专题11 指数函数- 【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题11 指数函数 一、复习引入 1 二、知识梳理 1 （一）指数函数的定义 1 （二）指数函数的图像 2 （三）指数函数的性质 2 考点剖析 3 过关检测 4 A组 双基过关 4 B组 巩固提高 4 C组 综合训练 5 D组 拓展延伸 7 一、复习引入 1. 幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是___________. 2. 比较下列各题中两个数的大小 （1）与 （2）与 3. 下列幂函数在区间内严格递增，且图像关于原点中心对称的是___________. （1）（2）（3）（4） 4. 一张纸对折一次，由1层变为2层，再对折一次由2层变为4层，……对折次后，层数与折叠次数的函数关系式是怎样的？ 二、知识梳理 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 （一）指数函数的定义 对于函数来说，首先要假设，以保证对所有实数，都有意义. 还要假设，因为如果，就恒等于1，这种极为特殊的情况我们不必专门研究. 定义：当底数固定，且，时，等式 确定了变量随变量变化的规律，称为底为的指数函数（exponential function）. 因为对所有实数，都是有意义的，所以指数函数的定义域是全体实数. （二）指数函数的图像 分别描绘指数函数，，，的大致图像. 【提示】列表，描点，连线 “五点法”，依次取，，，， （三）指数函数的性质 由前面的几种指数函数的图像，结合幂的运算性质，我们可以得到如下的性质： 1. 指数函数的函数值恒大于 2. 指数函数的图像恒经过定点 3. 当时，指数函数在上严格增 当时，指数函数在上严格减 4. 指数函数及的图像关于轴对称 关于指数函数的图像与性质的总结见下表： 图像 图像特征 （1）图像都在轴上方，无限趋近于轴，但永不相交 （2）过点 （3）由左至右图像上升 （3）由左至右图像下降 函数性质 （1）定义域为，值域为 （2）当时， （3）在上严格增 （3）在上严格减 考点剖析 【难度系数：★★★   参考时间：20 min】 例1. 在下列函数中，是指数函数的有___________. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 例2. 函数是指数函数，则=___________. 例3. 指数函数①，②满足不等式，则它们的图象是………… ( ) 例4. 若函数的图像在第一、三、四象限内，则…………………………………( ) A. B. C. 且 D. 例5. 比较下列各组数的大小: （1）和； （2）和； （3） 和； （4） 和； （5）和； （6）和. 例6. 已知函数，其中. （1）求，并计算的值； （2）作出该函数的图像，并求函数的值域. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数（，且）的图像恒过定点，则点坐标是 ． 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 4．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 5．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）函数的值域为 . 6．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）若在的图象位于直线的上方，则实数a的取值范围是 . 7．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数和的图象关于y轴对称，则函数 . 8．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数是指数函数，则实数的值是 . B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高一下·上海·期中）已知a、，，则下列不等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   12．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 13．（23-24高一上·上海·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 14．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则 . 15．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为，则实数的取值范围是 ; 16．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）函数（且）恒过定点 . 17．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知a是实数，定义在上的函数是奇函数，其中. (1)求a的值； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论. 18．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，其中. (1)是否存在实数，使函数是奇函数?若存在，请写出证明. (2)当时，判断在上的单调性并证明. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数，则该函数在上是（    ） A．严格减函数无最小值 B．严格减函数有最小值 C．严格增函数无最大值 D．严格增函数有最大值 20．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若，则实数m的取值范围是 . 21．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 . 22．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，试判断函数的单调性并加以证明；并求在上有解时，实数的取值范围. 23．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数的图象经过点，. (1)求实数，的值； (2)若不等式的解集记为，求时，函数的值域. 24．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数的图像经过，其中且 (1)求实数的值 (2)若，求实数的取值范围 25．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中且，是实数常数. (1)求函数的定义域； (2)是否存在常数b，使函数为奇函数? 26．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】27．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设是一个定义域为的函数.若是的一个非空子集，且对于任意的，都有，则称是关联的. (1)判断函数和函数是否是关联的，无需说明理由.（表示不超过的最大整数） (2)若函数是关联的，且在上，，解不等式. (3)已知正实数满足，且函数是关联的，求的解析式. 28．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知函数 (1)求证：用单调性定义证明函数是上的严格减函数； (2)已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 指数函数 一、复习引入 1 二、知识梳理 1 （一）指数函数的定义 1 （二）指数函数的图像 2 （三）指数函数的性质 2 考点剖析 3 过关检测 4 A组 双基过关 4 B组 巩固提高 6 C组 综合训练 11 D组 拓展延伸 17 一、复习引入 1. 幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是___________. 【答案】 2. 比较下列各题中两个数的大小 （1）与 【答案】> （2）与 【答案】> 3. 下列幂函数在区间内严格递增，且图像关于原点中心对称的是___________. 【答案】（2） （1）（2）（3）（4） 4. 一张纸对折一次，由1层变为2层，再对折一次由2层变为4层，……对折次后，层数与折叠次数的函数关系式是怎样的？ 二、知识梳理 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 （一）指数函数的定义 对于函数来说，首先要假设，以保证对所有实数，都有意义. 还要假设，因为如果，就恒等于1，这种极为特殊的情况我们不必专门研究. 定义：当底数固定，且，时，等式 确定了变量随变量变化的规律，称为底为的指数函数（exponential function）. 因为对所有实数，都是有意义的，所以指数函数的定义域是全体实数. （二）指数函数的图像 分别描绘指数函数，，，的大致图像. 【提示】列表，描点，连线 “五点法”，依次取，，，， （三）指数函数的性质 由前面的几种指数函数的图像，结合幂的运算性质，我们可以得到如下的性质： 1. 指数函数的函数值恒大于 2. 指数函数的图像恒经过定点 3. 当时，指数函数在上严格增 当时，指数函数在上严格减 4. 指数函数及的图像关于轴对称 关于指数函数的图像与性质的总结见下表： 图像 图像特征 （1）图像都在轴上方，无限趋近于轴，但永不相交 （2）过点 （3）由左至右图像上升 （3）由左至右图像下降 函数性质 （1）定义域为，值域为 （2）当时， （3）在上严格增 （3）在上严格减 考点剖析 【难度系数：★★★   参考时间：20 min】 例1. 在下列函数中，是指数函数的有___________. 【答案】①⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 【提示】④定义域为，⑥ 例2. 函数是指数函数，则=___________. 【答案】2 例3. 指数函数①，②满足不等式，则它们的图象是…………(　C　) 例4. 若函数的图像在第一、三、四象限内，则…………………………………(　B　) A. B. C. 且 D. 例5. 比较下列各组数的大小: （1）和； （2）和； （3） 和； （4） 和； （5）和； （6）和. 【答案】（1）>；（2）>；（3）> （4）当时，；当时，； （5）>；（6）< 例6. 已知函数，其中. （1）求，并计算的值； （2）作出该函数的图像，并求函数的值域. 【答案】（1）0，0；（2） 【解析】（1） （2） 因为， 所以， 得此函数的值域为 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数（，且）的图像恒过定点，则点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质求解即可. 【详解】令，则，此时， 所以点坐标是. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 【答案】 【分析】由指数函数的性质可得. 【详解】当时，， 故图像过定点， 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 即函数的值域为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解. 【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减， 所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最小值是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数值域等知识直接计算求解. 【详解】因为，所以， 所以，即函数的值域为. 故答案为： 6．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）若在的图象位于直线的上方，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意转化为恒成立问题求解即可. 【详解】由在的图象位于直线的上方， 则对恒成立， 又因为在单调递减， 所以，即实数a的取值范围是. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数和的图象关于y轴对称，则函数 . 【答案】 【分析】利用两个函数图象关于y轴对称的特征，直接求出函数解析式即得. 【详解】函数和的图象关于y轴对称，所以. 故答案为： 8．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数是指数函数，则实数的值是 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得. 【详解】由函数是指数函数，得，解得， 所以实数的值是2. 故答案为：2 B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高一下·上海·期中）已知a、，，则下列不等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质即可求解ABC，根据指数函数的单调性即可求解D. 【详解】对于A，由于，所以，A正确， 对于B，由，则，故B正确， 对于C，，满足，但，故C不一定成立， 对于D，由于为单调递减函数，所以，则，D正确， 故选：C 10．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分，必要条件的定义，判断条件和结论的关系，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 所以“”不能推出“”， 反过来，若，则，即， 只有时，，当时，， 所以“”不能推出“”. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 11．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分和两种情况，利用函数的单调性进行判断即可． 【详解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数； 又，所以在区间和区间上单调递减， 且当时，，故A和B均错误； 对于C，当时，函数在R上为单调递增函数， 又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确． 故选：D． 12．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，， 作出函数图象如图所示，    令，解得或， 则当，时，取得最大值， 此时. 故选：B 13．（23-24高一上·上海·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性可判断结果. 【详解】选项A：因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故A错误； 选项B： 因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故B错误； 选项C：因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故C错误； 选项D：因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故D正确； 故选：D. 14．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则 . 【答案】1 【分析】 根据指数函数过定点的性质，列出相应方程，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的图象经过定点， 故,解得,故, 故答案为；1 15．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为，则实数的取值范围是 ; 【答案】 【分析】根据题意分类讨论，结合指数函数概念求解即可. 【详解】因为是指数函数，所以或； 当时，在上单调递减，最大值为，最小值为， 则，解得（舍去）或（符合题意）； 当时，在上单调递增，最大值为，最小值为， 则，解得（舍去）或（符合题意）. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 16．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）函数（且）恒过定点 . 【答案】 【分析】令指数，即即可得解. 【详解】当时，，所以函数（且）恒过定点. 故答案为：. 17．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知a是实数，定义在上的函数是奇函数，其中. (1)求a的值； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)函数在上的增函数，证明见解析 【分析】（1）利用，可求出a的值； （2）先判断出函数为增函数，再根据增函数的定义可证明结论. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，解得. 所以， 则， 故满足函数是奇函数. 所以. （2）由（1）知，，所以函数在上的增函数， 证明：任取， 则， 因为，，，， 所以，所以， 所以函数在上的增函数. 18．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，其中. (1)是否存在实数，使函数是奇函数?若存在，请写出证明. (2)当时，判断在上的单调性并证明. 【答案】(1)，证明见解析； (2)单调递增，证明见解析. 【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可． （2）结合单调性的定义即可证明. 【详解】（1）函数定义域为R，若是奇函数， 则，解得， 此时， ，符合题意， 故. （2）是上的增函数，证明如下： 当时， 设任意且， ， ，，， ， 则 ， 是在上是单调增函数. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数，则该函数在上是（    ） A．严格减函数无最小值 B．严格减函数有最小值 C．严格增函数无最大值 D．严格增函数有最大值 【答案】A 【分析】确定在上单调递增，且根据复合函数单调性得到答案. 【详解】在上单调递增，且，在上单调递减， 故在上严格减函数无最小值. 故选：A 20．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用定义判断函数的单调性，设，其中因式  要与比较大小，等价于，判断与的大小即可. 【详解】因为， 所以函数的定义域为， 设， 则， 即， 其中， 因为，， ， ，， 所以，即，得， 同时，指数函数在上单调递增，且，则，即， 所以，即成立， 所以函数在上单调递增，且， 若，只需，解得， 故答案是：. 21．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 . 【答案】0 【分析】考察函数的单调性，根据题中条件可得，继而可得区间关于原点对称，即可得到答案. 【详解】因为函数为上的递增函数， 且， 所以， 由题意， 对任意的，存在唯一的， 使得， 即， 即任意的，存在唯一的， 故区间关于原点对称， 则， 故答案为：0. 22．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，试判断函数的单调性并加以证明；并求在上有解时，实数的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)为减函数，证明见解析； 【分析】（1）先判断函数的奇偶性，再利用定义证明即可. （2）求出参数值得到原函数，再转化为交点问题求解参数范围即可. 【详解】（1）为奇函数 对任意，都有，且该函数的定义域为，显然关于原点对称， 可得. 为奇函数. （2）当时，可得，解得， 此时在上为严格减函数，证明如下： 任取，且，则 ， ，，， 在上为严格减函数，而， 在上的值域为， 要使在上有零点， 此时等价于与在上有交点， 而当时，可得故. 23．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数的图象经过点，. (1)求实数，的值； (2)若不等式的解集记为，求时，函数的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数过点，，把点代入方程，从而可求解. （2）求出集合，然后利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由题知点，在函数上，所以，解得， 故，. （2）由得，则， 解得，即， 因为在上单调递增， 故当时， ， 当时，， 所以的值域为. 24．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数的图像经过，其中且 (1)求实数的值 (2)若，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数即可求得结果； （2）根据指数函数的单调性并结合一元二次不等式的解集公式求得结果. 【详解】（1）将点代入函数解析式，得， . （2）由（1）知函数单调递减， ， ， ，解得或， 则实数的取值范围. 25．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中且，是实数常数. (1)求函数的定义域； (2)是否存在常数b，使函数为奇函数? 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）函数定义域满足，解得答案. （2）假设函数为奇函数，计算，得到答案. 【详解】（1）的定义域满足，即， 故函数定义域为； （2）若函数为奇函数， 则，即. 故存在常数，使为奇函数. 26．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由因式分解得，进而得；再根据指数函数的单调性即可得出答案. （2）先利用换元法将函数转化为，；再利用函数的单调性求解即可. （3）先分离参数，得当时，不等式恒成立；再构造函数，根据对勾函数的单调性求最小值即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，即. 因为， 则. 因为函数在上单调递增，且， 所以. 故不等式的解集为 （2）由，得：函数定义域为. 令 则，. 因为二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，，当时，. 故的值域为. （3）由题意得：当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立. 令，. 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以当时，. 所以，解得： 故当时，不等式恒成立， 的取值范围为. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 27．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设是一个定义域为的函数.若是的一个非空子集，且对于任意的，都有，则称是关联的. (1)判断函数和函数是否是关联的，无需说明理由.（表示不超过的最大整数） (2)若函数是关联的，且在上，，解不等式. (3)已知正实数满足，且函数是关联的，求的解析式. 【答案】(1)函数不是关联的，函数是关联的； (2) (3) 【分析】（1）根据是关联的定义逐个判断可得结果； （2）根据函数是关联的定义求出在上的解析式，将代入可解得结果； （3）根据，得，令，得对任意恒成立，由此推出为常数函数，可得，. 【详解】（1）若满足关联，则需满足恒成立. 对于函数，不恒等于， 故不是关联的； 对于函数，恒成立， 故是关联的. （2）由题意得函数满足恒成立， 当时，，当时，， 所以. 得，或， 解得， 所以不等式的解集为. （3）由题意得对任意，， 则， 即对任意，，其中. 任取，则， ， 又对任意，，一定存在正整数使得， 此时， 因此存在实常数，使得，所以. 【点睛】关键点点睛：第（3）问中，根据，推出，再换元得，据此推出函数为常数函数是解题关键. 28．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知函数 (1)求证：用单调性定义证明函数是上的严格减函数； (2)已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 【答案】(1)见解析； (2)存在，为； (3)2. 【分析】(1)先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； 假设函数的图像存在对称中心， (2)结合函数的对称性及恒成立问题可建立关于，的方程，进而可求，； (3)由已知代入整理可得，的关系，然后结合恒成立可求的范围，进而可求． 【详解】（1）设，则， ∴， ∴函数是上的严格减函数； （2）假设函数的图像存在对称中心， 则恒成立， 整理得恒成立， ∴， 解得，， 故函数的对称中心为； （3）∵对任意,，都存在,及实数，使得， ∴， 即， ∴， ∴， ∵,，∴,， ∵,，∴,,， ∴，即， ∴， ∴，即的最大值为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$