D． 5．（2026·高二·浙江温州·学业考试）已知函数的定义域为，且,，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川攀枝花·二模）已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（   ） A． B．2 C． D．1 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A．0 B．1 C．10 D．20 8．（多选题）（2026·山东聊城·一模）设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（    ） A．都是的周期 B．曲线关于点对称 C．曲线关于直线对称 D．都是偶函数 9．（多选题）（2026·高二·浙江宁波·期中）已知定义域为的函数满足，且，则（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为周期函数 D． 10．（多选题）（2026·河北邢台·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（   ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 11．（2026·高三·辽宁沈阳·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.（1）当时，的最小值为__________；（2）若对任意，都有成立，则实数m的最大值是__________. 12．（2026·高一·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 13．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 14．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知函数的定义域是，，，当时，，则________. 15．（2026·高一·海南·期末）已知函数满足，且当时，且），则_______，_______． 16．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知是定义在上的连续函数，．若为奇函数，为偶函数，且，则________． 17．已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则_______ 18．（2026·高三·北京石景山·期末）关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 19．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有________． ①    ② ③    ④ 20．（2026·高三·河北秦皇岛·阶段检测）已知函数的定义域均为，且.若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，且，则____________ 21．（2026·高一·重庆·期末）已知的定义域为，满足，，若，则______. 22．（2026·高一·江苏南通·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，，则______. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 函数的周期性与对称性 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、函数的周期性 3 知识点二、函数的对称性 3 知识点三、函数的周期对称综合 3 方法总结1：常用周期结论 4 方法总结2：类周期函数 4 方法总结3：抽象函数对应的特殊函数模型 5 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 12 题型1:函数周期的推导计算 12 题型2:周期性下解析式的确定 13 题型3:奇偶性与周期性综合应用 15 题型4:周期内循环规律应用 18 题型5:周期性与零点综合问题 20 题型6:类周期函数的性质应用 24 题型7:奇函数周期零点问题 27 题型8:自对称之轴对称分析 30 题型9:自对称之中心对称分析 32 题型10:双函数对称关系分析 35 题型11:双对称性与周期推导 40 题型12:抽象函数的原函数求解 42 题型13:周期函数的递推规律应用 48 05 课后拓展精练 50 知识点一、函数的周期性 1、周期：若函数对定义域内的任意满足：，则为函数的周期． 最小正周期：周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做的最小正周期． 知识点二、函数的对称性 1、轴对称 将关于轴对称的偶函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于直线对称． ①图象关于直线对称； ②图象关于直线对称． 2、中心对称 将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于点对称． ①函数图象关于点成中心对称； ②函数图象关于点成中心对称； ③函数图象关于点成中心对称． 知识点三、函数的周期对称综合 1、若关于点，对称，则是周期函数，且 2、若图象有两条对称轴，则是周期函数，且 3、若关于点对称，且关于对称，则是周期函数，且 方法总结1：常用周期结论 1、常用周期结论 ①，则的周期 ②，则的周期 ③，则的周期 ④，则的周期 ⑤，则的周期 ⑥，则的周期 ⑦，则的周期 ⑧，则的周期 ⑨，则的周期 ⑩，则的周期 2、若为奇函数则关于点对称；若为偶函数则关于对称 3、若图象关于直线或点对称，且有个零点，，，，则．若，的图象都关于直线对称，且有个交点，则交点的横坐标之和为．若，的图象都关于点对称，且有个交点，则交点的横坐标之和为，纵坐标之和为． 方法总结2：类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 方法总结3：抽象函数对应的特殊函数模型 抽象函数 特殊函数模型 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 幂函数 对数函数 超越函数 正弦型函数 余弦型函数 余弦型函数 余弦型函数 1．（2026年高考全国2卷数学高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 2．（2025年高考全国一卷数学真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版））已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C． 5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版））已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】[方法一]：直接法. 由得关于对称， 而也关于对称， ∴对于每一组对称点， ∴，故选B． [方法二]：特值法. 由得 不妨设因为，与函数的交点为 ∴当时，，故选B． [方法三]：构造法. 设，则，故为奇函数. 设，则，故为奇函数. ∴对于每一组对称点. 将，代入，即得 ∴，故选B． [方法四]： 由题意得,函数和的图象都关于对称, 所以两函数的交点也关于对称, 对于每一组对称点和，都有. 从而.故选B. 考点：函数的性质. 6．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标II卷））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 7．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当 时,,所以当 时,函数 是周期为 的周期函数,所以 ,又函数 是奇函数,所以 ,故选D． 考点：函数的周期性和奇偶性． 8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【解析】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 9．（2017年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）函数的图像关于直线对称，则_____________． 【答案】 【解析】因为的对称轴为， 的对称轴为相当于y＝向右平移1个单位，所以. 故答案为：. 10．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））函数满足，且在区间上，则的值为____． 【答案】 【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果. 由得函数的周期为4，所以因此 11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有． 题型1:函数周期的推导计算 【典例1-1】（2026·高三·陕西渭南·开学考试）已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（   ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】因为，可得， 则，可知函数的一个周期为6， 又因为函数为定义在上的偶函数，则， 且当时，，所以. 【典例1-2】（2026·高一·江西赣州·期中）若函数满足，且当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 则， 所以4是的一个周期， 又当时，，则， 所以. 故选：A 【变式1-1】（2026·高三·浙江·开学考试）已知函数满足：，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】根据题意，，显然，所以， 所以，函数的一个周期为8， 所以. 故选：A 【变式1-2】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）定义在上的奇函数满足，并且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，，即是周期为4的奇函数， 所以， 而，所以. 故选：D 【变式1-3】（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， 所以4是的周期，故 故选：D 题型2:周期性下解析式的确定 【典例2-1】（2026·高一·陕西渭南·阶段检测）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 【典例2-2】（2026·高三·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 【变式2-1】（2026·高一·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时， 故选：C. 【变式2-2】设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，， 当时，，， 因为函数为偶函数，则， 综上所述，当时，. 故选：C. 【变式2-3】（2026·高三·河北·阶段检测）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，所以函数是以4为周期的周期函数， 又当时，，且是定义在上的奇函数， 所以时，，， 所以当时，，. 故选：B. 题型3:奇偶性与周期性综合应用 【典例3-1】（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【解析】已知是定义在上且周期为的奇函数，所以有， 令，得， 由于是奇函数，有，所以，即，解得， 当时，，由于，所以， 因此，故B正确. 【典例3-2】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知是定义在上且周期为2的奇函数，则（   ） A．12 B．-12 C．0 D．-3 【答案】C 【解析】由周期为2，可得；是上的奇函数，故. 所以，； 所以. 【变式3-1】（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 【变式3-2】（2026·江西·二模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为为奇函数，所以， 令，则，即①； 因为为偶函数，所以， 令，则，即， 所以，所以，即②， 所以，所以4是的一个周期． 由① 式，取，可得，即得， 又由② 式，取，可得 故，， 由② 式，取，可得，取，可得， 故， 则. 【变式3-3】（2026·高一·山东德州·阶段检测）设为定义在上的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】是定义在上的奇函数，， 又，则， 所以，即函数的周期， ，又， . 【变式3-4】（2026·高一·湖南娄底·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．0 【答案】D 【解析】已知是定义域为的奇函数，故满足，且. 又因为，将替换为，得：. 结合奇函数性质，得：. 再将上式中的替换为，得：， 故是周期为4的周期函数. 又因为，令，所以， 所以. 题型4:周期内循环规律应用 【典例4-1】（2026·浙江·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，满足，，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】将中的替换为可得， 则， 用替换，即， 所以函数是以为周期的周期函数， 由，令，则， 且是定义在上的奇函数，则，所以， 令，则，且，则， 令，则，因为，所以， 所以， 则 . 【典例4-2】（2026·高三·安徽合肥·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】令， 由为奇函数， 得， 又为偶函数，∴， ∴， 用替换，则， ∴，即4为的周期． 根据， 令，得， 令，得， 又为偶函数，且，∴，， 又的周期为4，∴，， ∴． ∵余， ∴． 故选：A． 【变式4-1】（2026·高一·山东临沂·期末）已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】C 【解析】因为，由， 令，则， 即，得， 两式相加得，则有，即， 则有，所以函数的一个周期为6， 令，则，得， 令，则，得， 又，得，， ，， 所以， 由周期性得. 故选：C 【变式4-2】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义域为的奇函数，所以， 又，所以， 则，即， 所以，则是以为周期的周期函数， 因为，， 所以，，， 则， 所以． 故选：A 【变式4-3】（2026·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（    ） A．0 B．-1012 C．-2 D．1010 【答案】C 【解析】已知为奇函数，所以且， 因为，所以，则，函数的周期为4， 因为，，，， 所以， 因为，前2024项和为，， 所以. 故选：C 题型5:周期性与零点综合问题 【典例5-1】（2026·高二·浙江嘉兴·期末）设是定义在上且周期为的函数，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 在区间内的零点为和，共个零点. 已知周期为，即，则函数在区间上的零点为共6个. 【典例5-2】（2026·高一·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 【答案】B 【解析】对选项A：由可知函数的一个周期为2，所以在区间上的图象与在区间上相同. 又是偶函数，则时的单调性与时的单调性相反. 因时，单调递减，故时，单调递增，故时，单调递增，故A错误； 对选项B：，故B正确； 选项C：当时，令0，得，因为为偶函数，所以，又因为周期为2，所以，共6个零点，故C错误； 选项D：，， 因为当时，单调递减， 所以，即，故D错误. 【变式5-1】（2026·辽宁大连·三模）函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得， 则， 所以函数的图象关于直线对称，关于原点对称， 又， 进而有，所以函数是以4为周期的周期函数. 由有三个零点可知，函数与函数的图象有三个交点， 当直线与函数图象在上相切时， 由，即， 故方程有两个相等的实根. 由，解得， 当时，，作出函数与函数的图象如图： 由图知当直线与函数图象在上相切时，， 数形结合可得在上有三个零点时，实数满足， 再根据函数的周期为4， 可得所求的实数的范围为. 【变式5-2】（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】因为是定义在上的函数且满足，则关于对称， 又是奇函数，则，关于对称， 且当时，，可以画出的图形， 则的零点个数转化为与的交点个数， 如图，当时，， 故两个图像交点的个数为10，即的零点个数为10. 故选：D 【变式5-3】（2026·高三·上海·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．的图像关于点对称 D．函数有个零点 【答案】C 【解析】因为是定义在上的偶函数，且， 则，即周期为4， 对于选项A，因为时，， 则时，，，又， 所以时，，故A正确， 对于选项B，，所以B正确， 对于选项C，若的图像关于点对称，则， 又，则与矛盾，所以C错误， 对于选项D，令，得，由选项A知，， 又的周期为，则同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图可知，有个交点，所以函数有个零点，故D正确， 故选：C. 题型6:类周期函数的性质应用 【典例6-1】（2026·高三·山东·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，都有，则______． 【答案】 【解析】根据题意可知，所以； 由可得， 因此可知当时，是以为首项，为公比的等比数列， 因此可得，即； 所以； 又因为是定义在上的奇函数，所以. 故答案为： 【典例6-2】（2026·高三·天津滨海新区·阶段检测）设定义在R上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是___________. 【答案】/ 【解析】，且当时，恒成立， ，易知当时，则恒成立， 当，即时，恒成立， 当，即时，，不满足恒成立， 解不等式，，在上的解集为， 综上所述，当时，恒成立，实数的最小值为. 故答案为：. 【变式6-1】（2026·高三·上海·期中）定义在上函数满足且当时，则使得在上恒成立的的最小值是________． 【答案】 【解析】定义在上函数满足， 当时，，， 当时，，， ，， 当时，，，，， 当时，，， ，， 由解得，则当时，， 当时，，， ， 当，解得或， 则使得在上恒成立的的最小值. 故答案为：. 【变式6-2】（2026·高三·吉林通化·阶段检测）函数满足是，且，当时，，则当时，的最小值为___________. 【答案】/ 【解析】由题设，，若，则， ∴，即， ∴上，当时的最小值为. 故答案为： 【变式6-3】（2026·高二·河北邢台·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，若当时，，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】由可得 当时，，， 当时， ， 当时， ， 作出函数的图象如图所示： 时，，令， 解得：或， 当时，恒成立， 当时，， 当时， 所以当时，恒成立， 综上所述：当时，恒成立， 若当时，，则的最小值是， 故答案为：. 题型7:奇函数周期零点问题 【典例7-1】（2026·河南焦作·一模）已知是定义域为的奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 【答案】9 【解析】为上的奇函数，所以，因为函数周期为1， 所以， 又由，且， 可得，即函数关于中心对称，则， 所以函数在区间内至少有9个零点． 【典例7-2】定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为_____________ 【答案】 【解析】函数为定义在上的奇函数，， 又， 函数关于轴对称，把替换为得， ，则，把替换为得， ，故函数是周期为4的周期函数， 且函数的图象关于中心对称； 令，得， 由反比例函数性质知函数的图象关于中心对称， 又当时，，结合对称性和周期性作出函数和的图象，如下图所示， 由图可知，函数和的图象有8个交点，且交点关于中心对称， 函数在区间上所有零点之和为． 故答案为：． 【变式7-1】（2026·高三·上海徐汇·期中）设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有______个零点. 【答案】 【解析】∵是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴， 又是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴， ∴，∴， 即的周期为. 又易知，∴， ∴，， 即，的一个零点恰为． ∵，令，解得， 又，所以， 所以在区间至少有个零点． 故答案为： 【变式7-2】设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有_____个零点． 【答案】50 【解析】∵是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴ 又是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴ ∴，∴ 即周期为4. 又易知，∴ ∴， 即，的一个零点恰为． ∵，所以至少有50个零点． 故答案为： 【变式7-3】（2026·高三·甘肃兰州·开学考试）已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 【答案】 【解析】奇函数，对于都有， ，则，即， 则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称， 作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为， 所以，，，， 则，故在内所有的零点之， 故答案为:． 题型8:自对称之轴对称分析 【典例8-1】（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 【答案】 【解析】由题设可得， 由是奇函数，所以， 用代替，则，故，所以，即是周期为6的函数， 所以. 【典例8-2】（2026·高三·陕西榆林·阶段检测）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则＝__________． 【答案】 【解析】由可得，则关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，则，所以， 因此，用替换得， 再用替换得，所以， 根据周期函数定义可知是周期为的周期函数，所以， 又因为当时，，所以. 【变式8-1】（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则____________． 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以4），故是周期为4的周期函数， 所以， 又因为，所以． 【变式8-2】（2026·山东聊城·一模）已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 【答案】/ 【解析】因为函数为偶函数， 所以， 所以， 所以函数的周期为， 所以， 由题意知，， 即， 解得. 题型9:自对称之中心对称分析 【典例9-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则________． 【答案】/ 【解析】因为， 所以，即， 所以是周期为4的周期函数. ， 又函数是上的奇函数，当时，， 所以， 因此. 故答案为：. 【典例9-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知定义在上的偶函数满足，则的值为__________. 【答案】0 【解析】因为，所以，即， 又为偶函数，所以，所以， 所以，即， 综上，，即，故是以4为周期的周期函数. 由，令，得，即，所以. 由，令，得. 所以. 故答案为：0. 【变式9-1】（2026·高一·上海徐汇·期中）已知函数是奇函数，且，，又，则实数t的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为为奇函数，所以，所以， 又因为，所以，， 所以是周期函数，周期为， 所以， 因为，所以，即，， 根据单位圆中的三角函数线可得：，， 故答案为： 【变式9-2】（2026·高二·吉林·期末）已知函数的定义域为，满足，当时，，则______. 【答案】 【解析】，故为上的奇函数， ，则， ， ，是周期为4的周期函数， . 故答案为： 【变式9-3】已知函数满足对任意，都有，且函数为奇函数，，则______． 【答案】 【解析】任意，都有， ， ，即， 是以2为周期的周期函数， ， ， ， 又函数为奇函数， 的图象关于原点对称， 的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的， 的图象关于点对称， ， ， ， ， ． 故答案为：-1. 【变式9-4】（2026·高三·海南·开学考试）若函数定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，则______． 【答案】 【解析】因为函数定义域为，为偶函数， 所以， 用替换可得， 因为的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于原点成中心对称， 所以， 所以， 又，， 所以，故， 所以， 所以函数为周期函数，周期为， 由，可得，，， 又，故， 所以， 所以，， ，， 所以. 故答案为：. 题型10:双函数对称关系分析 【典例10-1】（2026·高一·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n，__________. 【答案】 【解析】因为函数为偶函数，所以——①， 又因为，所以，即——②. 因为，所以——③. 将②③代入①得，， 所以，即，所以， 两式相减得，所以4是函数的一个周期. 由，得， 所以， 再由②，得，且. 所以，即， ，所以函数是偶函数. 所以，且，所以. 所以 . 故答案为： 【典例10-2】已知函数的图象关于直线对称，且，若对任意的，函数满足，则_______. 【答案】0 【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以，令，， 因为，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，则， 所以，故8是函数的一个周期. 因为，所以，， 因为，， 所以. 故答案为：. 【变式10-1】（2026·高一·江苏·期末）已知函数的定义域均为，若，则__________. 【答案】1 【解析】由，得， 又，所以， 则，即, 所以，则函数是以4为周期的函数， 而，，则， 所以， 又，所以， 则， 所以. 故答案为：1. 【变式10-2】（多选题）（2026·陕西商洛·二模）已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．为的一条对称轴 D． 【答案】BCD 【解析】因为关于点对称， 则， 取，则，故A错误； 因为，， 所以，，，， 累加可得， 所以，故B正确； 由得， 两端求导得，即， 所以图象关于直线对称，即为的一条对称轴，故C正确； 由得， 所以函数的周期为， 故，所以，故D正确. 【变式10-3】（多选题）（2026·云南昭通·模拟预测）设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ACD 【解析】由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确； 又，则. 因为，则，所以， 令，得，则，所以，即，则关于直线对称， 两边求导得，函数的图象关于点对称，B选项错误； 因为关于点对称，关于直线对称，即，， 所以，则，所以的周期； 所以，，所以， 所以，C选项正确； 又函数关于直线对称，所以函数在左右两侧单调性相反， 且，令，得，所以，，D选项正确， 故选:ACD. 【变式10-4】（多选题）（2026·高三·山东临沂·阶段检测）已知为定义在上的可导函数，的导数为，，且的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，则①，又②， ①②得③，则④， 则④③可得，即， 故是周期为的函数，则， 由的图象关于直线对称，则⑤， 由③，故可得， 所以，故A正确； 由⑤可得，即， 由③可得，可得，故B错误； 由②可得，又， 则两式相减可得，即有， 则可得，即，故C正确； 由，则，又，则， 由，则，又，则， 由，则，又，则，则， 由，则， 由，则，则， 则， 由，则是周期为的函数， 故， 故选：AC. 【变式10-5】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（   ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又，则有，因为是奇函数，所以， 可得，即，所以， 所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数， 因为是奇函数，所以， 将替换为可得，又， 所以，所以为偶函数，故A错误； 由是奇函数，则，所以，又， 所以，所以C选项错误； 由，得，所以B选项错误； 因为，， 所以， 所以，所以D选项正确． 题型11:双对称性与周期推导 【典例11-1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则__________________． 【答案】 / 【解析】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，， 替换得①， 由已知，整理得：②， 联立①②得，替换得， 进一步推导得： ， 即是周期为的周期函数. 故. 【典例11-2】已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则________． 【答案】 【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以， 因为函数的图象关于点对称，所以， 所以，可得， 令，可得，即， 所以，即， 所以函数的周期为4， 由，可得，即， 又因为当时，，所以， 所以． 【变式11-1】（2026·高二·江苏常州·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 【答案】 【解析】令，则为奇函数，故， 即，故， 令，则， 又， 则， 故，即， 则，故是周期为4的周期函数； 由为奇函数，则， 故，解得， 由得， ， 故． 【变式11-2】（2026·高一·上海·阶段检测）函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________ 【答案】5 【解析】由为奇函数，得. 由，得， 故，即的周期为. ，，，. 因此，一个周期内的和为. ，故. 代入得. 【变式11-3】（2026·高二·湖南长沙·期中）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 【答案】 【解析】由题设， 用代替，则，故， 所以，即是周期为6的函数， 所以. 【变式11-4】（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数， 那么，， 又函数的定义域为， 所以，令，得 ， 即， 令，得 即，所以，， 又，所以，， 令，得，所以， 令，得 ，即 由可得 ，故函数周期为4, ，故选项D正确， 对于选项A，构造函数,，周期为4，但， 选项A不一定成立，故A错误； 对于选项B，同样构造函数，， 选项B不一定成立，故B错误； 对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误. 题型12:抽象函数的原函数求解 【典例12-1】（2026·高三·全国·三轮复习）已知的定义域为，，且，则_____． 【答案】 【解析】方法一：由题意，令，，得，所以． 令，得， 所以，即，且函数的定义域为，所以是偶函数． 令，得①， 所以②， 由①②知，所以，所以， 所以，所以为周期函数，且的一个周期是． 由②得，所以， 同理，所以， 则，，. 所以，且， 所以． 方法二：（二级结论法）令，得， 得①， 所以②， 由①②知，所以，所以， 所以，所以为周期函数，且的一个周期是． 令，得，所以，则， 令可得，则，则， 令，可得，即，则， 令，可得，即，则， 令，可得，即，则， 所以，且， 所以． 故答案为：. 【典例12-2】（多选题）（2026·高二·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A,令 ，得，解得， 令，得， 即， 所以或， 当时，令，得与矛盾，故舍去; 所以， 即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 即，解得，故B错误； 对于C，令， 得 所以，故C正确； 对于D，令， 得， 解得， 令，则， 所以，解得， ，解得； 令， 得，解得； ，解得； 所以函数是周期函数，最小正周期为， 又 ， 所以 ，故D正确. 【变式12-1】（多选题）（2026·高二·山西长治·期中）已知函数的定义域均为，，，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：令代入已知等式：，得，故，故A正确. 选项B：令代入已知等式：， 已知，对任意：若，可得； 若，在原函数关系式中令， 得， 再令，得. 因为，所以，即， 此时也有. 等式仍成立. 因此是奇函数，不是偶函数，故B错误. 选项C：由为偶函数，得，令，即， 说明关于直线对称. 推导得：， ， 因此，故C正确. 选项D：由，得，故周期. 计算一个周期内的函数值： ，，，， 即一个周期和为. 已知，因此，故D正确. 【变式12-2】（多选题）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．3是函数的一个周期 【答案】AB 【解析】对于A，令，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，则， 因为，所以，即， 因为的定义域为，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，，则， 由，，得，则， 所以不一定成立，故C错误； 对于D，令，，则，所以； 令，，则，所以， 所以，，，，，， 所以3不是的一个周期，故D错误． 故选：AB 【变式12-3】（多选题）（2026·高三·广东·期末）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由，令，则，因为，所以，故A正确； 令，则有①，所以， 因为为奇函数，所以为偶函数，，所以②， 由①—②整理有，即， 所以，所以是周期为3的周期函数，所以，故B正确； 因为，所以，故C错误； 在①中，令，得，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式12-4】（多选题）（2026·山西·二模）已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 【答案】ACD 【解析】方法一: 对于A,令,得，整理得，故或. 若，令，则，即恒成立，这与矛盾，故，A正确； 对于C，令，因，则，即，故是偶函数，C正确. 对于B，令，则，即. 由此递推：， 则， 于是，故的一个周期为. 又，，， ，， ，， 则 因， 故,B错误. 对于D，由C项知，则，又是偶函数，有， 即，而， 故，即，故关于对称，D正确. 方法二:令函数,由余弦型函数的性质可判断ACD均正确, 函数最小正周期,与方法一同理计算可知 题型13:周期函数的递推规律应用 【典例13-1】（2026·高一·河南驻马店·期中）已知函数的定义域为，且对任意的，满足，且，则_________． 【答案】1 【解析】因为， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以，所以，即. 可得，，，，， 把上式相加得，又，所以. 故答案为：1. 【典例13-2】已知是定义在上的函数，且对任意实数，都有，，若，则______． 【答案】2004 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 所以，故， 即，令， 则对任意实数都成立，即是以6为周期的函数， 所以． 故答案为：2004 【变式13-1】已知是定义在上的函数，，且对任意的都有，．若，则______． 【答案】3 【解析】由，得， 则，，， ，因此， 即，则，又， 于是，函数的周期为1， 而，所以． 故答案为：3 1．（2026·高三·湖北咸宁·期末）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且， 由题意知，即，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为当时，，且 所以. 故选：C. 2．（2026·四川成都·二模）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数满足，可得关于对称，即， 因为函数为奇函数，可得， 即，可得，即， 令，可得，所以， 又因为，可得， 所以，可得，所以的周期为8， 因为，可得，所以一定有， 对于的值无法确定. 3．（2026·高一·河北保定·开学考试）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为为偶函数，所以 则的图象关于直线对称， 对变形： 则 进一步化简得： 所以的周期为8，． 4．（2026·高一·云南迪庆·期末）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，是定义在上的奇函数， 有 又，令替换得： 则所以是周期为的周期函数， 计算一个周期内的值：， ，， 一个周期和， 因为， 所以. 故选：B 5．（2026·高二·浙江温州·学业考试）已知函数的定义域为，且,，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的定义域为，且, 令，得，即， 因为，所以得. 再，得，， 即，所以函数为偶函数. 再令，得， 因为为偶函数，所以， 因此，且，所以. 又令，得，所以， 因为函数为偶函数，所以，因此. 令，得，得. 令，得，即， 用代替得， 再用代替得， 即，所以函数的一个周期为. 因为，所以. 因此， 所以 . 因此. 6．（2026·四川攀枝花·二模）已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】因为， 令，则，即， 且，可得， 令，则， 且不恒为0，则，即， 又因为为奇函数，则，即， 令，则，可得， 且， 令，则；令，则； 可得，可知函数的一个周期为4， 则， 所以. 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A．0 B．1 C．10 D．20 【答案】A 【解析】令，则， 令，则． 令，则，所以函数的图象关于直线对称． 令，则， 所以，的图象关于点对称． 由和，可得， 令，则， 故，则， 是周期的函数． 又，所以． 8．（多选题）（2026·山东聊城·一模）设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（    ） A．都是的周期 B．曲线关于点对称 C．曲线关于直线对称 D．都是偶函数 【答案】BC 【解析】由是奇函数，故有，即有， 故，则，即，故关于对称， 由，则，即， 故关于中心对称， 由，则，又， 故，即有， 则，故， 即，故，故周期为. 对A：当时，，故A错误； 对B：由周期为，故， 又，故，故， 故曲线关于点对称，故B正确； 对C：由周期为，故， 又，故， 故曲线关于直线对称，故C正确； 对D：由B得，故，又周期为， 故有，故，又， 即都是奇函数，故D错误. 故选：BC. 9．（多选题）（2026·高二·浙江宁波·期中）已知定义域为的函数满足，且，则（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为周期函数 D． 【答案】ACD 【解析】依题意：①，定义域为R； 令，①式变形为：， 令，则②； 令，①式变形为：，即：， 用替换，变形得：，则③； A选项，②③联立得：，所以是偶函数，所以A选项正确； B选项，将，代入①式得：， 因为，所以，令， 则时， ，当时， ， 因为，所以不是偶函数，所以B选项错误； C选项， ，用替换得：， 所以是周期为4的函数，所以C选项正确； D选项，由C选项解析可知：是周期为4的函数，所以， 将代入①式得：，即：，所以， 将，代入①式得： ，所以， 所以 ， 则，所以D选项正确. 10．（多选题）（2026·河北邢台·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（   ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】ABD 【解析】因为是偶函数，所以，则， 所以函数的图象关于直线对称， 由两边求导得，得， 令，则，A正确； 因为函数为偶函数，所以， 所以，所以函数的图象关于对称， 所以函数，则， 所以，则，故，B正确； 因为的周期为，且，故， 所以，为常数，因此， 由，所以，则， 由，故，故，即， 所以函数的图象关于直线对称，C错误； 因为，所以，且， 又，所以，则， 综上，， 所以，D正确. 11．（2026·高三·辽宁沈阳·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.（1）当时，的最小值为__________；（2）若对任意，都有成立，则实数m的最大值是__________. 【答案】 【解析】（1）由得，， 因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为， （2）因为，所以， 因为当时，， 所以 时，， ，值域， 当时，， ， 当时，， ， 因为，所以时，，解得 若对任意，都有成立，则， 所以实数m的最大值为， 故答案为：（1），（2） 12．（2026·高一·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 【答案】4050 【解析】因为为奇函数， 所以，即， 所以函数关于中心对称； 因为，所以关于对称， 所以函数是周期为4的周期函数， 所以在中令，又， 则. 令，则； 令，则， 所以. 则. 13．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 【答案】2 【解析】由是偶函数，可知是偶函数，则的图像关于直线对称. 由，可知的图象关于点对称，可得 故是的周期. 由，可得，，因此. 14．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知函数的定义域是，，，当时，，则________. 【答案】0 【解析】由得：， 又，， ，， . 15．（2026·高一·海南·期末）已知函数满足，且当时，且），则_______，_______． 【答案】 2 【解析】在中，令，可得， 所以，所以. 在中，用替换，可得， 又，所以， 用替换得，∴， 即以4为周期. 所以. 故答案为：2 ； 16．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知是定义在上的连续函数，．若为奇函数，为偶函数，且，则________． 【答案】 【解析】因为为定义在上的奇函数，所以， 因为为偶函数，所以， 则， 所以， 则， 所以函数的一个周期为4， 则．又， 所以， 因为， 所以，， 所以， 则． 17．已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则_______ 【答案】2024 【解析】因为是偶函数，所以 又，所以①， 又因为，所以②， 由①②得到③，所以④， 由③④得到，即，所以的一个周期为， 又，由，得到，且，， 所以，则， 故答案为：2024 18．（2026·高三·北京石景山·期末）关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】对于①，因为为偶函数，所以， 由，可得，则， ，所以函数的图象关于直线对称，故①正确； 对于②，因为，所以， 又，可得， 所以函数的图象关于点对称，故②正确； 对于③，由，且，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故③错误； 对于④，因为，且，所以， 由，所以，又， 所以，所以， 所以，因此，函数是周期为4的周期函数，故④正确. 故答案为：①②④. 19．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有________． ①    ② ③    ④ 【答案】②③④ 【解析】因为，所以； 又因为，所以； 所以，所以④正确； 因为的图像关于直线对称， 所以，所以， 用替换可得， 所以， 所以的周期为 ，所以，所以②正确； 因为的图像关于直线对称, 所以，所以，所以是偶函数； 因为，所以； 所以，是偶函数， 所以，所以①错误； 因为，所以，所以； 因为是偶函数，所以； 因为的周期为，所以； 因为，所以； 所以，所以③正确； 故答案为：②③④. 20．（2026·高三·河北秦皇岛·阶段检测）已知函数的定义域均为，且.若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，且，则____________ 【答案】 【解析】因为，，所以， 因为函数的定义域均，且图象关于点对称，所以， 因为函数的图象关于直线对称， 所以，即， 所以， 因为的图象关于点对称，所以，即 所以， 所以，即是周期为的周期函数， 因为，即 所以，，，， 所以 所以 故答案为： 21．（2026·高一·重庆·期末）已知的定义域为，满足，，若，则______. 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，满足，则函数为上的奇函数， 因为，所以， 即，故， 故函数是周期为的周期函数， 则，， ，， 故. 故答案为：. 22．（2026·高一·江苏南通·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，，则______. 【答案】 【解析】因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，所以， 又因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于点中心对称，所以. 所以， 设，所以. 所以，所以函数是以4为周期的周期函数. 在中，令得. 在中，令得. 又，， 所以. 故答案为：2 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $