3.2 勾股定理逆定理(讲义，2大知识6大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理逆定理核心知识点，系统梳理从边长数量关系判定直角三角形的原理，明确与勾股定理的互逆逻辑，构建勾股数识别、三角形形状判断的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料通过分层题型设计，结合村庄修路、网格图形等实际场景，培养学生用数学眼光观察现实问题的能力。典例与变式训练强化推理意识，助力教师课堂教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第三章 勾股定理 3.2 勾股定理逆定理 课标要点 1.由边长数量关系判定直角三角形，掌握逆定理内容，区分勾股定理与逆定理。 2.识别勾股数，能利用三边长度判断三角形形状。 3.结合实际场景用三边关系判定直角，检验结果合理性 学习重难点 重点： 1.勾股定理逆定理的内容与规范表达。 2.已知三边长，判断三角形是否为直角三角形。 3.常见勾股数的识记与简单运用。 难点： 1.找准最长边验证平方关系，避免判定出错。 2.区分勾股定理（直角→边长）与逆定理（边长→直角）的互推逻辑。 3.综合几何题中借助边长条件证明垂直、直角。 知识点一 勾股定理逆定理 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）已知三条线段判断能否构成直角三角形的方法：只需验证较短的两条线段长的平方和是否等于最长线段长的平方，若相等，则此三条线段能构成直角三角形；否则，不能构成直角三角形，不必一一验证. 易错提醒 机械应用勾股定理的逆定理而致错. 教材延伸 勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较小边的平方和与较长边的平方作比较， ①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形；②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知a、b、c是的三边长，满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B；根据三角形的内角和为180度，求出最大的那个内角的度数即可判断C、D． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴可设，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴可设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题关键．根据勾股定理，先计算的长，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形， 最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：观察图形可知，，，， ， ，， ， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 知识点二 勾股数 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 【补充】一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么ma，mb，mc（m为正整数）也是一组勾股数. 判断方法：1）确定三个正整数a，b，c； 2）确定最大数c； 3）判断较小两数的平方和是否等于 易错提醒 以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但直角三角形的三条边的长度不一定是勾股数，如1，2，不是勾股数. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 2．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）有下列各组数：①；②；③；④，其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义（正整数且满足两数平方和等于第三数平方）；解题关键是依据勾股数的定义逐一判断各组数是否符合． 勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，需逐一验证各组是否均为正整数且满足即可． 【详解】∵勾股数需为正整数，且满足， 对于①：均为正整数，且，∴是勾股数， 对于②：均为正整数，且，∴是勾股数， 对于③：均不是整数，∴不是勾股数， 对于④：中和不是整数，∴不是勾股数． ∴勾股数有2组． 故选B． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论． 【详解】解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数， 第二个数， 第三个数， 故答案为：． 题型01 勾股数的识别 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数：两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：①：∵， ∴①是勾股数． ②：∵，，， ∴②不是勾股数． ③：∵，，∴， ∴③是勾股数． 综上，是勾股数的有①和③． 故选C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【答案】37 【分析】本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答． 【详解】解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 【答案】(1)11，60，61 (2)和 【分析】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． （1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【详解】（1）解：∵， ∴下一组勾股数为：11、60、61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵， ， ∴， 又∵，且为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：和． 题型02 判断三边能否构成直角三角形 解题贴士 1）先确定最长边，算出最长边的平方； 2）再计算另两边的平方和； 3）判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形. 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 【答案】A 【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， A、∵ ∴长为的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形； B、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； C、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． D、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知三条线段的长分别为，，，下列条件中，不能判定它们能构成直角三角形的是（ ） A． B． C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形三边关系，利用勾股定理的逆定理及三角形三边关系逐项判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵ 三角形任意两边之和必须大于第三边，， ∴不满足三角形三边关系， ∴ 不能构成三角形，更不能判断为直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴设，， ， ∴， ∴是直角三角形，该选项不符合题意； 、∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，该选项不符合题意； 、∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，该选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·湖南·期末）阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为_____． 【答案】 锐角 或 【分析】（1）先确定最长边，计算最长边的平方与另外两边平方和的大小，根据材料中的规则判断三角形形状； （2）分 “是最长边” 和 “ 是最长边” 两种情况，利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：（1）由， 可知， ∴该三角形是锐角三角形； 故答案为：锐角； （2）∵三边长分别为，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查三角形形状的判断（勾股定理的拓展），涉及的知识点是勾股定理、三角形三边关系．解题中用到的方法是分类讨论法（第二问需考虑最长边的不同情况）．解题关键是准确确定最长边，避免漏解（第二问易忽略 “ 是最长边” 的情况）．易错点是第二问漏算其中一种情况，导致答案不完整． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的三边a，b，c满足，则的面积为________． 【答案】54 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理及绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性求得，，，然后根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 的面积为． 故答案为：54． 题型03 网格中判断直角三角形 解题贴士 根据勾股定理求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是否是直角三角形 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 2．（21-22八年级下·宁夏吴忠·期中）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长交格点于，连接，由网格可知，，则可证明为等腰直角三角形，则，最后通过三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交格点于，连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图在的网格中， _____ 【答案】45 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线． 连接，证明得，根据平行线的性质得出，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据即可求出结果． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：45． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 题型04 利用勾股定理逆定理求解 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知四边形中，，则这块图形的面积为（   ） A．96 B．78 C．108 D．120 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，连接，根据勾股定理得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以判断出的形状，然后根据即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积． 即这块四边形空地的面积是96． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在中，，，上的中线，则________． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线段垂直平分线的性质是关键．先根据勾股定理的逆定理，证明，再根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：是上的中线， ， ， 是直角三角形，， ， ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：17． 3．（2026九年级·河北·专题练习）如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为_______ ． 【答案】24 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 题型05 勾股定理逆定理的实际问题 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 【答案】72000 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是______． 【答案】114 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 故答案为：114． 2．（21-22八年级上·四川甘孜·期末）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）车库门前有一块四边形绿化地，如图1，现测得绿化地四边长分别为米，米，米，且为直角． (1)求的度数； (2)因为种植需要，现将绿化地分成两块分别种植太阳花和小菊花，如图2，线段刚好把绿化地分成了面积相等的两部分，则长几米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，先在中由勾股定理求解，然后由勾股定理逆定理证明，根据为等腰直角三角形得到，即可求解的度数； （2）先求出四边形的面积，然后对运用面积公式求解，最后再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地进行改造，经测量，，米，米，米，米，连接． (1)求的长度； (2)若在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用． 【答案】(1)的长度为25米； (2)该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）得，米，利用勾股定理的逆定理证出，利用三角形的面积公式计算出四边形的面积，结合运动型塑胶地板每平方米200元，即可求解． 【详解】（1）解：，米，米， 由勾股定理得：（米）， 答：的长度为25米； （2）解：，， ， 是直角三角形． （平方米） 则（元） 答：该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 题型06 勾股定理逆定理的拓展问题 典｜例｜精｜析 例6．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2)“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，证明见解析 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 3．（2020·贵州安顺·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】（1）如图① （2）如图② （3）如图③ 【分析】（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可； （3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可； 【详解】略 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式和构造直角三角形是解题的关键． 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C．7，24，25 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理． 根据勾股定理逆定理，逐一验证是否满足两边平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：选项A：，，，能组成直角三角形； 选项B：，，，能组成直角三角形； 选项C：，，，能组成直角三角形； 选项D：，，，不能组成直角三角形； 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； C、∵， ∴设，则， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； D、∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，此项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括三角形内角和定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握判定直角三角形的方法． 通过分析每个选项是否满足直角三角形条件，找出不能判断的选项． 【详解】解：∵ 在中，，且， ∴，即，， ∴是直角三角形，故A能判断，不符合题意； ∵，设， 则， ∴ 不满足勾股定理逆定理，故B不能判断，符合题意； ∵，设， 则， ∴ 满足勾股定理逆定理，故C能判断，不符合题意； ∵，，， 则， ∴，满足勾股定理逆定理，故D能判断，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期中）在中，D是边上的一点．若，则是（   ） A．的角平分线 B．边上的高线 C．边上的中线 D．边上的垂直平分线 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．由等式变形得，根据勾股定理逆定理，可知为直角三角形，且，从而，即是边上的高线． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是边上的高线． 故选：B． 6．（25-26八年级上·全国·期中）若的三边长为，，，满足，则的形状是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握两个数的积为0，则至少有一个数是0．因为a，b，c为三边，根据，可找到这三边的数量关系，判断形状． 【详解】解： ， 或， 当成立时，是等腰三角形， 当时，是直角三角形， 故选：D． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 8．（2025·四川南充·二模）在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（      ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】该题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理和勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 【答案】3.5 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理得到，求出，然后由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理即可求出的长，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.5． 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个三角形三边长为、、，则三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用三角形面积公式求解．解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴该三角形是直角三角形，且直角边长为和， ∴三角形的面积为：． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，点是内一点，且，若是等腰三角形，，，，则的度数为________． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·山西大同·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用；先计算，，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： 素养提升 1．（江苏省南京市鼓楼实验中学2025-2026学年八年级上学期期末数学练习试卷）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，， 由格点三角形得， ， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， . 2．（江苏省无锡市宜兴市东氿中学2025-2026学年上学期八年级数学第二次月考试题）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 3．（江苏省常州外国语学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷）已知，，是的三条边长，记，其中为正整数．下列结论正确的有（   ） ①若为等边三角形，则； ②若，，则为直角三角形； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理逆定理，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 结论①根据等边三角形性质直接计算；结论②利用勾股定理逆定理判断；结论③通过设参数n并解不等式，结合三角形三边关系确定n的取值范围，验证个数是否为7即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵为正整数； ∴；故①正确； 当，时，则：， ∴， ∴， ∴为直角三角形；故②正确； 当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故正确的只有①②； 故选A． 4．（江苏省连云港市灌南县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则_________°． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理与网格，勾股逆定理，得出是直角三角形，且，再结合网格特征，证明，则，故，则，即可作答． 【详解】解：连接， 依题意，，， ∵， ∵是直角三角形，且， ∵， ∴， 则， 结合网格特征，得， 则， ∴， 故答案为：． 5．（江苏省无锡市2025-2026学年苏科版八年级上学期第一次月考数学模拟试卷范围：《三角形》）如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是__________． 【答案】/150度 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的判定与性质等知识，利用旋转作辅助线构造出直角三角形和等边三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转得到，连接，根据旋转的性质可得，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，，然后求出，即可得解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， 是直角三角形，， ， ， 故答案为：． 6．（四川省成都市铁路中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷）如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，将绕点旋转得到，过点作于点，可证是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，求得的长，利用三角形的面积公式求解即可，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键． 【详解】解：将绕点旋转，根据等边三角形中，故可得到，过点作于点， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，由边长均为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，依次连接点A，B，C，得到．用两种不同的方法证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、全等三角形的判定与性质，方法一：取格点、，由网格特点可得，，，再证明，得出，求出，即可得证；方法二：由勾股定理逆定理即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：方法一：如图，取格点、， ， 由网格特点可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 方法二：由勾股定理可得：，，, ∴， ∴为直角三角形， ∴． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)点与点间的距离， (2)350元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 勾股定理 3.2 勾股定理逆定理 课标要点 1.由边长数量关系判定直角三角形，掌握逆定理内容，区分勾股定理与逆定理。 2.识别勾股数，能利用三边长度判断三角形形状。 3.结合实际场景用三边关系判定直角，检验结果合理性 学习重难点 重点： 1.勾股定理逆定理的内容与规范表达。 2.已知三边长，判断三角形是否为直角三角形。 3.常见勾股数的识记与简单运用。 难点： 1.找准最长边验证平方关系，避免判定出错。 2.区分勾股定理（直角→边长）与逆定理（边长→直角）的互推逻辑。 3.综合几何题中借助边长条件证明垂直、直角。 知识点一 勾股定理逆定理 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）已知三条线段判断能否构成直角三角形的方法：只需验证较短的两条线段长的平方和是否等于最长线段长的平方，若相等，则此三条线段能构成直角三角形；否则，不能构成直角三角形，不必一一验证. 易错提醒 机械应用勾股定理的逆定理而致错. 教材延伸 勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较小边的平方和与较长边的平方作比较， ①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形；②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知a、b、c是的三边长，满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为______． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的面积是________． 知识点二 勾股数 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个__________，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是_____________； 2）两个较小数的平方和__________最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，_____；2）6，_______，10；3）________，12，13等. 【补充】一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么ma，mb，mc（m为正整数）也是一组勾股数. 判断方法：1）确定三个正整数a，b，c； 2）确定最大数c； 3）判断较小两数的平方和是否等于 易错提醒 以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但直角三角形的三条边的长度不一定是勾股数，如1，2，不是勾股数. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）有下列各组数：①；②；③；④，其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为_____． 题型01 勾股数的识别 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 题型02 判断三边能否构成直角三角形 解题贴士 1）先确定最长边，算出最长边的平方； 2）再计算另两边的平方和； 3）判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形. 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知三条线段的长分别为，，，下列条件中，不能判定它们能构成直角三角形的是（ ） A． B． C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·湖南·期末）阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为_____． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的三边a，b，c满足，则的面积为________． 题型03 网格中判断直角三角形 解题贴士 根据勾股定理求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是否是直角三角形 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·宁夏吴忠·期中）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图在的网格中， _____ 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 题型04 利用勾股定理逆定理求解 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知四边形中，，则这块图形的面积为（   ） A．96 B．78 C．108 D．120 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在中，，，上的中线，则________． 3．（2026九年级·河北·专题练习）如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为_______ ． 题型05 勾股定理逆定理的实际问题 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是______． 2．（21-22八年级上·四川甘孜·期末）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）车库门前有一块四边形绿化地，如图1，现测得绿化地四边长分别为米，米，米，且为直角． (1)求的度数； (2)因为种植需要，现将绿化地分成两块分别种植太阳花和小菊花，如图2，线段刚好把绿化地分成了面积相等的两部分，则长几米？ 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地进行改造，经测量，，米，米，米，米，连接． (1)求的长度； (2)若在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用． 题型06 勾股定理逆定理的拓展问题 典｜例｜精｜析 例6．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 3．（2020·贵州安顺·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C．7，24，25 D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（   ） A． B． C． D．，， 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A．B．C． D． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期中）在中，D是边上的一点．若，则是（   ） A．的角平分线 B．边上的高线 C．边上的中线 D．边上的垂直平分线 6．（25-26八年级上·全国·期中）若的三边长为，，，满足，则的形状是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 8．（2025·四川南充·二模）在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（      ） A． B． C． D．不确定 9．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个三角形三边长为、、，则三角形的面积为______． 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，点是内一点，且，若是等腰三角形，，，，则的度数为________． 12．（24-25八年级下·山西大同·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是_____． 素养提升 1．（江苏省南京市鼓楼实验中学2025-2026学年八年级上学期期末数学练习试卷）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 2．（江苏省无锡市宜兴市东氿中学2025-2026学年上学期八年级数学第二次月考试题）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 3．（江苏省常州外国语学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷）已知，，是的三条边长，记，其中为正整数．下列结论正确的有（   ） ①若为等边三角形，则； ②若，，则为直角三角形； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（江苏省连云港市灌南县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则_________°． 5．（江苏省无锡市2025-2026学年苏科版八年级上学期第一次月考数学模拟试卷范围：《三角形》）如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是__________． 6．（四川省成都市铁路中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷）如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则______． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，由边长均为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，依次连接点A，B，C，得到．用两种不同的方法证明． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $