第03讲 有理数的加法、减法运算（5知识点+8题型+达标检测）-2025年小升初数学无忧衔接（沪教版五四制2024）

第03讲 有理数的加法、减法运算 1. 掌握有理数加法法则（同号、异号、与0相加的情况 ），能准确计算有理数加法。 2. 理解并运用加法交换律、结合律简化运算。 3. 理解有理数减法法则，掌握“减去一个数等于加它的相反数”，实现减法到加法的转化；熟练进行有理数减法运算。 4. 能将加减混合运算统一成加法运算，清晰辨别运算符号与性质符号；运用加法运算律合理简算，解决实际问题。 知识点一 有理数的加法法则 1.有理数加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. (2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0 (3)一个数同0相加，仍得这个数. 注意： (1)若与互为相反数,则(或); (2)若(或),则与互为相反数. 助记： 有理数加法打油诗： 有理数相加，定号再加减， 同同异绝大（符号相同取相同符号，异号取绝对值大的加数的符号），括号内加减， 同号绝相加，异号绝相减， 加零得原数，相反和为零. 2有理数加法的结果的几种情况 (1) 可以是正数,也可以是负数,还可以是零.如5+(-3)=2,-6+4=-2,-3+3=0 (2) 可能比两个加数都大.如2+3 =5; (3)可能比两个加数都小.如(-2)+(-6)=-8 (4)可能比一个加数大,比另一个加数小.如(-3)+4 =1. (5)可能等于其中一个加数.如2+0=0 知识点二 有理数加法的运算定律 1. 有理数加法的运算定律 运算定律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加,交换加数的位置,和不变 加法结合律 三个数相加,先把前两个数相加，或者先把后两个数相加,和不变 2.有理数加法运算的技巧 (1) 互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”; (2) 符号相同的数先相加——“同号结合法”; (3)分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同分母结合法”; (4)几个数相加得到整数先相加——“凑整法”; (5)整数与整数、小数与小数先相加——“同形结合法”; (6)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和再分别相加——“拆分法”; 注意：方法的选择并不是一成不变，有的时候还需要多种方法共同使用，所以需要具体问题具体分析. 知识点三 有理数的减法法则 1. 有理数的减法法则 减去一个数,等于加这个数的相反数.即.例如. 注意： (1)两变一不变：被减数不变，减号变加号，减数变相反数. (2)有理数的减法，可以先将减法转化为加法,再按有理数的加法法则和运算定律计算. (3)减法没有交换律,被减数与减数的位置不能改变. 2. 有理数减法的三种情况 (1) 减去一个正数等于加上一个负数; (2) 减去一个负数等于加上一个正数; (3) 任何数减去0仍得这个数,0减去一个数等于这个数的相反数. 拓展延伸： (1) 在有理数的减法中,当减数为正数时,差一定小于被减数;当减数为负数时，差一定大于被减数. (2) 大数减小数的差为正,小数减大数的差为负,相等两数的差为0.用字母表示为:若,则 ;若,则;若,则. 知识点四 有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的方法 有括号的,先算括号内的;没有括号的,先将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律进行简化计算. 注意 进行有理数加减混合运算时，应有条理地按步骤进行,不要随意地跳步,否则容易出错. 知识点五 省略加号的和式的写法及读法 1.省略加号的和式的写法 在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式. 例如(-10)+(-5)+(+3)+(-4)可以写成-10-5+3-4. 2.省略加号的和式的读法 (1)按结果读，是性质符号和数字在一起的和，正负不能省略; (2)按运算读,是加减,但第一个加数如果是负的,这个“－”号要读“负”而不能读“减”,其余数字前面的符号按运算符号读. 例如-10-5+3-4 的读法:(1)按加法的结果来读:负10负5正3负4的和;(2)按运算来读:负10减5加3减4. 题型一、有理数加法运算 例1（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则和性质并准确判断出m、n的对应情况是解题的关键．根据绝对值的性质和有理数的加法运算法则判断出m、n的对应情况，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴，时，， ，时，， 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 1-1（24-25六年级上·上海·期中）数轴上一点A向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为3，则点A表示的数是 【答案】1或 【分析】本题考查数轴上点的平移，关键是掌握数轴上点的平移对应的数的变化规律左加右减． 先求出表示的数，再分类讨论，根据平移法则左加右减，即可求出表示的数． 【详解】解：∵到原点距离为3， ∴表示3或， 当表示3时， 把向左平移2个单位得， ∴此时，表示1， 当表示时， 把向左平移2个单位得， 此时，表示， 综上所述：表示1或． 故答案为：1或． 1-2（24-25六年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，根据绝对值不相等的异号的两数相加的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 1-3（24-25六年级上·上海虹口·期中）一个数与的和减去等于，求这个数． 【答案】 【分析】该题主要考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则． 根据题意得出这个数为再进行运算即可． 【详解】解：由题意得：这个数为 ． 题型二、有理数加法运算律 例2（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据加法法则和运算律即可求解，熟练掌握有理数的加法计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 2-1（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．结合加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 2-2（24-25六年级上·上海闵行·期末）不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的减法和加法计算，减去一个数，等于加上这个数的相反数，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加，据此可得结论． 【详解】解：用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是加法结合律；同号两数相加，符号不变，绝对值相加；减去一个数等于加上这个数的相反数；不能用乘法对加法的分配律解释， 故选：C． 题型三、有理数加法在生活中的应用 例3（24-25六年级上·上海·期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的意义、有理数的加减，计算出薯片的净含量范围，再结合题意即可得解． 【详解】解：∵薯片检测报告上注明净含量为， ∴净含量范围为：净含量，即净含量，故A不符合标准． 故选：A． 3-1（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用每天的最高温度减去最低温度，然后相比即可得出答案． 【详解】解：第1天温差为：； 第2天温差为：； 第3天温差为：； 第4天温差为：； ∵， ∴第1天温差最大． 故选：A． 3-2（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】（）或；（），；（）表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 【分析】（）分点向右或向左移动两种情况讨论； （）根据题意点到的距离，的距离，到的距离相等，即可求得答案； （）借助数轴，把小明与表姐的年龄差看做木尺的长，由此可知小明与表姐的年龄； 本题主要考查了有理数加减的应用，以及用数轴解决实际问题，解题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系． 【详解】解：（）当点向右移动时，；当点向左移动时，， 故答案为：或； （）由题意可知：点到的距离，的距离，到的距离相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （）如图， 小明与表姐的年龄差为：（岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 题型四、有理数的减法运算 例4（24-25六年级上·上海·期中）已知，数轴上点表示的数是，存在一点使得点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减法计算，点C在点A左边时用点A表示的数减去点A和点C的距离，点C在点A右边时用点A表示的数加上点A和点C的距离，据此可得答案． 【详解】解：当点C在点A左边时，则点C表示的数为， 当点C在点A左边时，则点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或， 故答案为：或． 4-1（24-25六年级上·上海崇明·期末）在数轴上，点A表示的点是，与点A相距个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴的意义和数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键； 分在的左侧时，和在的右侧时，两种情况，用分别减去或加上即可得到数轴上与A点相距个单位长度的点表示的数． 【详解】解：当点在的左侧时，则与点A相距个单位的点所表示的数是， 当点在的右侧时，则与点A相距3个单位的点所表示的数是， 故答案为：或． 4-2（24-25六年级上·上海·期末）到数轴上表示2的点距离为5个单位长度的点所表示的有理数是 ． 【答案】或7 【分析】本题考查了数轴上有理数的表示及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及运算是解题的关键；由题意可分当这个有理数在2的左边和右边进行求解即可 【详解】解：由题意得：或； 所以到表示2的数为5个单位长度的点所表示的数为或7； 故答案为或7． 4-3（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 4-4（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一个数与的差是：，求这个数． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的加法，根据差加减数等于被减数列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 即这个数是2． 题型五、有理数减法的实际应用 例5（24-25六年级上·上海·期中）上海冬季某两天的气温如下表所示： 最高温度 最低温度 第一天 7 第二天 这两天中，第 天温差较大． 【答案】一 【分析】先计算温差，再比较大小解答即可． 本题考查了温差的计算，有理数的大小比较，熟练掌握减法计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一天的温差为：， 第二天的温差为：， 又， 故第一天温差大， 故答案为：一． 5-1（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 5-2（24-25六年级上·上海·期末）小王观察发现：家里的冰箱冷藏室温度为，冷冻室温度为零下，那么冰箱冷藏室与冷冻室的温差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的减法，根据题意直接列出算式，然后按有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：22． 5-3（24-25六年级上·上海长宁·期中）某一天的早上，测得北京的气温是，上海是，上海比北京高 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数减法的实际运用，掌握有理数的减法法则是解题的关键．用上海的气温减去北京的气温即可求解． 【详解】解：， 上海比北京高， 故答案为：． 5-4（24-25六年级上·上海金山·期中）新疆大部分地区夏天昼夜温差较大，故历来有“早穿皮祅午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果新疆某地某天的最低气温为，最高气温为，那么当天的温差是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法运算的实际应用，根据题意列出算式即可求解，理解题意是解题的关键 【详解】解：， 答：当天的温差是． 题型六、有理数的加减混合运算 例6（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合计算解答即可． 本题考查了有理数加减的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ． 22．（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 6-1（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键．先通分，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 6-2（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，解题的关键是掌握有理数的加减计算法则． 根据有理数的加减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型七、有理数加减中的简便运算 例7（24-25六年级上·上海崇明·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数加减运算法则即可解答； 【详解】解：原式 ． 7-1（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减的简便运算，熟练掌握有理数加减的简便运算是解题的关键；根据有理数的加减简便运算可进行求解 【详解】解：原式 ． 7-2（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】8 【分析】本题考查有理数的加减运算，运用加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 7-3（24-25六年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 7-4（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用加法运算律进行简便计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 7-5（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，直接根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型八、有理数加减混合运算的应用 例8（24-25六年级上·上海闵行·期末）下面是乐乐家10月的全部收支情况，妈妈领工资8100元，缴纳水电煤共元，为乐乐买衣服用去了120元，全家去游乐场用去了600元，爸爸领工资10300元，妈妈买衣服用去230元，爸爸加油用去1200元，还房贷用去3500元，为爷爷过生日用去2300元，本月伙食费合计用去元，那么小闵家本月的结余为 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用小闵爸妈的工资和减去所有支出即可得到答案． 【详解】解：元， ∴小闵家本月的结余为元， 故答案为：． 8-1（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》，如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的、分别表示一个数，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了有理数的加法，减法运算，熟知题意，理解“横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等”是解题关键．根据题意先得到内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为，进而求出，小圆圈上空白圆圈上数字为，从而求出或2，即可求出答案． 【详解】解：由题意得， ∴内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为， ∴⊙， ∴小圆圈上空白圆圈上数字为， ∴或2， ∴或． 故答案为：或1． 8-2（24-25六年级上·上海松江·期末）某公交车出发时，车上有人，经过个站点，乘客上下车情况（上车为正，下车为负）：一号站点“，”；二号站点“，”；三号站点“，”．那么此时车上有 人． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义的实际应用，有理数加减的实际运算，根据题意列出算式计算即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：， ∴此时车上有人， 故答案为：． 8-3（24-25六年级上·上海·期中）银行的储蓄员小思在办理业务时，约定存入为正，取出为负． 某天上午，他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元． (1)若他早上领取备用金40000元，那么到时还有多少元？ (2)在这七笔业务中，请求出小思在第几笔业务办理后，手中的现金最多？第几笔业务办理后，手中的现金最少？ 【答案】(1)44000元 (2)第五笔业务办理后，手中的现金最多；第七笔业务办理后，手中的现金最少 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加减的混合运算，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）计算七笔业务的代数和，再加上备用金40000元即可求解； （2）分别计算出每笔业务办理后的代数和，再结合题意即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，（元）． 答：若他早上领取备用金40000元，那么到时还有44000元． （2）解：第一笔业务办理后：（元）， 第二笔业务办理后：（元）， 第三笔业务办理后：（元）， 第四笔业务办理后：（元）， 第五笔业务办理后：（元）， 第六笔业务办理后：（元）， 第七笔业务办理后：（元）， 小思在第五笔业务办理后，手中的现金最多；第七笔业务办理后，手中的现金最少． 8-4（24-25六年级上·上海长宁·期中）一个数减去，再加上等于，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，解题的关键是理解题意．根据题意列出式子计算即可． 【详解】解：根据题意得： 这个数是． 8-5（24-25六年级上·上海·期中）巴黎奥运会上中国选手黄雨婷和盛李豪组成的队伍经过十四轮激烈比拼后，以总比分击败韩国队，夺得中国队首金并卫冕该项目冠罕．其中决赛从第8轮以后开始进入自热化阶段，两位选手最后的6轮成绩如下表所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 ______ ______ 盛李豪 ______ ______ (1)请填写表中空格； (2)请计算两位选手最后六轮的总成绩． 【答案】(1)见详解 (2)黄雨婷这六轮的总成绩为环，盛李豪这六轮的总成绩为63环 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确地列出式子进行解题． （1）由正负数的定义，大于的记为正数，小于的记为负数，然后填入数据即可；（2）先求出正负数的和，然后加上基数，即可得到答案． 【详解】（1）解：填写表中空格如图． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 0 （2）解：根据题意，黄雨婷这六轮的总成绩为：（环）． 盛李豪这六轮的总成绩为：（环）． 1.（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2.（24-25六年级上·上海·期末）如果，，且，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加法运算等知识点，深刻理解绝对值的意义并熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 先根据题意求出和的值，然后再计算的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ，或，， 或， 故选：C． 3.（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离大于3，则点C位于（   ） A．点O的左边 B．点A与点B之间 C．点O与点A之间 D．点B的右边 【答案】C 【分析】这道题主要考查用数轴上的点表示有理数，有理数的加法和减法，根据有理数确定位置．根据题意分析出点表示的数是0.5，然后根据到点B的距离大于3确定点的位置． 【详解】解：点到点的距离为1，点A表示数1.5 点表示的数为或 又点到点的距离大于3 点表示的数为0.5 即点位于点O与点A之间． 故选：C． 4.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果两个数的和为负数，那么这两个数一正一负，且负数的绝对值较大； B．如果两个数的差为正数，那么这两个数一定都为正数； C．如果两个负数相加，那么它们的和一定小于每一个加数： D．如果两个有理数相加，那么它们的和一定大于每一个加数． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法法则，绝对值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据有理数的加减法法则，绝对值的定义逐项分析即可得选出正确结果． 【详解】解：A.两个负数相加，和也为负数，故选项错误． B.一个绝对值小的负数减去一个绝对值大的负数，和也为正数，故选项错误． C. 如果两个负数相加，那么它们的和一定小于每一个加数，故选项正确． D. 一个正数和一个负数相加，它们的和小于正数，故选项错误． 故选：C 5.（2025·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6.（22-23六年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】/ 【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数运算，解题关键是熟记有理数运算法则． 7.（24-25六年级上·上海嘉定·期末）将、、0、1、2、3、4、5、6这9个数分别填入图中的9个空格里，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数的和都相等，其中 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据有理数的加法计算后即可求得答案． 【详解】解：由题意可得，最中间的数为2， 则， 那么第一行的数分别为5，0，1， 第二行的数分别为，2，6， 第三行的数分别为3，4，， 则， 故答案为：． 8.（24-25六年级上·上海浦东新·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据新定义进行正确的计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9.（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减法，根据有理数的加减法则与混合运算的顺序进行计算便可． 【详解】解： ． 10.（24-25六年级上·上海普陀·期中）观察下列流程图，根据输入数据，得到输出数据．列出算式，写明计算过程， (1)如果输入数据是，计算得到的输出结果． (2)如果输入数据是，计算得到的输出结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分数的加法及乘法，首先要理解这两种不同的计算方法，理解了计算方法问题不难解决． （1）当输入的分数大于时，求这个分数与的和，用加法计算； （2）先理解本题的计算方法，当输入的分数小于时，求出这个分数与的差，用减法计算． 【详解】（1）解：∵， ∴输出结果为； （2）解：∵， ∴输出结果为：． 11.（24-25六年级上·上海·期中）【溯源】“+、-”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“|”竖，就可表示减少的意思，于是把“-”作为减号，“×”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受，四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】晓华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认识，晓华同学也定义了一个新的运算“@”，满足以下两个要求： ①；②，其中x、y、z可以取任何有理数．求：的值． 【分析问题】爱思考的晓风同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________， 于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________， （用含字母x的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到________（用含字母x、y的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求m的倒数． 【答案】分析问题：；解决问题：12；拓展问题：或 【分析】本题考查定义新运算，绝对值方程，掌握新运算的法则是解题的关键： 分析问题：按照新定义的法则，进行作答即可； 解决问题：按照新定义的法则，进行计算即可； 拓展问题：按照新定义的法则，列出方程，求出的值，进而求出倒数即可． 【详解】解：分析问题：根据题意， ， ， ， 故答案为：； 解决问题：∵， ， 故答案为：12； 拓展问题：， ∴， ， 或， ∴的倒数为或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的加法、减法运算 1. 掌握有理数加法法则（同号、异号、与0相加的情况 ），能准确计算有理数加法。 2. 理解并运用加法交换律、结合律简化运算。 3. 理解有理数减法法则，掌握“减去一个数等于加它的相反数”，实现减法到加法的转化；熟练进行有理数减法运算。 4. 能将加减混合运算统一成加法运算，清晰辨别运算符号与性质符号；运用加法运算律合理简算，解决实际问题。 知识点一 有理数的加法法则 1.有理数加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. (2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0 (3)一个数同0相加，仍得这个数. 注意： (1)若与互为相反数,则(或); (2)若(或),则与互为相反数. 助记： 有理数加法打油诗： 有理数相加，定号再加减， 同同异绝大（符号相同取相同符号，异号取绝对值大的加数的符号），括号内加减， 同号绝相加，异号绝相减， 加零得原数，相反和为零. 2有理数加法的结果的几种情况 (1) 可以是正数,也可以是负数,还可以是零.如5+(-3)=2,-6+4=-2,-3+3=0 (2) 可能比两个加数都大.如2+3 =5; (3)可能比两个加数都小.如(-2)+(-6)=-8 (4)可能比一个加数大,比另一个加数小.如(-3)+4 =1. (5)可能等于其中一个加数.如2+0=0 知识点二 有理数加法的运算定律 1. 有理数加法的运算定律 运算定律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加,交换加数的位置,和不变 加法结合律 三个数相加,先把前两个数相加，或者先把后两个数相加,和不变 2.有理数加法运算的技巧 (1) 互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”; (2) 符号相同的数先相加——“同号结合法”; (3)分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同分母结合法”; (4)几个数相加得到整数先相加——“凑整法”; (5)整数与整数、小数与小数先相加——“同形结合法”; (6)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和再分别相加——“拆分法”; 注意：方法的选择并不是一成不变，有的时候还需要多种方法共同使用，所以需要具体问题具体分析. 知识点三 有理数的减法法则 1. 有理数的减法法则 减去一个数,等于加这个数的相反数.即.例如. 注意： (1)两变一不变：被减数不变，减号变加号，减数变相反数. (2)有理数的减法，可以先将减法转化为加法,再按有理数的加法法则和运算定律计算. (3)减法没有交换律,被减数与减数的位置不能改变. 2. 有理数减法的三种情况 (1) 减去一个正数等于加上一个负数; (2) 减去一个负数等于加上一个正数; (3) 任何数减去0仍得这个数,0减去一个数等于这个数的相反数. 拓展延伸： (1) 在有理数的减法中,当减数为正数时,差一定小于被减数;当减数为负数时，差一定大于被减数. (2) 大数减小数的差为正,小数减大数的差为负,相等两数的差为0.用字母表示为:若,则 ;若,则;若,则. 知识点四 有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的方法 有括号的,先算括号内的;没有括号的,先将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律进行简化计算. 注意 进行有理数加减混合运算时，应有条理地按步骤进行,不要随意地跳步,否则容易出错. 知识点五 省略加号的和式的写法及读法 1.省略加号的和式的写法 在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式. 例如(-10)+(-5)+(+3)+(-4)可以写成-10-5+3-4. 2.省略加号的和式的读法 (1)按结果读，是性质符号和数字在一起的和，正负不能省略; (2)按运算读,是加减,但第一个加数如果是负的,这个“－”号要读“负”而不能读“减”,其余数字前面的符号按运算符号读. 例如-10-5+3-4 的读法:(1)按加法的结果来读:负10负5正3负4的和;(2)按运算来读:负10减5加3减4. 题型一、有理数加法运算 例1（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知，且，则 ． 1-1（24-25六年级上·上海·期中）数轴上一点A向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为3，则点A表示的数是 1-2（24-25六年级上·上海·期末）计算： ． 1-3（24-25六年级上·上海虹口·期中）一个数与的和减去等于，求这个数． 题型二、有理数加法运算律 例2（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 2-1（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 2-2（24-25六年级上·上海闵行·期末）不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 题型三、有理数加法在生活中的应用 例3（24-25六年级上·上海·期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 3-1（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 3-2（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 题型四、有理数的减法运算 例4（24-25六年级上·上海·期中）已知，数轴上点表示的数是，存在一点使得点到点的距离为，则点表示的数为 ． 4-1（24-25六年级上·上海崇明·期末）在数轴上，点A表示的点是，与点A相距个单位长度的点表示的数是 ． 4-2（24-25六年级上·上海·期末）到数轴上表示2的点距离为5个单位长度的点所表示的有理数是 ． 4-3（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 4-4（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一个数与的差是：，求这个数． 题型五、有理数减法的实际应用 例5（24-25六年级上·上海·期中）上海冬季某两天的气温如下表所示： 最高温度 最低温度 第一天 7 第二天 这两天中，第 天温差较大． 5-1（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 5-2（24-25六年级上·上海·期末）小王观察发现：家里的冰箱冷藏室温度为，冷冻室温度为零下，那么冰箱冷藏室与冷冻室的温差为 ． 5-3（24-25六年级上·上海长宁·期中）某一天的早上，测得北京的气温是，上海是，上海比北京高 ． 5-4（24-25六年级上·上海金山·期中）新疆大部分地区夏天昼夜温差较大，故历来有“早穿皮祅午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果新疆某地某天的最低气温为，最高气温为，那么当天的温差是多少？ 题型六、有理数的加减混合运算 例6（24-25六年级上·上海·期中）计算： 22． （24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 6-1（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 6-2（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 题型七、有理数加减中的简便运算 例7（24-25六年级上·上海崇明·期末）计算： 7-1（24-25六年级上·上海·期末）计算： 7-2（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 7-3（24-25六年级上·上海松江·期中）计算：． 7-4（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算：. 7-5（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： 题型八、有理数加减混合运算的应用 例8（24-25六年级上·上海闵行·期末）下面是乐乐家10月的全部收支情况，妈妈领工资8100元，缴纳水电煤共元，为乐乐买衣服用去了120元，全家去游乐场用去了600元，爸爸领工资10300元，妈妈买衣服用去230元，爸爸加油用去1200元，还房贷用去3500元，为爷爷过生日用去2300元，本月伙食费合计用去元，那么小闵家本月的结余为 元． 8-1（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》，如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的、分别表示一个数，则的值为 ． 8-2（24-25六年级上·上海松江·期末）某公交车出发时，车上有人，经过个站点，乘客上下车情况（上车为正，下车为负）：一号站点“，”；二号站点“，”；三号站点“，”．那么此时车上有 人． 8-3（24-25六年级上·上海·期中）银行的储蓄员小思在办理业务时，约定存入为正，取出为负． 某天上午，他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元． (1)若他早上领取备用金40000元，那么到时还有多少元？ (2)在这七笔业务中，请求出小思在第几笔业务办理后，手中的现金最多？第几笔业务办理后，手中的现金最少？ 8-4（24-25六年级上·上海长宁·期中）一个数减去，再加上等于，求这个数． 8-5（24-25六年级上·上海·期中）巴黎奥运会上中国选手黄雨婷和盛李豪组成的队伍经过十四轮激烈比拼后，以总比分击败韩国队，夺得中国队首金并卫冕该项目冠罕．其中决赛从第8轮以后开始进入自热化阶段，两位选手最后的6轮成绩如下表所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 ______ ______ 盛李豪 ______ ______ (1)请填写表中空格； (2)请计算两位选手最后六轮的总成绩． 1.（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2.（24-25六年级上·上海·期末）如果，，且，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．7 3.（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离大于3，则点C位于（   ） A．点O的左边 B．点A与点B之间 C．点O与点A之间 D．点B的右边 4.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果两个数的和为负数，那么这两个数一正一负，且负数的绝对值较大； B．如果两个数的差为正数，那么这两个数一定都为正数； C．如果两个负数相加，那么它们的和一定小于每一个加数： D．如果两个有理数相加，那么它们的和一定大于每一个加数． 5.（2025·安徽·中考真题）计算： ． 6.（22-23六年级上·上海·阶段练习）计算： 7.（24-25六年级上·上海嘉定·期末）将、、0、1、2、3、4、5、6这9个数分别填入图中的9个空格里，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数的和都相等，其中 ． 8.（24-25六年级上·上海浦东新·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： ． 9.（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 10.（24-25六年级上·上海普陀·期中）观察下列流程图，根据输入数据，得到输出数据．列出算式，写明计算过程， (1)如果输入数据是，计算得到的输出结果． (2)如果输入数据是，计算得到的输出结果． 11.（24-25六年级上·上海·期中）【溯源】“+、-”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“|”竖，就可表示减少的意思，于是把“-”作为减号，“×”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受，四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】晓华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认识，晓华同学也定义了一个新的运算“@”，满足以下两个要求： ①；②，其中x、y、z可以取任何有理数．求：的值． 【分析问题】爱思考的晓风同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________， 于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________， （用含字母x的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到________（用含字母x、y的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求m的倒数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$