第二十六章 二次函数 单元测试卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，通过基础概念辨析、图像性质分析及跨学科应用（如瓷器设计、羽毛球飞行），全面考查二次函数定义、图像与性质、实际建模，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、顶点坐标、图像性质比较|基础概念辨析，如第7题对比函数图像共同点| |填空题|5/15|解析式平移、图像与系数关系|第13题考查图像变换，第15题结合图像分析结论| |解答题（一）|3/21|解析式求解、图像绘制|第17题通过两点求表达式并画图，强化几何直观| |解答题（二）|3/27|实际应用（销售利润、羽毛球飞行）|第21题销售利润模型，体现应用意识；第20题羽毛球飞行数据建模| |解答题（三）|2/27|跨学科与综合探究（瓷器设计、动态几何）|第22题瓷器抛物线设计，融合文化传承；第23题动态点与平行四边形，发展推理能力|

第二十六章 二次函数单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 6．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 7．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 8．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 10．如图，在等边中，，点从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿路线以相同速度运动，当P、Q两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为秒的面积为，则下列图象能表示与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____． 12．如果函数是关于x的二次函数，则________． 13．将抛物线的解析式向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______ ． 14．已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 15．如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 17．抛物线经过和两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当y＜0时，直接写出x的取值范围． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 20．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 竖直高度 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． (1)【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？ 21．某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 任务一 如图2，以碗底的中点为原点，以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 任务二 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时碗内水面的宽度． 23．如图，抛物线（， 为常数，且）交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 将点代入二次函数解析式求解的值即可． 【详解】∵函数经过点， 当时，， 代入得：, 解得： 故选：A． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的顶点坐标为，直接根据解析式即可求出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 4．，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线，点离对称轴越远对应函数值越小，通过计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小. 【详解】解：抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下时，点离对称轴越远，对应函数值越小，且， ∴. 5．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 6．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 7．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 8．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 9．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 10．如图，在等边中，，点从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿路线以相同速度运动，当P、Q两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为秒的面积为，则下列图象能表示与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象． 【详解】解：依题意，时，点在上，点在上，， 连接、，过点作，垂足为， ∵在等边中，， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，， ∵，点，点相遇时运动时间为秒， ∴当时，点、在上，如图所示， ∴， ∴， 当时，图象为直线的一部分， 综上只有选项D的图象符合题意． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】抛物线有最低点说明抛物线开口向上，则二次项系数大于0，由此可以确定的取值范围． 【详解】解：抛物线有最低点， ， 解得． 12．如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 13．将抛物线的解析式向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______ ． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，即可求出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 将抛物线向上平移3个单位长度，根据平移规律“上加下减”，可得： 再将得到的抛物线向右平移1个单位长度，根据平移规律“左加右减”，可得： ． 14．已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1)4 (2)16 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）把点代入解析式即可求出的值； （2）根据（1）中所求得到该二次函数的解析式，然后令，求出函数的值即为所求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为， ∵点在这个图象上， ． 17．抛物线经过和两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，抛物线图象如图所示： 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将一般式化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标，进而画出图象即可． 【详解】（1）解：（1）把和两点代入可得， ，解得， ； （2）解：， 二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 图见答案． 18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当y＜0时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）﹣3＜x＜1 【分析】（1）将点A、点B代入抛物线解析式，求得b与c的值，然后得到函数的解析式与顶点坐标； （2）结合函数图象直接得到y＜0时的x取值范围． 【详解】解：（1）将点（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （2）由图可知，当y＜0时，﹣3＜x＜1． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，根据二次函数图像求自变量的取值范围，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出直线的表达式，进而求出，将代入抛物线解方程即可得到答案； （2）先求出抛物线与直线交于点和点的坐标，找出抛物线在直线下方部分，得出对应的范围即可． 【详解】（1）解：直线与 轴交于点， ，则直线， 当时，，解得，即， 抛物线与直线交于点， ，解得； （2）解：关于的不等式的解集就是抛物线在直线下方部分对应的的取值范围， 联立，消去得， ，解得或， 或， 、， 当或时，抛物线在直线的下方， 关于的不等式的解集是或． 20．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 竖直高度 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． (1)【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）化为顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴与的函数解析式为． （2）解：． ∵， ∴当时，有最大值为． 答：羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是． 21．某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 【答案】(1) (2)90元/千克或110元/千克 (3)当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元 【分析】（1）首先明确每千克利润为销售单价减成本，因为总利润=每千克利润×销售量，所以将已知的销售量y与x的关系式代入，即可得到w关于x的函数解析式． （2）如果利润为3000元，那么令，得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到销售单价的可能取值． （3）因为w是关于x的二次函数，所以可以通过配方法或者二次函数顶点公式，结合二次函数的开口方向，即可求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60元/千克，以及销售量y(千克)的关系为， 又∵， ∴． 可得． 答：w关于x的函数解析式为． （2）解：当时，． 化简得．． 可得， 则或， 解得． 答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克． （3）解：由， 得： ． ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值． ∴当时，w有最大值3200． 答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 任务一 如图2，以碗底的中点为原点，以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 任务二 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时碗内水面的宽度． 【答案】任务一：碗体的抛物线解析式为；任务二： 【分析】任务一：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可； 任务二：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】任务一： 解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ，， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 碗体的抛物线解析式为； 任务二： 解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ∴， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ， 联立方程组， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 23．如图，抛物线（， 为常数，且）交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 或 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据点的坐标特征可求得，得到，分两种情况讨论：当点在下方时，根据平行线的性质以及抛物线的对称性求解即可；当点在上方时，设交轴于点，根据角的数量关系可求得点的坐标，进而根据待定系数法可求得直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式即可求得点的坐标； （3）先求出的长，结合平移单位可确定抛物线的平移方式，进而得到平移后抛物线的解析式，设出点的坐标，分三种情况讨论平行四边形：为对角线，为对角线，为对角线，根据平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：对于抛物线， 令，得， ， ， ， ， ， ， ， ； 分两种情况讨论： 当点在下方时，如图，过点作 轴交抛物线于点，此时， 对于，对称轴为直线， 根据抛物线的对称性可得，点的坐标为； 当点在上方时，如图，设交轴于点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得（与点重合，舍去）或， ； 综上，点的坐标为 或 ； （3）解：抛物线，对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设， ，， ， 将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，， 抛物线向左平移个单位，向上平移个单位得到抛物线， 平移后抛物线的解析式为， 设，分三种情况讨论平行四边形： 为对角线：中点为，中点与中点重合， ，， 解得， ， 即， 解得， ； 为对角线：中点为，中点与中点重合， ，， 解得， ， 即， 解得， ； 为对角线：中点为，中点与中点重合， ，， 解得， ， 即， 解得， ； 综上，点的坐标为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $