1.1 三角形的线段和角（讲义，2大知识15大题型+刷好题）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦三角形的线段和角核心知识点，系统梳理三角形三边关系（判定、取值范围、绝对值化简）及高、中线、角平分线的概念、作图与性质，通过即学即练与分题型（构成条件、取值范围等）构建从基础到应用的学习支架。 该资料紧扣课标突出重难点，以特别提醒、易错提醒强化理解，典例精析与变式巩固培养推理与分类讨论等数学思维，结合人字梯等实际问题发展数学眼光，分层练习助力课中教学与课后查漏补缺。

第一章 三角形 1.1 三角形的线段和角 课标要点 1.掌握三角形三边关系定理，会判断三条线段能否构成三角形，能根据边长取值范围求解参数，利用三边关系化简含绝对值的代数式。 2.认识三角形的高、中线、角平分线三种重要线段，能准确画出三类线段，理解中线平分面积、三条线段各自交于一点的性质。 学习重难点 重点： 1.三角形三边关系的判定与简单计算。 2.三角形高、中线、角平分线的概念与作图。 难点： 1.利用三边关系求边长取值范围、化简绝对值代数式。 2.钝角三角形三条高的画法，区分不同三角形高的位置差异。 3.结合几何图形隐藏等量关系，利用三角形边角性质解决几何问题。 知识点一 三角形的边角关系 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和________第三边，三角形的任意两边之差________第三边. 三角形的三边关系：大边对大角，大角对大边. 特别提醒 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 易错提醒 所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 教材延伸 三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据，也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的两边长为4和9，则第三边长不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）下列长度的三条线段，首尾相接能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，8 D．5，12，13 3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知三角形的三边长分别为2、5、x，若x为正整数，则x的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点二 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=______ ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=___ S△ABD=____=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=_______ 特别提醒 1）一个三角形有三条高，它们都是线段，它们的位置由三角形的形状来决定（见思维导图）； 2）三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形.三角形的三条中线三角形分成6个面积相等的三角形. 教材延伸 ①三角形的高→90°的角； ②三角形的中线将一个大三角形分成两个面积相等的小三角形(等底同高)；三角形的中线延长1倍，容易构造平行四边形(倍长中线模型). ③三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 即学即练 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 2．（20-21八年级上·山东德州·期中）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，是的中线，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）三角形的角平分线、中线、高都是（   ） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 题型01 构成三角形的条件 解题贴士 三角形任意两边之和大于第三边是构成三角形的重要依据.任意给定三条线段，并不能保证可以构成三角形，必须用三角形三边的关系去验证. 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，3，6 D．2，3，7 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）等腰三角形的三条边分别为2，4，x，则第三边长x的值是__________． 2．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中______能摆成三角形（只填序号即可）． 题型02 确定第三边的取值范围 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如果一个三角形的两边长为3和6，那么第三边的长有可能是（   ） A．3 B．7 C．9 D．10 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·福建莆田·期中）现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若三角形的三边长为整数，且，，那么边c的最大值为_______． 题型03 三角形三边关系的实际应用 解题贴士 涉及图形边长不等关系的证明，或者边长的取值范围，可以考虑采用三角形的三边关系，在图形中找三角形或将图形分割成三角形再进行转化. 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人都正确 D．两人都错误 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）轩轩在做贺卡时需要用细绳围成一个等腰三角形（重叠部分不计），这个等腰三角形的两条边长分别是和，则需要细绳____． 4．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ）． A．2 B．3或4 C．4或5 D．6 题型04 根据三角形的三边关系进行化简 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·辽宁营口·阶段检测）已知是三角形的三边，化简______． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）已知是的三条边长，化简：__________． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知a，b，c是一个三角形的三边长． (1)若，则的取值范围是___________． (2)化简：． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，，且为奇数． ①求的值； ②试判断的形状． 题型05 应用三角形三边关系解决线段的和差比较问题 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，点D在边上，下面两个问题中请你选择一个加以证明(写出推理过程)． (1)求证：； (2)若， 试比较与的大小． 解：我选择的是 (填序号) 证明： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图①，P为内一点，连接， (1)证明：； (2)如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 题型06 三角形的边和角之间的关系 典｜例｜精｜析 例6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，为△内任意一点，求证： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 3．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 题型07 三角形高、中线、角平分线的概念辨析 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，将三角形纸片按下列方式折叠，所得为中线的是（    ） A．B．C．D． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，D，E分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）．    A．的对边 B．是的中线 C． D．是的中线 4．（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 题型08 与三角形高有关的计算问题 解题贴士 高与面积有关:①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.②高相等，面积之比等于底边之比. 典｜例｜精｜析 例8．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（    ） A． B． C． D．6 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级上·云南红河·期末）在中，，，，，是边上的高，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是_______． 题型09 等面积法的应用 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等腰三角形，，，边上的高＝______．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段检测）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 题型10 根据三角形中线求长度 解题贴士 典｜例｜精｜析 例10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则___________． 3．（22-23八年级上·广东广州·阶段检测）在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______． 题型11 根据三角形的中线求面积 解题贴士 三角形的一条中线把原来的三角形分成两个同地等高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题. 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到，…按此规律，倍长n次后得到的的面积为__________． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为______平方厘米． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 题型12 根据三角形角平分线的定义求角的度数 典｜例｜精｜析 例12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，是的角平分线，于点D，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 2．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，在如图，在中，，，平分，交于，，则_____．    3．（21-22七年级下·北京·期末）如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则_____°． 题型13 分类讨论思想在高线问题中的应用 典｜例｜精｜析 例13．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是____． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，分别是中边上的高和中线，，，，则的面积为___________． 题型14 画图问题 解题贴士 画三角形的高的方法： 1）画哪条边上的高，垂足就在哪条边所在的直线上. 2）判断画出的高是否正确时，先看所画线段两端点是不是要求的顶点及其对边(或其延长线)上的点，再看线段是否垂直于要求的边. 典｜例｜精｜析 例14．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出的边上的高以及上的中线； (2)直接写出的面积为________； (3)在图2中作图，在上找一点P使点P到和的距离相等，并在射线上找一点Q使． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）尺规作图：如图，画出的角平分线和高．（不写过程，保留必要的作图痕迹） 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 题型15 三角形高、中线、角平分线综合 典｜例｜精｜析 例15．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 变｜式｜巩｜固 1．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为80，，求的长； (2)若，，求的大小． 2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 3．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是的角平分线，是的边上的中线． (1)若的周长为26，，求的长； (2)若的面积为12，，求的面积． 基础通关 1．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）下面哪组中的三条线段不可以围成一个三角形(   ) A．厘米  厘米  厘米 B．厘米  厘米  厘米 C．厘米  厘米  厘米 D．厘米  厘米  厘米 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列选项中能解释的是（    ） A．B．C． D． 3．（22-23七年级下·河南新乡·期末）数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是中线的是（    ） A．沿折叠，点C落在BC边上的点E处 B．沿折叠，点C落在AB边上的点E处 C．沿折叠，使点C与点B重合 D．沿折叠，点C落在三角形外的点E处 4．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图， 在中，，E 是中点，平分交于点 G，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．是的中线 D．是的高 5．（25-26八年级上·天津·期中）如图，点F是的重心，与的延长线分别交于D，E，连接，若的面积为10，则的面积为（   ） A．1 B． C． D．5 6．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 8．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 9．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）已知，，为的三边长，且，满足，是偶数，若按边分，则为_______三角形． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 素养提升 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）三根长度相等的铁丝分别各围成一幅平面图形（均无剩余），如图，其中，，则正确结论是（   ） A． B． C． D． 2．（浙江省金华市东阳市五校联考2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷）如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A．四边形面积不变 B．的值不变 C．的值有最小值 D．的值不变 4．（江西省南昌市进贤二初教育集团2025--2026学年上学期八年级阶段性自主训练（数学）试卷）如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______． 5．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______． 7．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）的三边、、长分别为、、，其三条角平分线相交于点，则_______． 迁移创新 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 2．（25-26八年级上·广东东莞·期末）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？    问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：_____（填＞、＜或＝）； （2）如图3，点O为的重心，若面积为a，求的面积；并求出的值． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，结合（2）的结论，四边形的面积为______． 探究2 莞莞向初初提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？初初在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①如图5，四边形有重心，在其对角线的交点处；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心所连的直线上． （4）请在图6中画出该图形重心所在的直线．（仅用直尺作图，保留作图痕迹）    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 1.1 三角形的线段和角 课标要点 1.掌握三角形三边关系定理，会判断三条线段能否构成三角形，能根据边长取值范围求解参数，利用三边关系化简含绝对值的代数式。 2.认识三角形的高、中线、角平分线三种重要线段，能准确画出三类线段，理解中线平分面积、三条线段各自交于一点的性质。 学习重难点 重点： 1.三角形三边关系的判定与简单计算。 2.三角形高、中线、角平分线的概念与作图。 难点： 1.利用三边关系求边长取值范围、化简绝对值代数式。 2.钝角三角形三条高的画法，区分不同三角形高的位置差异。 3.结合几何图形隐藏等量关系，利用三角形边角性质解决几何问题。 知识点一 三角形的边角关系 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边. 三角形的三边关系：大边对大角，大角对大边. 特别提醒 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 易错提醒 所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 教材延伸 三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据，也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的两边长为4和9，则第三边长不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，再判断选项中哪个值不在该范围内即可． 【详解】解：设第三边长为 ∵三角形两边长为4和9 ∴根据三角形三边关系，得 即 ∵选项中只有5不在这个范围内 ∴第三边长不可能是5， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）下列长度的三条线段，首尾相接能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，8 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 先判断三条线段能否构成三角形，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，无法构成三角形，故选项A不符合题意； B、，，，不是直角三角形，故选项B不符合题意； C、，，，不是直角三角形，故选项C不符合题意； D、，，，且，能构成直角三角形，故选项D符合题意． 故选D． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知三角形的三边长分别为2、5、x，若x为正整数，则x的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系定理，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式求解x的范围，再取正整数解． 【详解】解：∵三角形的三边长为2、5、x， ∴由三角形三边关系定理，得：， 即， ∵x为正整数， ∴x可取4、5、6，共3个值， 故选：B． 知识点二 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 特别提醒 1）一个三角形有三条高，它们都是线段，它们的位置由三角形的形状来决定（见思维导图）； 2）三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形.三角形的三条中线三角形分成6个面积相等的三角形. 教材延伸 ①三角形的高→90°的角； ②三角形的中线将一个大三角形分成两个面积相等的小三角形(等底同高)；三角形的中线延长1倍，容易构造平行四边形(倍长中线模型). ③三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 即学即练 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 2．（20-21八年级上·山东德州·期中）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，是的中线，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线定理． 根据三角形的中线得出相等的边，然后根据等底同高得出三角形面积的关系． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）三角形的角平分线、中线、高都是（   ） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的角平分线、中线及高线，熟练掌握三角形的角平分线、中线及高线的定义是解题的关键；根据三角形的角平分线、中线和高的定义，它们都是线段，然后问题可求解． 【详解】解：由三角形的角平分线是顶点到对边的线段，平分内角；三角形的中线是顶点到对边中点的线段；三角形的高是顶点到对边（或对边延长线）的垂足之间的线段；可知三角形的角平分线、中线、高都是线段； 故选：A． 题型01 构成三角形的条件 解题贴士 三角形任意两边之和大于第三边是构成三角形的重要依据.任意给定三条线段，并不能保证可以构成三角形，必须用三角形三边的关系去验证. 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，3，6 D．2，3，7 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据两条较小线段之和是否大于较长线段进行判断，即可解题． 【详解】解：A．∵，∴能组成三角形． B．∵，∴不能组成三角形． C．∵，∴不能组成三角形． D．∵，∴不能组成三角形． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）等腰三角形的三条边分别为2，4，x，则第三边长x的值是__________． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分类讨论后利用三角形的三边关系检验是解题关键． 【详解】解：若，则等腰三角形的三边长分别为4、2、2， ∵，不能构成三角形，不符合题意； 若，则等腰三角形的三边长分别为4、4、2，此时能构成三角形，故第三条边长为4， 故答案为：4． 2．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键 通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为， ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即， ∴， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是乙． 故答案为：乙 ． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中______能摆成三角形（只填序号即可）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：①∵，∴，，能摆成三角形； ②∵，∴，，不能摆成三角形； ③∵，∴，，不能摆成三角形； ④∵，∴，，能摆成三角形． 故答案为：①④． 题型02 确定第三边的取值范围 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如果一个三角形的两边长为3和6，那么第三边的长有可能是（   ） A．3 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，熟练掌握三边关系是解题关键． 根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边确定第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴，即， ∵选项中只有7在这个范围内， ∴故选：B 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·福建莆田·期中）现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边之差小于第三边． 首先设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边，可得，再解即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系可得： ， 即：， 只有选项B符合要求， 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围，结合c为奇数确定c的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数， ∴． 故答案为：9． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若三角形的三边长为整数，且，，那么边c的最大值为_______． 【答案】7 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键；根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解c的取值范围，再取最大整数值即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得，即， ∵三角形的三边长为整数， ∴边c的最大值为7； 故答案为：7． 题型03 三角形三边关系的实际应用 解题贴士 涉及图形边长不等关系的证明，或者边长的取值范围，可以考虑采用三角形的三边关系，在图形中找三角形或将图形分割成三角形再进行转化. 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其他两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即． ∴． ∴B、C两点间的距离可能是． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据，则，据此即可作答． 【详解】解：， ∴， A、B、C、D四个选项只有D选项符合上述范围， 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分别分析小明和小亮的折法，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），判断能否构成等腰三角形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：小明的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，， 因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形， 所以小明的折法正确； 小亮的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，， 因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形， 所以小亮的折法也正确， 综上，两人都正确， 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）轩轩在做贺卡时需要用细绳围成一个等腰三角形（重叠部分不计），这个等腰三角形的两条边长分别是和，则需要细绳____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形特征及三边关系的应用．根据等腰三角形的两腰相等以及三角形的三边关系，解答此题即可． 【详解】解：一个等腰三角形其中的两条边长分别是和， 另一条边可能是或， 当另一条边是时，，此情况不存在； 当另一条边是时，， 周长为 需要的细绳长． 故答案为：20． 4．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ）． A．2 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 故选：C． 题型04 根据三角形的三边关系进行化简 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·辽宁营口·阶段检测）已知是三角形的三边，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识．根据三角形三边关系，判断绝对值内的符号，进而化简绝对值，即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴，， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）已知是的三条边长，化简：__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出是解题的关键． 先根据三角形的三边关系判断：，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵是的三条边长， ， ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知a，b，c是一个三角形的三边长． (1)若，则的取值范围是___________． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形三边关系、化简绝对值等知识点，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）由三角形三边关系定理即可解答； （2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． （2）解：∵a，b，c是一个三角形的三边长， ∴， ∴ ∴ ． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，，且为奇数． ①求的值； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①②为等腰三角形 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，化简绝对值： （1）根据三边关系结合绝对值的意义，进行化简即可； （2）根据三角形的三边关系求出的值，根据三角形的分类判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴原式； （2）①∵，， ∴， ∴， ∵为奇数． ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 题型05 应用三角形三边关系解决线段的和差比较问题 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，点D在边上，下面两个问题中请你选择一个加以证明(写出推理过程)． (1)求证：； (2)若， 试比较与的大小． 解：我选择的是 (填序号) 证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)，见解析，选择（1）或（2） 【分析】本题考查了三角形三边关系，不等式的性质，三角形内角和定理，外角性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先由三角形三边关系得到，再根据不等式的性质得到，而，即可证明； （2）先根据三角形的外角性质得到，再由三角形内角和定理以及得到，故，最后由大边对大角求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图①，P为内一点，连接， (1)证明：； (2)如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）延长交于点D，根据三角形的三边关系证明； （2）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】（1）证明：延长交于点D， 在中，， ∵， ∴ 在中，， ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵M、N分别在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    【答案】直接应用：见解析；深化应用：见解析；拓展应用： 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理： 直接应用：根据三角形三边关系得到，在不等式两边都加上即可得到结论； 深化应用：延长交于点D，根据三角形三边关系得到①，②， 利用即可推出； 拓展应用：根据三角形三边关系得到，，，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【详解】解：[直接应用]：由三角形三边关系得，， ∴，即； [深化应用]：如图，延长交于点D， ∵①，②， ∴得， ∴， 即； [拓展应用]：在中，， 同理，，， 得，， ∴, 得， ∵点是内的任意一点，当点无限接近三角形的某一顶点时，就无限接近三角形的周长，但始终小于三角形的周长， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 题型06 三角形的边和角之间的关系 典｜例｜精｜析 例6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，为△内任意一点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握三角形两边的和大于第三边，三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （1）延长交于，由三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，即可证明； （2）由三角形三边关系定理推出，，即可证明； 【详解】（1）延长交于， ，， ； （2），， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：在中，边所对的角为，边所对的角为，边所对的角为， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 题型07 三角形高、中线、角平分线的概念辨析 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高． 根据图示，线段的所对顶点为，结合高的画法“从三角形的一个顶点到它的对边所在直线作一条垂线段，”即可求解． 【详解】解：线段的所对顶点为， ∴线段是边上的高， 故选：C ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，将三角形纸片按下列方式折叠，所得为中线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线，熟练掌握折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线是解题的关键； 根据折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线的定义，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、由折叠可知，，则所得为的中线，符合题意； B、由折叠可知，，则所得不为的中线，不符合题意； C、由折叠可知，，即，则所得为的高，不符合题意； D、由折叠可知，，则所得为的角平分线，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形高、角平分线、中线的定义；根据三角形高、角平分线、中线的定义判断选项即可． 【详解】解：A、是的高，即,所以，故A不符合题意； B、是的角平分线，即平分,所以，故B不符合题意； C、是的中线,即是中点，所以，故C不符合题意； D、无法由的高、角平分线、中线得出，故D符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，D，E分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）．    A．的对边 B．是的中线 C． D．是的中线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项． 【详解】解：A、在中，的对边是，正确，不符合题意； B、是的中线，正确，不符合题意； C、∵D，E分别是的边，的中点， ∴，正确，不符合题意； D、是的中线，选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，先折叠再根据三角形角平分线、中线、高线定义判断即可得到答案． 【详解】解：如图， 过折叠三角形纸片，使与重合，此时折痕即是过点的角平分线，经过了一次折叠； 先折出中点，再过中点和折叠三角形纸片，折痕即是过点的中线，经过了两次折叠； 过折叠三角形纸片，使在折痕两侧的部分在同一直线上，此时折痕即是过点的高线，经过了一次折叠； ∴通过一次折叠，一定能折出三角形的角平分线、高线，故小琪的说法正确， 故选：C． 题型08 与三角形高有关的计算问题 解题贴士 高与面积有关:①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.②高相等，面积之比等于底边之比. 典｜例｜精｜析 例8．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键．连接，根据三角形的面积公式即可得，结合题意求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级上·云南红河·期末）在中，，，，，是边上的高，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的面积即可求解． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高以及三角形的面积等知识，灵活运用三角形的面积是解答本题的关键． 2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线的定义，根据三角形的面积求解是解题的关键；根据题意，利用等面积法即可求解． 【详解】解：线段，分别是的边，上的高，，，， 故答案为：． 题型09 等面积法的应用 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等腰三角形，，，边上的高＝______．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则______． 【答案】 4 4 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解答本题的关键．先根据三角形面积求出边上的高，再根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴边上的高 连接，如图所示： 由图可得：， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：cm， 故答案为：4；4 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键．（1）替代，中的即可；（2）连接，利用计算即可；（2）连接，利用计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段检测）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 【详解】（1），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型10 根据三角形中线求长度 解题贴士 典｜例｜精｜析 例10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则___________． 【答案】3 【分析】本题考查三角形中线，掌握相关知识是解决问题的关键．利用中线的性质将的周长与的周长差转化为与长度差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长长， ∴ ． 故答案为：3． 3．（22-23八年级上·广东广州·阶段检测）在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：；，可得的长，再由另一部周长即可求得底边的长． 【详解】解：由题意得： ； 当时， 即， ， ， ； 当时， 即， ， ， ； 综上，底边的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论． 题型11 根据三角形的中线求面积 解题贴士 三角形的一条中线把原来的三角形分成两个同地等高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题. 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【答案】 30 4 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到，…按此规律，倍长n次后得到的的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索，根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的7倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等，可得，，，，，，，的面积都相等， ∴， 同理， ， ， 以此类推，． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为______平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，根据中线平分三角形面积，可得，，然后求出的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E，F分别是，，的中点， ，， ∵平方厘米， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 【答案】（1）；；（2）；；（3）6 【分析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，解二元一次方程组，熟练掌握这个结论是解题的关键． （1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，即可求解； （2）根据题意，列出方程组，解出方程组，可得即可得到结果； （3）连接，，若 ，得到，，，设，则，，可列方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）如图，过点A作于点H， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过点A作于点T， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 由得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接， ∵，， ∴，，， 设，则，， 可列方程为， 解得：， ∴． 题型12 根据三角形角平分线的定义求角的度数 典｜例｜精｜析 例12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，是的角平分线，于点D，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，属于简单题，表示出是解题关键． 根据角平分线定义求出，根据垂线定义求出，相减即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，在如图，在中，，，平分，交于，，则_____．    【答案】/度 【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（21-22七年级下·北京·期末）如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则_____°． 【答案】 【分析】根据，分别是的高和角平分线，得，；根据三角形的外角，得，，即可． 【详解】∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质． 题型13 分类讨论思想在高线问题中的应用 典｜例｜精｜析 例13．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是____． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图①， 当为锐角三角形时，； 如图②，当为钝角三角形时，， 所以． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，分别是中边上的高和中线，，，，则的面积为___________． 【答案】30或6 【分析】该题考查了三角形的高线、中线、面积计算，分为当高在的内部时，当高在的外部时，分别求解即可． 【详解】解：如图1，当高在的内部时， 则， ∵是中线， ， ； 如图2，当高在的外部时， 则， ∵是中线， ， ． 综上所述，的面积为30或6． 故答案为：30或6． 题型14 画图问题 解题贴士 画三角形的高的方法： 1）画哪条边上的高，垂足就在哪条边所在的直线上. 2）判断画出的高是否正确时，先看所画线段两端点是不是要求的顶点及其对边(或其延长线)上的点，再看线段是否垂直于要求的边. 典｜例｜精｜析 例14．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出的边上的高以及上的中线； (2)直接写出的面积为________； (3)在图2中作图，在上找一点P使点P到和的距离相等，并在射线上找一点Q使． 【答案】(1)见详解 (2)4 (3)见详解 【分析】本题考查了格点作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形有关线段，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据网格特征即可画图； （2）先求出面积，然后通过中线性质即可求出的面积； （3）作平分线交于点，作的垂直平分线交于点，点、即为所求． 【详解】（1）解：如图，∴即为所求； （2）解：由， ∵为中线． ， 故答案为：4； （3）解：如图，作平分线交于点，作的垂直平分线交于点， ∴点到和的距离相等，， ∴点、即为所求． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）尺规作图：如图，画出的角平分线和高．（不写过程，保留必要的作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，高的尺规作图，掌握作线段的垂线，角平分线的作图是解题的关键．根据高、角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】解：和即为所求． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）利用网格特征作，再利用平移的性质作交于点D，即可得到答案； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：； （4）解：∵，， ∴． 题型15 三角形高、中线、角平分线综合 典｜例｜精｜析 例15．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高和中线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）在中根据三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，在中根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）根据三角形中线的定义得出，再计算与的周长之差即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差为， ∵， ∴与的周长之差为9． 变｜式｜巩｜固 1．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为80，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键． （1）直接利用面积法进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵是的中线，， ∴， ∵是的高，的面积为80， ∴， ∴； （2）在中，为它的一个外角，且，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 3．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是的角平分线，是的边上的中线． (1)若的周长为26，，求的长； (2)若的面积为12，，求的面积． 【答案】(1)6 (2)30 【分析】本题考查三角形中线的定义和角平分线的性质定理； （1）首先根据中线的性质得到，然后根据的周长为26，即可求出AB的长； （2）首先根据三角形的面积公式求出的长度，然后根据角平分线的性质定理即可求解． 【详解】（1）是的边上的中线，， ． 又的周长为， ． （2）如图，过点作于点． 是的角平分线，， ． 又的面积为12，， ， ， ． 基础通关 1．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）下面哪组中的三条线段不可以围成一个三角形(   ) A．厘米  厘米  厘米 B．厘米  厘米  厘米 C．厘米  厘米  厘米 D．厘米  厘米  厘米 【答案】B 【分析】明确组成三角形时：两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形的特征：两边之和大于第三边，两边之差一定小于第三边进行解答． 【详解】解：A．，能组成三角形，故该选项不符合题意； B．，不能组成三角形，故该选项符合题意； C．，能组成三角形，故该选项不符合题意； D．，能组成三角形，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列选项中能解释的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查基本尺规作图的应用、构成三角形的条件，熟练掌握尺规作线段是解答的关键．先在线段上截取长，再在上截取，从而逐项比较即可作出判断． 【详解】解：在线段上截取，再在上截取， ∵， ∴，故选项B符合题意； 选项A可以解释，不符合题意； 选项C可以解释，不符合题意； 选项D不能解释，不符合题意， 故选：B． 3．（22-23七年级下·河南新乡·期末）数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是中线的是（    ） A．沿折叠，点C落在BC边上的点E处 B．沿折叠，点C落在AB边上的点E处 C．沿折叠，使点C与点B重合 D．沿折叠，点C落在三角形外的点E处 【答案】C 【分析】根据折叠的性质和中线的概念逐项求解即可． 【详解】解：A、由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴线段不是中线，不符合题意； B、由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴线段不是中线，不符合题意； C、由折叠的性质可得， ∴点D是线段的中点 ∴线段是中线，符合题意； D、由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴线段不是中线，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了折叠的性质和中线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图， 在中，，E 是中点，平分交于点 G，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．是的中线 D．是的高 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形的中线的性质和定义和三角形的高的定义，由于，则，则，据此可判断A、B；根据三角形的中线的定义可判断C；根据三角形的高的定义可判断D． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分交于点 G， ∴，故A说法错误，不符合题意 ∴，故B说法错误，不符合题意； ∵E 是中点， ∴是的中线，故C说法正确，符合题意； ∵与不垂直， ∴不是的高，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·天津·期中）如图，点F是的重心，与的延长线分别交于D，E，连接，若的面积为10，则的面积为（   ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据点F是的重心，得到为的中线，根据三角形的中线平分面积，即可得出结果． 【详解】解：∵点F是的重心， ∴为的中线， ∴，， ∴是的中线， ∴； 故选C． 6．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键．先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 故选：B． 7．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 9．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作，，垂足分别为、，根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为、， ∵是角平分线， ∴， 设， ∵，即 ∴， 解得， ∴， ∵是中的中线， ∴． 故答案为：8． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）已知，，为的三边长，且，满足，是偶数，若按边分，则为_______三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的判定、绝对值和平方的非负性，关键是熟练应用知识点解题；由绝对值和平方的非负性求出和的值，再根据三角形的三边关系确定的取值范围，结合为偶数得到的值，最后按边分类判断三角形的形状。 【详解】解：∵，满足，， ∴ 且 ， 解得： ， 在中，∵， ∴ ， ∵ 为偶数， ∴ ， ∴ ， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形中线的定义、三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据三角形中线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴是的2倍． 故答案为：2． 素养提升 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）三根长度相等的铁丝分别各围成一幅平面图形（均无剩余），如图，其中，，则正确结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，证明是等边三角形，是等边三角形，则，；然后延长，交于一点，同理证明是等边三角形，再运用三角形三边关系进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则是等边三角形， ∴， ∵三根长度相等的铁丝分别各围成一幅平面图形（均无剩余）， ∴设铁丝长度为， ∴； 同理，证明是等边三角形， 则， 则， ∴， ∵， ∴， 延长，交于一点，如图所示： ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 2．（浙江省金华市东阳市五校联考2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷）如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A．四边形面积不变 B．的值不变 C．的值有最小值 D．的值不变 【答案】B 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，连接，作于点，等面积法得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，作于点， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的值不变， 四边形的面积，的值均随着点的变化而变化， 故选B． 4．（江西省南昌市进贤二初教育集团2025--2026学年上学期八年级阶段性自主训练（数学）试卷）如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______． 【答案】18 【分析】连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为3，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为． 5．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______． 【答案】8 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 设腰长为a，底边长为b，根据中线分周长的两种情况进行讨论，列出方程求解，再检验三角形三边关系，排除不成立的情况即可． 【详解】解：设等腰的腰，底边， 为边上的中线， ， 将周长分为和两部分， 当、时， ，解得； 当、时， ， 解得； 当、时，，不能构成三角形， 当、时，、，能构成三角形， 故底边长为：8． 7．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）的三边、、长分别为、、，其三条角平分线相交于点，则_______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形面积，利用角平分线的性质推出点到三边的距离相等，即、、的边、、上的高相等，再利用三角形的面积公式即可求解．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作，，分别垂直于、、，垂足分别为，，， ∵点是三条角平分线、、的交点， ∴，，， ∴， 设， ∵的三边、、长分别为、、， ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 迁移创新 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、中线的定义、角平分线的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）通过倍长中线法（延长到，使）构造全等三角形，将、和转化到同一个三角形中，再利用三边关系求出的范围，进而得到的范围． （2）利用中线定义，结合的周长，通过等量代换计算的周长． （3）利用角平分线的性质得到点到的距离，再分别计算两个小三角形的面积并求和． 【详解】（1）解：在中∵，，． ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是的角平分线，点到边的距离为， ∴点到边的距离也为， ∵，，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·广东东莞·期末）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？    问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：_____（填＞、＜或＝）； （2）如图3，点O为的重心，若面积为a，求的面积；并求出的值． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，结合（2）的结论，四边形的面积为______． 探究2 莞莞向初初提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？初初在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①如图5，四边形有重心，在其对角线的交点处；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心所连的直线上． （4）请在图6中画出该图形重心所在的直线．（仅用直尺作图，保留作图痕迹）    【答案】 （1）；（2）2；（3）；（4）见解析 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质、三角形中线与面积的关系、图形的拆分与重心确定，熟练掌握三角形重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为以及等底同高三角形面积相等是解题的关键． （1）根据三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，据此判断与的关系． （2）利用三角形重心的性质依次进行解答即可． （3）先根据重心性质得出线段比例关系，再结合垂直条件求出相关三角形面积，进而推导出四边形的面积． （4）将图6的图形拆分为两个长方形，分别确定它们的重心，连接重心的直线即为该图形重心所在直线． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 又∵和同高， ∴， 故答案为：． （2）∵点为的重心， ∴， ∴，，，，，， ∴，则， 同理可得， ∴， ∵， ∴，即， （3）连接并延长交于点． ∵点是的重心， ∴由（2）得，， ∵，， ∴，；，． ∵， ∴．，，， ∵点是重心， ∴由（2）得， ∴． ∴， ∴四边形的面积为 故答案为：． （4）如图所示，直线即为所求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $