第09讲 球讲义（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026-2027学年新高二数学暑假预习（沪教版必修第三册）

第09讲 球（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：球的定义 知识点02：球的对称性 知识点03：平面截球 知识点04：地球的经纬度 知识点05：球的体积公式 知识点06：球的表面积 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：球的结构特征辨析 题型02：球的截面的性质及计算 题型03：求球面距离 题型04：球的体积的有关计算 题型05：球的表面积的有关计算 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 【例1】已知一个球的直径为8，求该球的半径，并简述球的构成要素。 【知识点02】球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 【例2】已知球的半径为5，点在球面上，求点关于球心的对称点到球心的距离，并判断是否在球面上。 【知识点03】平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 【例3】已知球的半径为5，球心到某一截面平面的距离为3，求该截面圆的半径。 【知识点04】地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 【例4】设地球半径为，赤道上两点经度相差，求两点的球面距离。 【知识点05】球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 【例5】已知球的半径为3，求该球的体积。 【知识点06】球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【例6】已知球的半径为2，求该球的表面积。 【题型01】球的结构特征辨析 【典例1-1】（25-26高二上·上海·单元测试）A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是________个． 【变式1-1】下列说法正确的是(    ) A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一直线上 C．球面上任意两点的连线是球的直径 D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 【变式1-2】以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【变式1-3】（2025高二上·上海·专题练习）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型02】球的截面的性质及计算 【典例2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期末）地球可近似视为半径为的球体.已知我国的冰城哈尔滨市与意大利的都灵市的地理坐标分别约为北纬、东经和北纬、东经.若将两地视为同一纬度圈上的两点，则它们在该纬度圈上所对应的劣弧长度为________.（用含的式子表示） 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值． 【题型03】求球面距离 【典例3-1】设地球是半径为的球，地球上两地都在北纬的纬线上，在东经、在东经的经线上，则从沿球面向正东前进（    ）到地 A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·上海杨浦·期中）上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为______千米.（结果保留到1千米） 【变式3-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为________．    【变式3-3】（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【题型04】球的体积的有关计算 【典例4-1】已知球的直径，则球体积为______． 【变式4-1】（25-26高二上·上海·单元测试）如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，用一平面去截球O，所得截面面积为，球心O到截面的距离为3cm，为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径．求球O的体积．    【变式4-3】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高10cm，为了测得某个球的体积，小明将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，求球的体积（精确到）. 【题型05】球的表面积的有关计算 【典例5-1】（24-25高二·上海·随堂练习）将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二下·上海·期末）将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 【变式5-2】（2025高二·上海·专题练习）一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，则球的表面积为________cm2． 【变式5-3】（25-26高二上·上海·单元测试）球面上三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，，，，且球心到该截面的距离为球半径的一半.求此球的表面积． 知识点01球的基本概念 1. 球的定义 空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做球面；球面所围成的几何体叫做球。 定点：球心；定长：半径；连接球面上两点且过球心的线段为直径。 2. 集合语言定义 设球心为，半径为，则球的集合表示： （球面） （球体） 3. 球的三要素 球心、半径、直径，球的大小由半径唯一确定。 知识点02球的截面性质（核心考点） 1. 截面形状 用平面截球，所得截面一定是圆面。 过球心的截面：大圆，半径等于球半径； 不过球心的截面：小圆，半径。 2. 球心与截面圆心连线性质 球心和截面圆心的连线垂直于截面。 3. 截面半径万能公式（必考） 设球半径为，截面小圆半径为，球心到截面的距离为，满足勾股关系： 适用场景：所有球截面、外接内切、立体几何求值问题。 知识点03球的表面积与体积公式（微软标准公式） 1. 球的表面积公式 说明：表面积仅与半径平方成正比，无底面、侧面区分，为球面整体面积。 2. 球的体积公式 说明：体积与半径立方成正比，是球体所占空间大小。 3. 半径缩放规律 若球半径扩大为原来的倍： 表面积扩大为原来的倍，体积扩大为原来的倍。 知识点04球面距离（沪教必修三重点） 1. 定义 球面上两点之间的最短距离，为经过这两点的大圆在这两点间的劣弧长度。 2. 球面距离公式 设球半径为，球面上两点对应球心角为（弧度制，），则球面距离： 注意：球心角必须使用弧度制计算，角度制需先转换。 知识点05常见几何体的外接球核心结论 1. 长方体/长方体的外接球 长方体长、宽、高为，外接球直径等于体对角线长： 2. 正方体的外接球 正方体棱长为： 3. 正四面体的外接球（拓展） 正四面体棱长为，外接球半径： 知识点06常见几何体的内切球核心结论 1. 正方体的内切球 正方体棱长为，内切球直径等于棱长： 2. 一般多面体内切球通用公式 任意有内切球的多面体，体积，表面积，内切球半径： ，变形得： 知识点07核心易错点课堂小结 概念混淆：球面是曲面（无体积），球是几何体（有体积、表面积）； 公式易错：表面积是，体积是，切勿记反次数与系数； 球面距离误区：不是两点直线距离，是大圆劣弧弧长，必须用球心角弧度计算； 截面公式误用：始终满足，大圆，小圆； 外接内切区分：外接球包裹几何体，内切球与各面相切。 一、填空题 1．（25-26高二上·上海·期中）若球的半径为1，则其大圆的面积为________. 2．若两球的表面积之比是，则它们的体积之比是____________. 3．（25-26高二上·上海·期末）若一个球的表面积是，则这个球的体积为______. 4．（25-26高二上·上海·期末）若一个球的体积是，则这个球的半径为______. 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为________． 6．（2025高二·上海·专题练习）高为3的圆锥体积为，若该圆锥的底面恰为一个球的大圆，则该球的表面积为______． 7．（2025高二上·上海·专题练习）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 8．（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______. 9．（25-26高三上·上海·阶段检测）若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为，则球的表面积为__________. 10．（2025高二上·上海·专题练习）动点在棱长为的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为___________． 11．（25-26高二上·上海·期中）已知上海地处东经至，北纬至之间.地球半径为6371.004km，则纬线所在两平面的距离是_________.（精确到0.001km） 12．（25-26高二下·上海·阶段检测）半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为________． 二、单选题 13．将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（    ） ①经线②北纬③西经④赤道 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 14．（24-25高二·上海·课堂例题）若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径为（    ） A．2，4； B．2π，4π； C．6，4； D．6π，4π． 15．（24-25高二·上海·课堂例题）球的半径为10cm，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（    ） A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm． 16．（2025高二·上海·专题练习）若球的表面积膨胀为原来的两倍，则膨胀后的球的体积变为原来的（    ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．4倍 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图所示，球心为，已知球的半径r为5，，求小圆的半径． 18．（24-25高二·上海·课堂例题）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少?（地球半径大约为6370km）（答案精确到个位） 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径，，两截面间的距离为，求球的表面积． 20．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，，求球面面积与球的体积. 21．（25-26高二上·上海·期中）沪教版教材11．4．2在推导半径为的球的体积公式时，先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面上，然后在圆柱体内挖去一个圆锥后，运用祖暅原理来推导，请解答以下问题：    (1)补全完整祖暅原理：夹在两个 间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的 截得的两个截面的 ，那么这两个几何体的体积必相等． (2)请把如图补充完整并写出球的体积公式的推导过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 球（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：球的定义 知识点02：球的对称性 知识点03：平面截球 知识点04：地球的经纬度 知识点05：球的体积公式 知识点06：球的表面积 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：球的结构特征辨析 题型02：球的截面的性质及计算 题型03：求球面距离 题型04：球的体积的有关计算 题型05：球的表面积的有关计算 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 【例1】已知一个球的直径为8，求该球的半径，并简述球的构成要素。 解：步骤1：根据球的直径与半径关系公式代入计算： 步骤2：明确球的核心构成要素：该球球心为旋转半圆的圆心，半径，球面上任意一点到球心的距离均等于4，所有满足条件的空间点构成完整球体。 答案：球的半径为。 【知识点02】球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 【例2】已知球的半径为5，点在球面上，求点关于球心的对称点到球心的距离，并判断是否在球面上。 解：步骤1：根据球的中心对称性质，球面上任意一点关于球心的对称点到球心的距离等于球的半径。 已知球半径，因此。 步骤2：根据球的集合定义，空间中到球心距离等于半径的点均在球面上，故点在球的球面上。 答案：，点在球面上。 【知识点03】平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 【例3】已知球的半径为5，球心到某一截面平面的距离为3，求该截面圆的半径。 解：步骤1：明确已知条件：球半径，球心到截面距离。 步骤2：代入平面截球核心公式： 步骤3：半径为正数，解得： 答案：截面圆半径为。 【知识点04】地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 【例4】设地球半径为，赤道上两点经度相差，求两点的球面距离。 解：步骤1：角度转化，将角度制转为弧度制： 步骤2：赤道为大圆，两点球心角。 步骤3：代入球面距离公式： 答案：两点球面距离为。 【知识点05】球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 【例5】已知球的半径为3，求该球的体积。 解：步骤1：明确半径，代入球的体积公式： 步骤2：代入数值计算： 答案：球的体积为。 【知识点06】球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【例6】已知球的半径为2，求该球的表面积。 解：步骤1：明确半径，代入球的表面积公式： 步骤2：代入数值计算： 答案：球的表面积为。 【题型01】球的结构特征辨析 【典例1-1】（25-26高二上·上海·单元测试）A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是________个． 【答案】1或无数 【分析】合理对两点分类讨论，并结合球的性质求解即可. 【详解】当两点与球心不共线时，可作1个大圆， 当两点与球心共线时，可作无数个大圆. 故答案为：1或无数. 【变式1-1】下列说法正确的是(    ) A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一直线上 C．球面上任意两点的连线是球的直径 D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 【答案】D 【分析】利用球的定义判断选项A；利用球面上点的关系判断选项B；利用球的直径的概念即可判断选项C，利用球的几何性质即可判断选项D． 【详解】对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故选项A错误； 对于B，球面上不同的三点一定不共线，故选项B错误； 对于C，球面上任意两点连线若过球心则为球的直径，不过球心则不是球的直径，故选项C错误； 对于D，根据球的几何性质可知，球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面，故选项D正确． 故选：D． 【变式1-2】以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【答案】B 【分析】根据球面和球的定义判断ABC，根据球的性质判断D 【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误， 对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确， 对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面， 而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误， 对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误， 故选：B 【变式1-3】（2025高二上·上海·专题练习）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 【题型02】球的截面的性质及计算 【典例2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据球的截面圆半径、球半径、球心与截面圆距离满足的关系式即可求解. 【详解】设球的半径为，过球O半径中点且垂直于半径的球O的截面圆半径为， 则由题球心O与截面圆距离为，故截面圆的半径为， 所以截面圆的半径是球O半径的. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期末）地球可近似视为半径为的球体.已知我国的冰城哈尔滨市与意大利的都灵市的地理坐标分别约为北纬、东经和北纬、东经.若将两地视为同一纬度圈上的两点，则它们在该纬度圈上所对应的劣弧长度为________.（用含的式子表示） 【答案】 【分析】计算出这两个城市所在圆的半径，以及两地位置的经度差，结合扇形的弧长公式可得结果. 【详解】地球的半径为，我国的冰城哈尔滨市与意大利的都灵市都在北纬， 这两个城市所在圆的半径为， 这两个城市位置的经度差为， 故它们在该纬度圈上所对应的劣弧长度为. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小；当截面过球心时，截面面积最大，进而利用图形求解即可. 【详解】如图：设的中心为，球的半径为，连接，则点在上， 连接. 因为三棱锥为正三棱锥，且，， 所以，， 在中，，即， 解得， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面的半径为，则截面面积为， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 故选：A 【变式2-3】已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值． 【答案】． 【分析】记正三角形所在小圆的圆心为，根据球的半径为2，球心到平面的距离为1，求得OE的长度，再由过点的截面与垂直时，截面面积最小求解. 【详解】记正三角形所在小圆的圆心为， 因为球的半径为2，球心到平面的距离为1， 则，，． 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面面积最小， 此时截面小圆半径，面积． 即截面面积的最小值为． 【题型03】求球面距离 【典例3-1】设地球是半径为的球，地球上两地都在北纬的纬线上，在东经、在东经的经线上，则从沿球面向正东前进（    ）到地 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知确定两地经度夹角及所在纬度线上的截面圆半径，即可求前进距离. 【详解】由题设，两地经度夹角为，且两点所在纬线圈上的截面圆半径为， 所以从沿球面向正东前进到地. 故选：B 【变式3-1】（24-25高二上·上海杨浦·期中）上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为______千米.（结果保留到1千米） 【答案】135 【分析】求出纬度差，纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长公式求解即可. 【详解】上海在北纬至之间，则纬度差为度， 上海所辖区域纬线所在两平面的距离为以地球的半径为半径的圆，角度为所对应的弧长， 于是， 所以上海所辖区域纬线所在两平面的距离为. 故答案为：135 【变式3-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为________．    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 【变式3-3】（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【答案】 【分析】利用球中截面圆的性质，结合地球经纬度的定义即可得解. 【详解】如图所示，连接.    设地球球心为，北纬圈中心为，则，. 所以. 所以. 所以两点间的纬线的长为：. 【题型04】球的体积的有关计算 【典例4-1】已知球的直径，则球体积为______． 【答案】 【详解】因为球的直径，所以球的半径， 所以球的体积为. 【变式4-1】（25-26高二上·上海·单元测试）如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合球体和圆柱的体积公式运算求解. 【详解】设球半径为，则． 故选：A． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，用一平面去截球O，所得截面面积为，球心O到截面的距离为3cm，为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径．求球O的体积．    【答案】 【详解】运用球的截面性质，结合勾股定理和体积公式解题. 解：由题意可得截面圆的半径，则球O的半径，所以球O的体积． 【变式4-3】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高10cm，为了测得某个球的体积，小明将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，求球的体积（精确到）. 【答案】 【分析】先求出球的半径，即可求出球的体积. 【详解】如图所示： 设球的半径为R,由勾股定理知, ,解得. 所以该球的体积为 【题型05】球的表面积的有关计算 【典例5-1】（24-25高二·上海·随堂练习）将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由圆锥的体积求出球的半径，再计算球的表面积即可. 【详解】由题意知，圆锥的体积等于球的体积，设球的半径为，则， 解得，故球的表面积为. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二下·上海·期末）将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 【答案】 【详解】圆柱形铁块的体积为， 设实心铁球的半径为，则，解得， 故该实心铁球的表面积为. 【变式5-2】（2025高二·上海·专题练习）一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，则球的表面积为________cm2． 【答案】 【分析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可. 【详解】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知， 且，为两截面圆的圆心，则，． 设球的半径为，，． ，． 设，则． 在中，，记为①式， 在中，，记为②式， 联立①②可得，． ，故球的表面积为． 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， 由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心， 则，．设球的半径为， ，． ，． 设，则． 在中，．在中，． ，解得，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为． 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二上·上海·单元测试）球面上三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，，，，且球心到该截面的距离为球半径的一半.求此球的表面积． 【答案】 【分析】设截面圆半径为r，球半径为R，利用勾股定理逆定理可判断为直角三角形，从而可求出，再结合球心到该截面的距离为球半径的一半，利用勾股定理列方程可求出，从而可求出球的表面积. 【详解】设截面圆半径为r，球半径为R，在中，，，， ， ∴是直角三角形，∴，∴， ∵球心到该截面的距离为球半径的一半， ∴， ∴， ∴ 知识点01球的基本概念 1. 球的定义 空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做球面；球面所围成的几何体叫做球。 定点：球心；定长：半径；连接球面上两点且过球心的线段为直径。 2. 集合语言定义 设球心为，半径为，则球的集合表示： （球面） （球体） 3. 球的三要素 球心、半径、直径，球的大小由半径唯一确定。 知识点02球的截面性质（核心考点） 1. 截面形状 用平面截球，所得截面一定是圆面。 过球心的截面：大圆，半径等于球半径； 不过球心的截面：小圆，半径。 2. 球心与截面圆心连线性质 球心和截面圆心的连线垂直于截面。 3. 截面半径万能公式（必考） 设球半径为，截面小圆半径为，球心到截面的距离为，满足勾股关系： 适用场景：所有球截面、外接内切、立体几何求值问题。 知识点03球的表面积与体积公式（微软标准公式） 1. 球的表面积公式 说明：表面积仅与半径平方成正比，无底面、侧面区分，为球面整体面积。 2. 球的体积公式 说明：体积与半径立方成正比，是球体所占空间大小。 3. 半径缩放规律 若球半径扩大为原来的倍： 表面积扩大为原来的倍，体积扩大为原来的倍。 知识点04球面距离（沪教必修三重点） 1. 定义 球面上两点之间的最短距离，为经过这两点的大圆在这两点间的劣弧长度。 2. 球面距离公式 设球半径为，球面上两点对应球心角为（弧度制，），则球面距离： 注意：球心角必须使用弧度制计算，角度制需先转换。 知识点05常见几何体的外接球核心结论 1. 长方体/长方体的外接球 长方体长、宽、高为，外接球直径等于体对角线长： 2. 正方体的外接球 正方体棱长为： 3. 正四面体的外接球（拓展） 正四面体棱长为，外接球半径： 知识点06常见几何体的内切球核心结论 1. 正方体的内切球 正方体棱长为，内切球直径等于棱长： 2. 一般多面体内切球通用公式 任意有内切球的多面体，体积，表面积，内切球半径： ，变形得： 知识点07核心易错点课堂小结 概念混淆：球面是曲面（无体积），球是几何体（有体积、表面积）； 公式易错：表面积是，体积是，切勿记反次数与系数； 球面距离误区：不是两点直线距离，是大圆劣弧弧长，必须用球心角弧度计算； 截面公式误用：始终满足，大圆，小圆； 外接内切区分：外接球包裹几何体，内切球与各面相切。 一、填空题 1．（25-26高二上·上海·期中）若球的半径为1，则其大圆的面积为________. 【答案】 【分析】由球体的结构特征及其最大圆的性质确定半径，即可得. 【详解】由球体的大圆是过球心的圆，故其半径为1，所以其面积为. 故答案为： 2．若两球的表面积之比是，则它们的体积之比是____________. 【答案】 【分析】利用两球表面积之比计算出半径之比，再利用球体的体积公式可计算出答案. 【详解】设两球半径分别为，表面积分别为，体积分别为， 则，即， 因此两球体积之比为. 故答案为：. 3．（25-26高二上·上海·期末）若一个球的表面积是，则这个球的体积为______. 【答案】 【分析】根据表面积可得半径，即可根据体积公式求解. 【详解】设球的半径为，则，则， 故球的体积为， 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期末）若一个球的体积是，则这个球的半径为______. 【答案】 【分析】根据球的体积公式计算求解即可. 【详解】设这个球的半径为，球的体积是，则这个球的半径. 故答案为：1. 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为________． 【答案】 【分析】利用勾股定理可求得截面的半径，即可求解 【详解】    设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为， 则， 即 可得， 所以截面面积为， 故答案为：. 6．（2025高二·上海·专题练习）高为3的圆锥体积为，若该圆锥的底面恰为一个球的大圆，则该球的表面积为______． 【答案】 【分析】利用圆锥的体积公式得出半径，再利用球的表面积公式. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，得，故球的半径为， 则球的表面积为. 故答案为： 7．（2025高二上·上海·专题练习）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 【答案】 【分析】根据直接求值. 【详解】已知球的半径，截面圆的半径为， 所以截面圆的圆心与球心的距离为： （）. 故答案为： 8．（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______. 【答案】 【分析】作出截面图形，可知小球最大半径满足，求出半径后代入球的表面积公式即可得解. 【详解】设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下： 由题意得，，因为，所以，解得， 小球的表面积为. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海·阶段检测）若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为，则球的表面积为__________. 【答案】 【分析】根据题设先计算截面圆的半径，结合勾股定理可求得球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】依题意，设截面圆的半径为，球的半径为，因为截面的面积为，即，解得； 又球心到该截面的距离为，所以，所以球的表面积为. 故答案为：. 10．（2025高二上·上海·专题练习）动点在棱长为的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为___________． 【答案】/ 【分析】先将问题转化为“球与正方体表面所形成的交线总长度”，分析交线的类型，然后根据扇形的弧长公式完成计算. 【详解】将问题转化为“以为球心半径为的球，与正方体各表面所形成的交线长度之和”， 因为，所以正方体的各个面根据与球心的位置关系可分为两类， 第一类：平面，平面，平面为过球心的截面，截痕为大圆弧，半径为，如图所示， 因为，所以， 所以，所以圆心角为； 第二类：平面，平面，平面是与球心距离为的截面， 截痕为小圆弧，半径为，圆心角为， 所以曲线的长度为， 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海·期中）已知上海地处东经至，北纬至之间.地球半径为6371.004km，则纬线所在两平面的距离是_________.（精确到0.001km） 【答案】 【分析】由题可得纬度为的纬线所在平面与赤道平面的距离为，代入数据计算可解. 【详解】上海在北纬至之间，地球半径， 纬线所在平面是与赤道平面平行的平面，纬度为的纬线所在平面与赤道平面的距离为， 因此，所求两平面的距离为。 故答案为： 12．（25-26高二下·上海·阶段检测）半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为________． 【答案】 【分析】类比祖暅原理得出球缺及剩余体积计算，再结合导函数得出单调性求解. 【详解】 设球缺（球的截面分球的两个部分）所在球体的半径为，球缺的高度为（球垂直于截面的半径的端点到截面的距离）， 不妨设，先用与水平面平行且经过球缺所在球的球心的平面截球缺， 则球台的高为，下底面半径为，上底面半径为， 由祖暅原理，球台体积等于与之等高，底面半径相等的圆柱挖去一个与之等高的小圆锥余下的几何体的体积， 其中小圆锥的底面半径为，则球台体积为， 将其加上半球的体积，即得球缺的体积：. 若，则可先计算另一半高为的大球缺体积，再用球的体积减去大球缺的体积， 即得小球缺的体积为 . 类比球体积的推导方法，构造一个底面半径的圆柱， 里面挖去底面为圆柱下底面，顶点为上底面的圆心的圆锥，则可以算得在任意高度， 两个几何体的截面面积均为， 故两个几何体的体积相等，由可知越大，体积越大，故当截面垂直于时， 取较大的球缺的体积为，较小的为，可得所求最小值为. 故答案为：. 二、单选题 13．将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（    ） ①经线②北纬③西经④赤道 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据经线和纬线及大圆的定义判断. 【详解】由经线和纬线的定义可知，所有经线均为大圆，纬线中只有赤道为大圆， 故①③④正确，②错误. 故选：C 14．（24-25高二·上海·课堂例题）若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径为（    ） A．2，4； B．2π，4π； C．6，4； D．6π，4π． 【答案】A 【分析】设出两球半径和，依题列出关于和的方程组，求解即得. 【详解】设两个大小球的半径分别为和，依题意得，，解得. 故选：A. 15．（24-25高二·上海·课堂例题）球的半径为10cm，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（    ） A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm． 【答案】C 【分析】利用球的截面性质结合勾股定理求解即可. 【详解】由球的截面性质得，截面面积一定为圆，设圆的半径为， 所以，解得，设球心到截面的距离为， 由勾股定理得，故C正确. 故选：C 16．（2025高二·上海·专题练习）若球的表面积膨胀为原来的两倍，则膨胀后的球的体积变为原来的（    ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．4倍 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用球的表面积公式求出球半径的变化关系，再结合球的体积公式求解. 【详解】设膨胀前后球的半径分别为， 由球的表面积膨胀为原来的两倍，得，解得， 则膨胀后的球的体积， 所以膨胀后的球的体积变为原来的倍. 故选：C 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图所示，球心为，已知球的半径r为5，，求小圆的半径． 【答案】3 【分析】由勾股定理可得. 【详解】如图，设， ，， 则在中，小圆的半径． 故所求小圆的半径为． 18．（24-25高二·上海·课堂例题）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少?（地球半径大约为6370km）（答案精确到个位） 【答案】30660 【分析】利用球截面的大圆计算出半径，再求解纬线长度即可. 【详解】 如图，是北纬上一点，由题意得，， 所以，故， 设是北纬的纬线长，． 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径，，两截面间的距离为，求球的表面积． 【答案】 【详解】由题意，设球的半径为Rcm，设球心到半径为24cm的截面圆的距离为xcm， 则由条件知，两个截面圆在球心的两侧，则解得． 则球的表面积为．    20．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，，求球面面积与球的体积. 【答案】， 【分析】求出外接圆半径，再利用勾股定理求出球半径即可. 【详解】如图，设球心为O，球半径为R，作平面ABC于点， 由于，则是的外心， 设M是AB的中点，由于，则. 设，易知， 则，， 又，∴， 解得，∴. 在中，，，， 由勾股定理得，解得， 则，. 21．（25-26高二上·上海·期中）沪教版教材11．4．2在推导半径为的球的体积公式时，先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面上，然后在圆柱体内挖去一个圆锥后，运用祖暅原理来推导，请解答以下问题：    (1)补全完整祖暅原理：夹在两个 间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的 截得的两个截面的 ，那么这两个几何体的体积必相等． (2)请把如图补充完整并写出球的体积公式的推导过程． 【答案】(1)平行面；任意平面；面积相等 (2).   【分析】（1）结合题意求解； （2）半球截面面积可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解. 【详解】（1）平行面；任意平面；面积相等 （2）如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为，， 于是截面面积， 则可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积， 所以，取一个底面半径和高均为的圆柱， 从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上， 如图（2）， 用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面， 可知圆环大圆半径为，小圆半径为，圆环面积，所以， 则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即， 所以可得球的体积为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $