第04讲 平面与平面的位置关系（知识详解+6典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第04讲 平面与平面的位置关系 （知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：平面与平面平行 知识点02：二面角 知识点03：平面与平面垂直 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断面面平行与补全面面平行的条件 题型02：证明面面平行 题型03：求二面角 题型04：由二面角大小求线段长度或距离 题型05：判断面面是否垂直与补全面面垂直的条件 题型06：证明面面垂直 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 【例1】在正方体中，E、F分别是的中点，求证：平面平面。 【知识点02】二面角 1、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 2、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 3、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做 二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 求解二面角的常用方法： 1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法； 2、三垂线法：利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法； 3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法； 4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 【例2】已知二面角，棱l上有一点O，在平面内作，在平面内作，若，求该二面角的大小；若，求二面角大小。 【知识点03】平面与平面垂直 1、平面与平面垂直定义 　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　　　　　　　　　　 2、平面与平面垂直的判定定理 　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　 　　特征：线面垂直面面垂直 　　注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 3、平面与平面垂直的性质 　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　　　 【例3】在正方体中，求证：平面平面。 【题型01】判断面面平行与补全面面平行的条件 【典例1-1】在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件______. 【变式1-1】对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有___个． 【变式1-2】已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ）． A．、都垂直于一个平面γ B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且∥，∥ D．l、m是两条异面直线，且∥，∥ ，∥，∥ 【变式1-3】和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面与平行的是（    ） A． B．内不共线的三点到的距离相等 C．是平面内的直线且 D．是两条异面直线且 【题型02】证明面面平行 【典例2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且,．求证：平面平面β．    【变式2-1】（24-25高二上·上海·课后作业）如图所示，为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心．试判断平面与平面的关系，并说明理由． 【变式2-2】（24-25高二上·上海徐汇·期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 【变式2-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足.    (1)求证：平面平面ACP； (2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 【题型03】求二面角 【典例3-1】（24-25高二上·上海·期中）如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 【变式3-2】如图，已知正方体的棱长为. (1)求直线和平面所成角的大小； (2)求二面角的大小. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期中）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．    (1)判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； (2)若四面体是鳖臑，且，求二面角的大小． 【题型04】由二面角大小求线段长度或距离 【典例4-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）在直二面角的棱l上取一点A，过点A分别在、内A的同侧都作与l成角的射线，则这两条射线间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】在二面角的一个面内有一个点，它到另一个平面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为________. 【变式4-2】已知二面角为，P是平面α内的一点，P到β的距离为1，则P在β内的射影到AB的距离为 _____． 【变式4-3】在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是，求这个点到二面角的棱的距离． 【题型05】判断面面是否垂直与补全面面垂直的条件 【典例5-1】对于直线m，n和平面α，β，能得出的一个条件是（    ） A．，∥，∥ B．，， C．∥，， D．∥，， 【变式5-1】（24-25高二下·上海虹口·期末）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则“”的充分条件是（   ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-2】如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【变式5-3】（24-25高二上·上海黄浦·期末）正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为______. 【题型06】 证明面面垂直 【典例6-1】如图，已知是平面的垂线，AC是平面的一条斜线，在上，且垂直于．求证：平面平面． 【变式6-1】如图，在四面体中，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上，如果，能否判定以及平面平面. 【变式6-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面. 【变式6-3】（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 知识点01空间两平面基础位置关系总览 位置关系 公共点个数 图形表示 符号表示 两平面平行 0个，无公共点 两个平面无交点，互相错开 两平面相交 无数个，构成一条公共直线 两个平面相交形成一条棱 知识点02平面与平面平行（知识梳理） 1. 定义 如果两个平面没有公共点，则两平面互相平行：。 2. 面面平行判定定理（核心证明依据） 文字语言：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。 符号语言： 致命易错点：必须满足两条+相交，仅有一条线面平行、两条平行线分别平行另一平面，都无法证明面面平行。 3. 面面平行性质定理 文字语言：两个平行平面同时与第三个平面相交，两条交线互相平行。 符号语言： 4. 面面平行解题推理链 线线平行 ➡ 线面平行 ➡ 面面平行（证明） 面面平行 ➡ 线面平行 ➡ 线线平行（性质应用） 知识点03 二面角（空间角核心考点） 1. 相关概念 半平面：一条直线将平面分成两部分，每一部分为一个半平面； 二面角：从一条棱出发的两个半平面组成的空间图形，记作：二面角； 直二面角：二面角的平面角为。 2. 二面角的平面角（必考三要素） 作出平面角必须同时满足三点： （1）顶点在二面角的棱上； （2）两条边分别在两个不同平面内； （3）两条边同时垂直于棱。 3. 取值范围 二面角平面角： 4. 求二面角通用步骤 作：依据定义作出符合三要素的平面角； 证：证明所作角为该二面角的平面角； 算：依托平面几何（三角形、勾股定理）计算角度； 答：写出二面角最终大小。 知识点04平面与平面垂直（高频证明考点） 1. 定义 两个平面相交，若所成二面角为直二面角，则两平面垂直，记作：。 2. 面面垂直判定定理（考试最常用） 文字语言：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。 符号语言： 极简口诀：线面垂直 ➜ 面面垂直 3. 面面垂直性质定理（逆向使用） 文字语言：若两平面垂直，在一个平面内垂直于两平面交线的直线，垂直于另一个平面。 符号语言： 极简口诀：面面垂直 ➜ 线面垂直 知识点05本节三大核心逻辑链（立体几何必背） 平行体系：线线平行 ↔ 线面平行 ↔ 面面平行 垂直体系：线线垂直 ↔ 线面垂直 ↔ 面面垂直 空间角核心：所有空间面面角度，最终都要转化为平面角求解 知识点06本节高频易错汇总（预习避坑） 误区1：混淆面面平行条件，用单条直线平行证明面面平行； 误区2：作二面角平面角时，忽略“边垂直于棱”关键条件； 误区3：面面垂直性质使用时，忘记直线必须在平面内且垂直交线； 误区4：立体几何证明题漏写关键条件（相交、直线在平面内等），步骤扣分。 一、填空题 1．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知平面和平面外一点，则下列说法中，正确的是______．（写出所有判断正确的序号） ①过点有且只有一条直线与平面垂直；②过点有且只有一个平面与平面垂直； ③过点有且只有一条直线与平面平行；④过点有且只有一个平面与平面平行． 2．命题：若一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，上述命题为____________（选填“真命题”或“假命题”）. 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）中，，平面，，，则二面角的大小为________． 4．（24-25高二上·上海·阶段检测）二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是___________. 5．（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 6．（24-25高二·上海·随堂练习）已知平面∥平面∥平面，平面在平面、平面之间，和的距离为5，和的距离为3，直线l和、、分别交于点A、B、C，且，则________． 7. （25-26高二上·上海·期中）点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是_____． 8．（24-25高二·上海·课堂例题）如果四边形ABCD是矩形，SD⊥平面ABCD，D是垂足，那么图中互相垂直的平面的组数是________． 9．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面的距离分别为，分别是半平面､内的动点.则周长的最小值为__________. 10. （24-25高二·上海·暑假作业）二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是______． （24-25高二上·上海静安·阶段练习） 11．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为_________．    12．（24-25高二上·上海·期中）如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为___________    二、单选题 13．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 14．（25-26高二上·上海·阶段检测）在直二面角中，直线，直线，分别与都相交且与不垂直，则（    ）. A．不和垂直，也不与平行 B．可能和垂直，也可能 C．不和垂直，但可能 D．不和平行，但可能 15．（2024高二下·上海·专题练习）边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（   ） A． B． C． D．2 三、解答题 17．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 18．在正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的正切值． 19．（24-25高二上·上海静安·阶段检测）如图，ABCD是边长为1的正方形，平面，，    (1)证明： 平面平面； (2)求二面角的大小. 20．（25-26高二上·上海·期中）已知长方体中，若，，， (1)求点到平面的距离． (2)求点到直线的距离． (3)求二面角的大小． 21．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平面与平面的位置关系 （知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：平面与平面平行 知识点02：二面角 知识点03：平面与平面垂直 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断面面平行与补全面面平行的条件 题型02：证明面面平行 题型03：求二面角 题型04：由二面角大小求线段长度或距离 题型05：判断面面是否垂直与补全面面垂直的条件 题型06：证明面面垂直 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 【例1】在正方体中，E、F分别是的中点，求证：平面平面。 解：在中，E、F分别为AB、BC中点，由中位线定理可得：； 正方体中底面，因此； 又平面，平面，根据线面平行判定定理：平面； 同理可证：平面； 且，两条直线相交且都在平面DEF内； 根据面面平行判定定理，可得：平面平面。 【知识点02】二面角 1、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 2、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 3、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做 二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 求解二面角的常用方法： 1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法； 2、三垂线法：利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法； 3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法； 4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 【例2】已知二面角，棱l上有一点O，在平面内作，在平面内作，若，求该二面角的大小；若，求二面角大小。 解：已知，，顶点O在棱l上； 完全符合二面角平面角的三大条件，因此就是二面角的平面角； 当时，二面角大小为； 当时，二面角大小为。 【知识点03】平面与平面垂直 1、平面与平面垂直定义 　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　　　　　　　　　　 2、平面与平面垂直的判定定理 　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　 　　特征：线面垂直面面垂直 　　注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 3、平面与平面垂直的性质 　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　　　 【例3】在正方体中，求证：平面平面。 解：正方体中，侧棱底面平面，平面，因此； 底面ABCD为正方形，正方形对角线互相垂直，故； 又，且平面； 根据线面垂直判定定理：平面； 又因为平面； 根据面面垂直判定定理（一个平面过另一平面的一条垂线，则面面垂直），可得：平面平面。 【题型01】判断面面平行与补全面面平行的条件 【典例1-1】在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件______. 【答案】 【分析】确定为平面内的两条相交直线，，故，得到答案. 【详解】因为一个平面内两条相交直线平行于另一个面，则这两个面平行， 所以要证，需要，，以及，共五个条件， 所以需要在条件“”之外补充条件是. 故答案为：. 【变式1-1】对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有___个． 【答案】2 【分析】举反例否定①③，进而得到可以判断两个平面α与β平行的条件为②④. 【详解】如图取α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①； 若存在平面γ，使α、β都平行于γ，则可以判断两个平面α与β平行.②是正确的； 若α与β相交，如图所示，, ，且l与m，n两直线等距离， 则α内不共线的三点A，B，C到β的距离相等. 所以排除③； 存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ. 则可以判断两个 平面α与β平行. ④是正确的． 故答案为：2 【变式1-2】已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ）． A．、都垂直于一个平面γ B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且∥，∥ D．l、m是两条异面直线，且∥，∥ ，∥，∥ 【答案】D 【分析】对于ABC，举例判断，对于D，由面面平行的判定理分析判断. 【详解】对于A，如在正方体中，平面和平面都与平面ABCD垂直，但这两个平面不平行，所以A错误， 对于B，如在正方体中，平面和平面，平面中所有平行于交线的直线都与平面平行，但这两个平面不平行，所以B错误， 对于C，如在正方体中，平面和平面，分别为的中点，则在平面内，且都与平面平行，但这两个平面不平行，所以C错误. 对于D，因为l、m是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面时，一定在内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确． 故选：D 【变式1-3】和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面与平行的是（    ） A． B．内不共线的三点到的距离相等 C．是平面内的直线且 D．是两条异面直线且 【答案】D 【分析】对于A、B、C，举出反例即可排除；对于D直接证明即可. 【详解】对于A，和可平行也可相交；如图所示，，，则，但不能判定平面与平行； 对于B，如图所示，确定的平面记为，确定的平面记为，其中三点不共线，且到平面的距离都相等，但此时平面与平面不平行；若需要，必须是内不共线的三点，且在的同侧到的距离相等，才可判定平面与平面平行，故B错误； 对于C，如图所示，当是平面内的两条平行直线时，与可能相交，故C错误； 对于D，如图所示，，是两条异面直线， 过直线分别作平面与平面相交，设交线分别为，，， 由得，从而，则，同理， 因为与相交，所以． 故选：D． 【题型02】证明面面平行 【典例2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且,．求证：平面平面β．    【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的判定与性质先证线线平行，再证线面平行，最后可证面面平行. 【详解】因为， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以，同理得， 由已知得，，且， 所以平面平面β. 【变式2-1】（24-25高二上·上海·课后作业）如图所示，为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心．试判断平面与平面的关系，并说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】构造线线平行，得到线面平行，再根据线面平行，推出线线平行. 【详解】理由如下：如图，连接、、并分别延长交、、于P、F、H． ∵M、N，G分别为、、的重心，则有． 连接、，，有． 又平面，不在平面上， ∴平面．同理平面． 又，、平面， ∴平面平面． 【变式2-2】（24-25高二上·上海徐汇·期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行，进而可得面面平行，利用面面平行的性质即可求证， （2）根据可得为异面直线与所成角，即可利用余弦定理求解，在中利用余弦定理计算． 【详解】（1）取中点，连接， 则, 由于平面，平面，故平面, 由于,故四边形为平行四边形， 则， 平面，平面，故平面, 平面， 故平面平面， 平面,故直线平面    （2）由（1）知， 或其补角为异面直线与所成角， 设正方体棱长为1，则，， ，所以异面直线与所成角的大小为.    【变式2-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足.    (1)求证：平面平面ACP； (2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）由线段的比例关系先证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理得到平面和平面，然后由面面平行的判定定理可得； （2）由线面平行的性质定理得到，再由比例关系可得. 【详解】（1）    连接， 在中，因为， 所以，且， 又因为，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在中，因为，所以， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又犹豫，且平面， 所以平面平面ACP. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以，又因为，所以， 所以. 【题型03】求二面角 【典例3-1】（24-25高二上·上海·期中）如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，连接，根据条件得到，从而为二面角的平面角，再利用几何关系，即可求解. 【详解】取中点，连接，因为和都是等边三角形， 则，所以为二面角的平面角， 又，则，，所以， 所以二面角的大小为. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 【答案】 【分析】取中点，则，所以为二面角的平面角，根据几何关系即可得答案． 【详解】取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以中，， 所以为等边三角形，即． 所以二面角的大小． 故答案为：． 【变式3-2】如图，已知正方体的棱长为. (1)求直线和平面所成角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方体的几何特征结合线面角定义得出线面角,再根据边长得出角的正切最后结合反三角得出角; （2）根据二面角定义得出二面角,再应用边长得出正切,最后求出角. 【详解】（1）平面直线和平面所成角为， ， 则直线和平面所成角的大小为. （2）平面平面平面， 平面, 则二面角的平面角为, . 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期中）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．    (1)判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； (2)若四面体是鳖臑，且，求二面角的大小． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，即可得证，进而可知四面体是鳖臑，由此得出结论； （2）根据题意求出三角形及三角形的面积，由射影法即可求得二面角的大小． 【详解】（1）四面体为鳖臑，理由如下： 平面，平面， ， ，是棱的中点， ， 又，且平面，平面， 平面，平面，； 易知四面体是鳖臑，直角为，，，； （2）四面体是鳖臑，， ， 又，则， ， ， 设锐二面角的大小为，则，则， 则，，即二面角的大小为． 【题型04】由二面角大小求线段长度或距离 【典例4-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）在直二面角的棱l上取一点A，过点A分别在、内A的同侧都作与l成角的射线，则这两条射线间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在棱l上取一点，分别在、内过点作，与过点的两条射线分别相交于，由二面角的平面角证明等腰，等腰，等腰全等进而可求； 【详解】 在棱l上取一点，分别在、内过点作，与过点的两条射线分别相交于， 则 是二面角的平面角， 由得等腰，等腰，等腰全等， 所以， 所以两射线间的夹角为， 故选：B. 【变式4-1】在二面角的一个面内有一个点，它到另一个平面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为________. 【答案】 【分析】画出简图，结合三角函数关系即可求解. 【详解】如下图所示： 二面角为，点，点在平面内的射影点为， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，，则， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 所以，二面角的平面角为，故. 因此，这个点到二面角的棱的距离为. 故答案为：. 【变式4-2】已知二面角为，P是平面α内的一点，P到β的距离为1，则P在β内的射影到AB的距离为 _____． 【答案】 【分析】过点P作PO⊥平面β于点O，作PD⊥AB于点D，连接OD，可得∠PDO为二面角的平面角，然后根据条件即可求得结果. 【详解】 过点P作PO⊥平面β于点O，作PD⊥AB于点D，连接OD， 因为PO⊥平面β于点O，AB⊂平面β， 则PO⊥AB， 又PD⊥AB，PO∩PD＝P，PO，PD⊂平面POD， 所以AB⊥平面POD， 则∠PDO为二面角的平面角， 所以，又，且OD为点P在β内的射影到AB的距离， 则， 所以P在β内的射影到AB的距离为． 故答案为:． 【变式4-3】在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是，求这个点到二面角的棱的距离． 【答案】 【分析】作出二面角的平面角后利用直角三角形的性质结合给定条件求解即可. 【详解】如图，我们把两个平面记为，假定一个定点在内，    且记，由题意得，且， 因为，所以，且作， 所以这个点到二面角的棱的距离为的长度， 因为，面， 所以面，故， 故是二面角的平面角，即， 在直角中，. 【题型05】判断面面是否垂直与补全面面垂直的条件 【典例5-1】对于直线m，n和平面α，β，能得出的一个条件是（    ） A．，∥，∥ B．，， C．∥，， D．∥，， 【答案】C 【分析】在A中，与相交或相行；在B中，与不一定垂直；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的判定定理得∥. 【详解】在A中，，∥，∥，则与相交或平行，故A错误； 在B中，，，，则与不一定垂直，故B错误； 在C中，∥，，可得， 且，由面面垂直的判定定理得，故C正确； 在D中，∥，，，由面面平行的判定定理得∥，故D错误. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二下·上海虹口·期末）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则“”的充分条件是（   ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据充分条件的定义，结合线面垂直的性质、面面垂直的判定定理即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则平面与平面可以相交或平行，故B错误； 对于C，因为，由线面垂直的性质，所以， 又因为，所以，故C正确； 对于D，若，则平面与平面可以相交或平行，故D错误； 故选：C 【变式5-2】如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要平面MBD⊥平面PCD，可以考虑PC⊥平面MBD，进而得出点M满足的条件即可 【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 【变式5-3】（24-25高二上·上海黄浦·期末）正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为______. 【答案】 【分析】根据正方体的性质判断即可. 【详解】在正方体中， 平面、平面、平面、平面均与平面垂直， 平面与平面平行， 故正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为个. 故答案为： 【题型06】 证明面面垂直 【典例6-1】如图，已知是平面的垂线，AC是平面的一条斜线，在上，且垂直于．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，，面， 所以面，而面，所以平面平面. 【变式6-1】如图，在四面体中，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上，如果，能否判定以及平面平面. 【答案】能，理由见解析 【分析】利用线面垂直的性质得到，再结合面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为是的中线，所以是的中点， 因为，所以，因为面， 面，所以，因为， 面，所以面， 因为面，所以， 故，而面，所以平面平面. 【变式6-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）由中位线得到线线平行，同时垂直于同一平面的两直线平行，两条线同时垂直与同一直线得到线线平行； （2）由线面垂直得到线线垂直，正三角形三线合一得到线线垂直，得到线面垂直，由平行四边形得到线线平行，从而得到平面内一条线垂直于平面，然后得到面面垂直. 【详解】（1）∵点分别为中点， ∴， 由∵、都垂直于平面， ∴， ∴； （2）如图，连接CG， ∵平面，且平面， ∴ 在正中，点为中点， ∴，且，平面，平面， ∴平面， ∵点分别为中点， ∴，所以四边形是平行四边形， ∴， ∴平面， 又因为平面， ∴平面平面. 【变式6-3】（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接、，又为的中点，则且， 而平面，平面，则，，又，则， 因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （2）在等边中，为的中点，则， 由平面，平面，得， 而，于是，，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）在平面内，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则为和平面所成的角， 由，，得，，， 在中，， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 知识点01空间两平面基础位置关系总览 位置关系 公共点个数 图形表示 符号表示 两平面平行 0个，无公共点 两个平面无交点，互相错开 两平面相交 无数个，构成一条公共直线 两个平面相交形成一条棱 知识点02平面与平面平行（知识梳理） 1. 定义 如果两个平面没有公共点，则两平面互相平行：。 2. 面面平行判定定理（核心证明依据） 文字语言：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。 符号语言： 致命易错点：必须满足两条+相交，仅有一条线面平行、两条平行线分别平行另一平面，都无法证明面面平行。 3. 面面平行性质定理 文字语言：两个平行平面同时与第三个平面相交，两条交线互相平行。 符号语言： 4. 面面平行解题推理链 线线平行 ➡ 线面平行 ➡ 面面平行（证明） 面面平行 ➡ 线面平行 ➡ 线线平行（性质应用） 知识点03 二面角（空间角核心考点） 1. 相关概念 半平面：一条直线将平面分成两部分，每一部分为一个半平面； 二面角：从一条棱出发的两个半平面组成的空间图形，记作：二面角； 直二面角：二面角的平面角为。 2. 二面角的平面角（必考三要素） 作出平面角必须同时满足三点： （1）顶点在二面角的棱上； （2）两条边分别在两个不同平面内； （3）两条边同时垂直于棱。 3. 取值范围 二面角平面角： 4. 求二面角通用步骤 作：依据定义作出符合三要素的平面角； 证：证明所作角为该二面角的平面角； 算：依托平面几何（三角形、勾股定理）计算角度； 答：写出二面角最终大小。 知识点04平面与平面垂直（高频证明考点） 1. 定义 两个平面相交，若所成二面角为直二面角，则两平面垂直，记作：。 2. 面面垂直判定定理（考试最常用） 文字语言：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。 符号语言： 极简口诀：线面垂直 ➜ 面面垂直 3. 面面垂直性质定理（逆向使用） 文字语言：若两平面垂直，在一个平面内垂直于两平面交线的直线，垂直于另一个平面。 符号语言： 极简口诀：面面垂直 ➜ 线面垂直 知识点05本节三大核心逻辑链（立体几何必背） 平行体系：线线平行 ↔ 线面平行 ↔ 面面平行 垂直体系：线线垂直 ↔ 线面垂直 ↔ 面面垂直 空间角核心：所有空间面面角度，最终都要转化为平面角求解 知识点06本节高频易错汇总（预习避坑） 误区1：混淆面面平行条件，用单条直线平行证明面面平行； 误区2：作二面角平面角时，忽略“边垂直于棱”关键条件； 误区3：面面垂直性质使用时，忘记直线必须在平面内且垂直交线； 误区4：立体几何证明题漏写关键条件（相交、直线在平面内等），步骤扣分。 一、填空题 1．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知平面和平面外一点，则下列说法中，正确的是______．（写出所有判断正确的序号） ①过点有且只有一条直线与平面垂直；②过点有且只有一个平面与平面垂直； ③过点有且只有一条直线与平面平行；④过点有且只有一个平面与平面平行． 【答案】①④ 【分析】利用空间中点、线、面的位置关系判定即可. 【详解】由空间中点、线、面的位置关系可知： 过平面外一点有且仅有一条直线与平面垂直，故①正确； 过平面外一点有无数个平面与平面垂直，故②错误； 过平面外一点有无数条直线与平面平行，故③错误； 过平面外一点有且只有一个平面与平面平行，故④正确； 故答案为：①④ 2．命题：若一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，上述命题为____________（选填“真命题”或“假命题”）. 【答案】假命题 【分析】举反例，当两平面相交时的情况，即可得答案. 【详解】当两平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线， 则这无数条直线都平行于另一个平面， 此时两平面不平行， 所以此命题是假命题. 故答案为：假命题 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）中，，平面，，，则二面角的大小为________． 【答案】 【分析】利用线面垂直的性质与判定结合二面角的定义计算即可. 【详解】因为，所以， 又平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 易知平面，所以， 所以二面角的一个平面角为， 在直角三角形中，，则. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·阶段检测）二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是___________. 【答案】或 【分析】作出图像，根据二面角定义求解即可. 【详解】①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是   ，，则，∴， ①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是的补角   ，，则，∴，二面角为 ∴二面角的大小是：或. 故答案为：或. 5．（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【分析】利用面面平行判定定理可证明平面平面，即可得平面，所以即为点的轨迹，求出的长即可. 【详解】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 故答案为： 6．（24-25高二·上海·随堂练习）已知平面∥平面∥平面，平面在平面、平面之间，和的距离为5，和的距离为3，直线l和、、分别交于点A、B、C，且，则________． 【答案】 【分析】如图，过点作于，交于，则可得∥，然后利用平行线分线段成比例定理可求得结果. 【详解】如图，过点作于，交于， 因为平面∥平面∥平面，平面在平面、平面之间， 所以， 则由题意可得， 分别连接，因为，所以与可确定平面， 因为平面∥平面，平面平面，平面平面， 所以∥， 所以， 所以，解得. 故答案为： 7. （25-26高二上·上海·期中）点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是_____． 【答案】 【分析】过点作，，垂足分别为，，连接，可证明，可得是锐二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】如图，过点作，，垂足分别为，，连接， 因为，所以，而平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是锐二面角的平面角， 在直角三角形中，，则. 故答案为：. 8．（24-25高二·上海·课堂例题）如果四边形ABCD是矩形，SD⊥平面ABCD，D是垂足，那么图中互相垂直的平面的组数是________． 【答案】6 【分析】根据题意结合面面垂直的判定定理分析判断. 【详解】因为SD⊥平面，平面，平面，平面， 所以平面平面，平面平面，平面平面， 因为SD⊥平面，平面，所以， 因为四边形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面， 因为SD⊥平面，平面，所以， 四边形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以图中互相垂直的平面的组数是6. 故答案为：6 9．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面的距离分别为，分别是半平面､内的动点.则周长的最小值为__________. 【答案】 【分析】作出辅助线，得到当分别取直线与平面的交点时，周长最短，由余弦定理求出最小值. 【详解】分别作点关于平面的对称点， 则，， 易证当分别取直线与平面的交点时，周长最短， 且这个周长最小值为. 故答案为： 10. （24-25高二·上海·暑假作业）二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是______． （24-25高二上·上海静安·阶段练习） 【答案】或 【分析】作出图象，根据二面角定义求解即可． 【详解】①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是 ，，则，∴， ①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是的补角 ，，则，∴，二面角为 ∴二面角的大小是：或． 故答案为：或． 11．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为_________．    【答案】 【分析】作,根据二面角的定义可得，即可利用余弦定理求解，进而由勾股定理求解. 【详解】过点作直线的垂线段，垂足为点，以为邻边作平行四边形，连接，如图，    由， 又，则就是二面角的平面角, 平面, 所以平面， 所以，在中，解：， 在中利用余弦定理得：， 解得：， 由于平面，平面，故， ，故， 在中，即：， 整理得：． 故答案为： 12．（24-25高二上·上海·期中）如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为___________    【答案】3 【分析】根据给定的侧面展开图及信息，还原该几何体，再借助面面垂直的判定即可得解. 【详解】依题意，直线，点直线，点直线， 在几何体中，两两垂直，而平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 又平面，因此平面平面， 而，则平面，又平面，因此平面平面， 令平面平面，由，平面，平面， 得平面，而平面，于是，同理平面， 则平面，平面，则，是平面与平面的夹角， 而是锐角，因此平面与平面不垂直， 所以与平面垂直的平面个数为3. 故答案为：3    二、单选题 13．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【分析】由面面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理， 故选：D 14．（25-26高二上·上海·阶段检测）在直二面角中，直线，直线，分别与都相交且与不垂直，则（    ）. A．不和垂直，也不与平行 B．可能和垂直，也可能 C．不和垂直，但可能 D．不和平行，但可能 【答案】A 【分析】在上任取一点，过分别在内作，，再、，连接AB，分析的形状，并据此判断即可得到答案． 【详解】如图，在上任取一点，过分别在内作，， 在上任取一点，过作，垂足为，则，所以， 过作交于，连，又因为，所以平面ACB，所以， 所以为直角三角形，故为锐角， 所以不和垂直，也不和平行． 故选：A． 15．（2024高二下·上海·专题练习）边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二面角的平面角定义，可得为平面和平面所在的两个半平面所成的二面角的平面角，设，，利用相似三角形得出和，再利用余弦定理求得的表达式，进而求得取值范围． 【详解】设，，则， 由题意，，在上的投影是同一点，设为，连接，， 则为平面和平面所在的两个半平面所成的二面角的平面角， 则， 由，可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，所以，则． 故选：D． 16．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面到底面的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值. 【详解】由题意知，水的体积为，如图所示， 设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于， 由题意知，水的体积为， 所以，即，解得， 在平面内，过点作交于， 则四边形是平行四边形，且， 又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角， 即侧面与平面所成的角,其平面角为， 在直角三角形中，. 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角. 三、解答题 17．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用等腰三角形性质及线面垂直的判定推理即得. （2）由（1）可得二面角的平面角，并利用几何法求出角的大小. 【详解】（1）在四面体中，由，是的中点， 得，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，是二面角的平面角， 在等腰中，，，则， 同理，而，因此是正三角形，， 所以二面角的大小为. 18．在正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可证四边形是平行四边形，从而，平面，再证平面，可证平面平面； （2）为与所成角或其补角，由可求． 【详解】（1）连接， ∵分别是的中点， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵平面，平面， ∴平面， ∵分别是的中点， ∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面； （2）由（1）知， ∴为与所成角或其补角， 在中，，， 所以， 所以直线与所成角的正切值为． 19．（24-25高二上·上海静安·阶段检测）如图，ABCD是边长为1的正方形，平面，，    (1)证明： 平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判断定理，首先证明平面，即可证明面面垂直； （2）首先根据，构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）由条件可知，，，且， 所以， 过点作，连结，则，且 所以为二面角的平面角，    由（1）知，平面，平面，所以， 由，则，所以，则， 中，，， 所以，所以, 所以二面角的大小为. 20．（25-26高二上·上海·期中）已知长方体中，若，，， (1)求点到平面的距离． (2)求点到直线的距离． (3)求二面角的大小． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据长方体可知平面，即可得解； （2）连接，过作，可知，结合勾股定理可得解； （3）由（2）可知二面角所对应的平面角为，即可得解. 【详解】（1）由已知为长方体， 则平面于，所以是点到平面的距离， 因为  所以点到平面的距离为； （2）平面，过作交于，连接， 则是在面上的投影， 因为所以于， 所以就是点到直线的距离， 在中，， 又，即，则， 在中，，  所以， 所以点到直线的距离； （3）由（2）知，，， 所以是二面角的平面角， 在中，，， 所以， 所以， 所以二面角的大小是. 21．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论； （2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明； （3）作出点，根据面面平行性质定理，中位线等证明即可. 【详解】（1）证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 （3）解：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 1 学科网（北京）股份有限公司 $