陕西省西安中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷立足核心素养，以实际情境（水果店销售、垃圾分类）和文化素材（《九章算术》刍甍）为载体，覆盖复数、向量、概率、立体几何等知识，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题44分|复数、向量、概率、立体几何|基础概念辨析，如复数虚部判断、向量共线条件| |填空题|4题16分|复数坐标、异面直线所成角、分层抽样、几何体体积|空间想象与计算结合，如直三棱柱液面高度| |解答题|5题40分|立体几何证明、解三角形、统计、概率、刍甍综合|实际应用（水果店销售统计）与文化传承（刍甍模型），考查数学思维与表达|

西安中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题答案 1、 选择题(本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D B A D C C 二、选择题（本题共4小题，每小题4分共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.） 题号 9 10 11 12 答案 BCD CD BD ACD 三、填空题：(本题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上相应位置.) 13.  14.  15. 16.  四、解答题：(本题共5小题，共40分．应写出文字说明、证明过程演和算步骤．) 17.解：证明：如图，连，由四边形为菱形， 为的中点，为的中点，所以为的中点， 所以， 因为平面，不在平面上， 所以平面； 3分 因为平面，平面， 所以， 在菱形中，，为菱形的对角线， 所以， 又因为，，平面， 所以平面．  6分 18.解：，，由正弦定理得 2分 ， ，，． 4分 由余弦定理得 ， 6分 ．  8分 19.解：如图所示：区间频率最大，所以众数为， 2分 平均数为： 4分 日销量的频率为，日销售量的频率为， 故所求的量位于． 由，得， 故每天应该进千克苹果． 8分   20.解：设甲同学答对第一题，乙同学答对第一题， 则，， 设甲、乙二人均答对第一题，甲、乙二人恰有一人答对第一题， 则，， 二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响， 与相互独立，与相互互斥， ， ， 由题意得：， 2分 解得或， ，，． 4分 设甲同学答对了道题，乙同学答对了道题，，，， 由题意得： ，， ，， 设甲乙二人共答对道题，则， ， 甲乙两人共答对道题的概率为．  8分 21.解：过点分别作，，分别交，于，，连接， 则为二面角的平面角， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得， 所以． 3分 过点作，垂足为． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，， 所以． 因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面， 所以为三棱锥的高，． 因为， 所以． 6分 方法一： 假设存在点． 当点在线段上时，连接交于， 则∽， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． 8分 当点在延长线上时，连接交于， 则∽， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． 综上，在直线上存在点，使平面，的值为或． 10分   第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 1、 选择题(本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若为虚数单位，则    A. B. C. D. z的虚部是2i 2.已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(    ) A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A. 若，，则    B. 若，，则 C. 若，，，则     D. 若，，则 5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下图1的饼图：则下面结论中不正确的是    图1 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 6.如图2，某船行驶到甲地看1号灯塔D时，D在甲地的北偏东方向上，两处相距海里；在甲地看2号灯塔B时，B在甲地的南偏西方向上，两处相距4海里，该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔D，则D在乙地的北偏东方向上，则此时2号灯塔B与乙地之间的距离是    海里. A. 6 B. 7 图2 C. D. 7.在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是    A. B. C. D. 8.将边长为2，的菱形ABCD沿对角线BD折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的体积为      A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题4分共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.） 9.已知平面向量，，与的夹角为，则(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙两人中至少有一人中奖”，则 A. A与B为互斥事件 B. B与C为对立事件 C. 与为互斥事件 D. 与C为对立事件 11.下列说法正确的是(    ) A. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第60百分位数是6 B. 已知一组数据2，3，5，x，8的平均数为5，则这组数据的方差是 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是18 12.如图3，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点含边界，P是棱的中点，则下列结论正确的是    A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为图3 三、填空题：(本题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上相应位置.) 13.复数在复平面内对应点的坐标为          . 14.如图4，在正方体 中，E为线段 的中点，则异面直线DE与 所成角的大小为                 图4 15.某校高一年级共有学生500人，其中男生300人，按男、女生比例进行分层随机抽样，样本量为50，进行身高测量，男生样本的身高平均数为170厘米，女生样本的身高平均数为160厘米，则可估计该校高一年级学生的平均身高为           16.如图5，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过AC，BC，，的中点，则当底面ABC水平放置时，液面高为          . 图5 四、解答题：(本题共5小题，共40分．应写出文字说明、证明过程演和算步骤．) 17．（本小题满分6分）如图6，在四棱锥中，底面ABCD是菱形， 侧棱底面ABCD，E是PD的中点，F是AC的中点. 证明：EF//平面PAB； 证明：平面 图6 18．（本小题满分8分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且， 求角B的大小； 若，，求的面积． 19． (本小题满分8分)某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量单位：，并绘制频率分布直方图如图7所示. 图7 请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表； 一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求请问每天应该进多少千克苹果? 20． （本小题满分8分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为 求p和q的值； 试求两人共答对3道题的概率. 21.（本小题满分10分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条线．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图8所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，. 求二面角的大小； 求三棱锥的体积； 点N在直线AD上，满足，在直线CF上是否存在点M，使平面BDM？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 图8 西安中学 高一年级 数学试题 第 6 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $