第03讲 勾股定理的简单应用（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第03讲 勾股定理的简单应用 知识点1：勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 【题型1勾股定理与折叠问题】 【典例1】如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    【变式1】如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 【变式2】如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 【变式3】如图，小明同学将一个直角三角形的纸片折叠，与重合，折痕为，若已知，，你能求出的长吗？ 【题型2求梯子滑落高度(勾股定理的应用)】 【典例2】如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 【变式1】如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 【变式2】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动的距离为，求物体C上升的高度． 【变式3】消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【题型3解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)】 【典例3】如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 【变式1】我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 【变式2】如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 【题型4解决航海问题(勾股定理的应用)】 【典例4】一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【变式1】一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的距离是，岛在港的什么方向？ 【变式2】小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【变式3】如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 【题型5求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)】 【典例5】树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【变式1】如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（    ）    A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米 【变式2】如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【变式3】某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【题型6判断汽车是否超速(勾股定理的应用)】 【典例6】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【变式1】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【变式2】某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【变式3】《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【题型7判断是否受台风影响(勾股定理的应用)】 【典例7】如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【变式1】台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式2】如图，A城气象台测得台风中心在城正西的B处，并以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围是受台风影响的区域． (1)A城是否会受到这次台风影响？为什么？ (2)若A城受到这次台风影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？ 【变式3】号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【题型8选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)】 【典例8】如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 【变式1】如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？ 【变式2】如图，一条笔直的马路边有A，B两个公交站台相距25km，C，D为两所学校，且，，垂足分别为A，B．已知，现在要在公路边建一图书馆H，使得C，D两所学校到图书馆H的距离相等，且．图书馆H应建在距离公交站A多远处？学校C到这条公路的距离是多少千米？ 【变式3】在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【题型9求最短路径(勾股定理的应用)】 【典例9】如图，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，在玻璃杯外壁距杯口的点处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的底部处有一滴蜂蜜，蚂蚁爬入去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长． 【变式1】如图，有一圆柱，其高为9，它的底面周长为10，蚂蚁从圆柱外部表面点A爬到圆柱内部点B处，其中B离上沿为3，则蚂蚁经过的最短路程为（    ） A．13 B． C． D．16 【变式2】如图，长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有多种走法，则最短路程是（    ）． A．25 B．20 C．24 D．28 【变式3】如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上的点处，为折痕，则的长为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ． 8．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，原来从A村到B村，需要沿路绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，那么打通隧道后从A村到B村比原来少走的路程为 ． 9．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 10．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 11．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． (1)求边的长； (2)求空地的面积． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，把长方形折叠，使点C与点A重合，折痕为．若，求的长． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 14．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等， (1)E站应建在距A点多少千米处？ (2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 勾股定理的简单应用 知识点1：勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 【题型1勾股定理与折叠问题】 【典例1】如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解∶∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 【变式1】如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． 【详解】（1）解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． （2）解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 【变式2】如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，由题意得，，，由折叠性质可知，，， 通过勾股定理得，所以，设，则，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是长方形， ∴，，， 由折叠性质可知，，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 【变式3】如图，小明同学将一个直角三角形的纸片折叠，与重合，折痕为，若已知，，你能求出的长吗？ 【答案】能， 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由勾股定理可得，由折叠的性质得，，，即得，设，则，在中，利用勾股定理求出即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：能； ∵是直角三角形，，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【题型2求梯子滑落高度(勾股定理的应用)】 【典例2】如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 【答案】(1)梯子的顶端A距地面 (2)梯子的底端B在水平方向上滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：． 答：梯子的顶端A距地面． （2）解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 【变式1】如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端A距地面有远 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这个梯子的顶端A距地面有远； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 【变式2】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动的距离为，求物体C上升的高度． 【答案】(1)物体C到定滑轮A的垂直距离的长 (2)物体C上升的高度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理得，即，解方程即可得出答案； （2）利用勾股定理得，求出、，进而可得答案． 【详解】（1）解：由已知得，， ，即， ， 所以物体C到定滑轮A的垂直距离的长； （2）解：如图， 由题意得，，， ， ， ． 所以物体C上升的高度为． 【变式3】消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【题型3解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)】 【典例3】如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 【答案】8尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则尺，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设为x尺． ∵尺， ∴（尺）． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 答: 水深8尺． 【变式1】我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 【答案】水深为尺，芦苇的长是尺． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据勾股定理列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设水深为x尺，由题意可得， . 解得， 答：水深为尺，芦苇的长是尺． 【变式2】如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的性质，勾股定理的实际应用，解题关键是掌握勾股定理． 根据图形分析出最长、最短时的位置，分别求出的长，从而可得出的取值范围． 【详解】解：当吸管与圆柱母线平行时，最长， 此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是， 故选：B． 【变式3】如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理的应用，在中和中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，因为， 所以． 在中， 因为， 所以， 所以． 【题型4解决航海问题(勾股定理的应用)】 【典例4】一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 【变式1】一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的距离是，岛在港的什么方向？ 【答案】岛在港的北偏西． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，由题意得，，，，，，则，由勾股定理得，所以，由勾股定理的逆定理推知，然后由方向角的定义作答即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西． 【变式2】小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)不会 (2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【变式3】如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)轮船继续向正东方向航行是安全的 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等角对等边，30度角的性质，勾股定理的应用． （1）作于H，可知，根据平行线的性质得到，，即可求出的度数； （2）根据等角对等边得到海里，根据30度角的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：作于H， 则， ∴，， ∴； （2）∵一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处， ∴海里， ∵， ∴海里， ∵，， ∴海里， ∴， ∴轮船继续向正东方向航行是安全的． 【题型5求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)】 【典例5】树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【变式1】如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（    ）    A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，与实际生活相联系，熟练掌握勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度米， 地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是米． 故选B． 【变式2】如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 【变式3】某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【题型6判断汽车是否超速(勾股定理的应用)】 【典例6】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【变式1】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【答案】大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，在中，根据勾股定理求出的长，然后再求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】解：由题意可知，，， ， 大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 【变式2】某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1)的长为 (2)超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）根据勾股定理即可解答； （2）求出汽车的速度即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这里汽车超速了． 【变式3】《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 【题型7判断是否受台风影响(勾股定理的应用)】 【典例7】如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1) (2)会造成噪声污染，污染的时间为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）在上取不同的两点E、F，连接，使得，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于D，如图所示， 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图所示，在上取不同的两点E、F，连接，使得． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【变式1】台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)会受到影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响。 （2）解：如图，以为圆心，为半径画圆，交于， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为30千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【变式2】如图，A城气象台测得台风中心在城正西的B处，并以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围是受台风影响的区域． (1)A城是否会受到这次台风影响？为什么？ (2)若A城受到这次台风影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)会受到这次台风影响，见解析 (2)30小时 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点到直线的距离. （1）过A点向作垂线，垂足为C，根据直角三角形的性质可得的长，即可求解； （2）取上点D，G，使，根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：过A点向作垂线，垂足为C， 在中，， ∴， 因为， 所以A城会受到这次台风影响； （2）解：取上点D，G，使千米， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，千米，千米， 由勾股定理得， 千米， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：小时． 【变式3】号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，又， ， 是直角三角形，， 过点作于， ，即， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图，当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【题型8选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)】 【典例8】如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图-应用设计作图，勾股定理，轴对称-最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程求出x的值即可求解； （2）作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站E应建在离A点处； （2）解：如图，作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点F， 则， 即最短距离为． 【变式1】如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？ 【答案】30千米 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据和求x的值是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴和都是直角三角形， ∴，， 又∵，，， ∴， 解得． 答：信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方． 【变式2】如图，一条笔直的马路边有A，B两个公交站台相距25km，C，D为两所学校，且，，垂足分别为A，B．已知，现在要在公路边建一图书馆H，使得C，D两所学校到图书馆H的距离相等，且．图书馆H应建在距离公交站A多远处？学校C到这条公路的距离是多少千米？ 【答案】应建在距离站10km处，学校到公路的距离是10km． 【分析】本题考查全等三角形的知识，熟练掌握是解决本题的关键． 根据垂直的性质和等量代换证明，由全等三角形的判定和性质，得到即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中， ∴， ∴15km，． ∵两站相距25km， ∴=25km， ∴km， ∴学校到公路的距离是10km． 答：应建在距离站10km处，学校到这条公路的距离是10km． 【变式3】在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【答案】新路比原路少千米，比原路少千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得（千米），设千米，则千米，然后通过勾股定理求出千米，最后代入求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴（千米）， 设千米，则千米， ∵， ∴， 解得：， ∴千米， ∴新路比原路少（千米），比原路少（千米）， 答：新路比原路少千米，比原路少千米． 【题型9求最短路径(勾股定理的应用)】 【典例9】如图，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，在玻璃杯外壁距杯口的点处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的底部处有一滴蜂蜜，蚂蚁爬入去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决本题的关键是将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算．作点关于的对称点，可得、，利用勾股定理计算出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点， ， ， 圆柱形玻璃杯底面周长为，高为， ，， ， ， 答：蚂蚁爬行的最短路径长是． 【变式1】如图，有一圆柱，其高为9，它的底面周长为10，蚂蚁从圆柱外部表面点A爬到圆柱内部点B处，其中B离上沿为3，则蚂蚁经过的最短路程为（    ） A．13 B． C． D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，在中，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面沿过A点的一条竖线展开， 连接，则线段的长即为蚂蚁经过的最短路程， 由题意得，，， 在中，由勾股定理得， ∴蚂蚁经过的最短路程为， 故选：B． 【变式2】如图，长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有多种走法，则最短路程是（    ）． A．25 B．20 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，长方体表面展开图，分类讨论是解答本题的关键． 先将长方体的表面展开，再根据两点之间线段最短的性质连接，结合勾股定理计算比较即得，即可． 【详解】解：如图，连接， 当小虫从处爬到处经过侧面时， 由于底面是正方形， ∴4个侧面相同． ∴经过前面和右面与经过左面和后面最短路径相等． 只计算经过前面和右面最短路径，如图1． ∵点C是中点，， ∴． ∵底面宽为8， ∴． ∵， ∴． 当小虫经过底面和侧面时，如图2， ， ∴． ∵， ∴最短路程是． 故选：B．    【变式3】如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， 即从仓库到社区配送点的最短路径为， 故选：B． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，直接利用勾股定理求出的长． 【详解】解：． 故选C． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上的点处，为折痕，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，先运算得，再结合折叠的性质得，，最后运用勾股定理得，算出，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴在中， ∵将折叠，使点恰好落在边上的点处，为折痕， ∴， 即，， 则 在中， 即， 解得， 故选：B 5．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，以及勾股定理的应用．首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即可解得． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， 圆柱的底面周长为， ． ，， ， 在中，， ， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是． 故选：B． 6．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ． 【答案】12 米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， ∴， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 8．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，原来从A村到B村，需要沿路绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，那么打通隧道后从A村到B村比原来少走的路程为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再和以前的路程作比较即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∴打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为， 9．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 【答案】18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 10．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：在中，， 在中， ∴米 故答案为：． 11．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． (1)求边的长； (2)求空地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； （2）如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，把长方形折叠，使点C与点A重合，折痕为．若，求的长． 【答案】3 【分析】设，由折叠性质可知，用x表示出，在中，由勾股定理可得到关于x的方程，求解即可．本题考查了折叠变换的性质，勾股定理等知识，主要利用了翻折前后对应线段相等，关键在于利用勾股定理列出方程. 【详解】解：设，则． 由折叠的性质，得． ∵四边形为长方形，∴． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故的长为3． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】的长为厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 在中，先利用勾股定理求出，再结合题意求出，然后在中利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解： ， ∴在中，； ∵，， ∴在中，， ． 14．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等， (1)E站应建在距A点多少千米处？ (2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）． 【答案】(1)E站应建在距A点5千米处 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设，则，根据勾股定理和可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）可得，证明，得到，则可证明，由勾股定理得，则由勾股定理得． 【详解】（1）解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C，D两村到E站的距离相等， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：E站应建在距A点5千米处； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：两个村庄之间的直线距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $