衔接点06 高次方程、无理方程、绝对值不等式与分式不等式（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

衔接点06 高次方程、无理方程、绝对值不等式与分式不等式 初中视角 高中展望 1.高次多项式一般作为因式分解出题； 2.无理方程以单个根式考查为主，中考填空涉及取值范围，与函数结合较多，难度较低； 3.不等式考查以一元一次不等式（组）为主，二元一次不等式不考查； 4.分式以运算为主，分类讨论较少考查. 1.高次方程和绝对值不等式多考查分类讨论、穿针引线法； 2.分式不等式作为高一上学期重要考点，常考查≥或≤非零数的情况 衔接引导 1. 建立等价转化核心逻辑：统一高次、无理、绝对值、分式四类方程/不等式的变形思路，明晰每一步变形的定义域、分母不为0等限制条件，规避增根、漏解问题； 2. 夯实分类讨论规范体系：掌握含参问题三层讨论顺序（系数正负→判别式符号→零点大小），严格遵循“不重、不漏、最简”原则，完整梳理参数取值范围； 3. 活用数形结合解题工具：熟练掌握穿针引线法、绝对值函数图象法，实现代数计算与图像直观分析双向互推； 4. 规范标准答题书写：统一用区间、集合表示解集，分类讨论标注前置限制条件，无理、分式题型完整保留检验步骤，推导逻辑闭环严谨。 考点阐释 高次方程 1.核心定义 形如的整式方程. 2.通用解题步骤 （1）移项，把所有项移到等式左侧，右侧化为0； （2）因式分解：提取公因式→公式法（平方差、完全平方、立方和差）→十字相乘； （3）令每个因式分别等于0，解出所有根； （4）标注重根（偶次重根、奇次重根）. 无理方程（根号内含未知数） 1.定义 根号下含有未知数的方程 核心解法：平方去根号，转化有理方程. 2.标准解题步骤 （1）写出定义域：根号内代数式； （2）分离根式到等式一侧（单侧只有一个根号再平方）； （3）两边平方，消去根号，化为整式方程（一次/二次/高次）； （4）解整式方程，回代原方程检验，舍去不满足定义域、不满足原式的增根； 注意：多个根式：重复“分离根式+平方”操作，每一步都限制范围. 绝对值不等式 1.含有绝对值不等式的解法 （1）掌握可化为，的绝对值不等式的解法（其中是关于x的一次多项式）. （2）的解集为；的解集为. （3）两边平方是解形如的绝对值不等式的常用方法. （4）和型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （5）利用绝对值不等式的性质：． （6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式． 2.含参不等式的求解， 参数可以从两方面影响不等式的求解，首先是对不等式类型的影响，其次是字母对这个不等式解的影响，同时注意参数的选取确定了不等式的解；对于高次不等式求解往往用穿根法，无理不等式多采用两边同时平方或分类讨论；此外对于综合性强、难度大的不等式题目，还可以灵活运用函数、方程和不等式的相互转化来解题. 分式不等式的解法 题型一、高次方程 二项方程的的实数根是（　　） A．2 B．4 C． D． 解方程：得：______． 【方法总结】 解高次方程/高次不等式核心是降次转化，结合因式分解与穿针引线法求解，分类讨论遵循“不重、不漏、最简”三原则，分类触发点如下： (i)先对多项式彻底因式分解，把整式化为一次因式乘积形式，最高次项系数先整理为正数； (ii)若因式含参数导致根的大小不确定，需按根的分界点分区间讨论； (iii)若最高次项系数含参数正负不定，分系数>0、=0、<0三类讨论； (iv)用穿针引线法时，偶次重根穿线不穿过数轴、奇次重根穿过数轴，需单独对重根次数奇偶性分析边界. 方程的实数根是_______． 方程的根是_____． 方程的解是______． 方程的根是________. 题型二、无理方程 方程 的解为________． 解方程：． 【方法总结】 解无理方程核心是去根号转化为有理方程，全程注意定义域限制，分类讨论遵循“不重、不漏、最简”三原则，分类触发点如下： (i)第一步先写出被开方数≥0、根式运算后等式两边取值范围的定义域约束，排除增根； (ii)两边平方去根号前，若等式一侧含参数导致正负不确定，分一侧≥0、<0两类讨论； (iii)多次平方去根号时，每一步都要校验解是否满足前一步定义域，最终结果必须回代原方程验根； (iv)若化简后得到含参数一元二次方程，按二次项系数、判别式、根的大小三层依次分类讨论. 方程的解是________． 方程的解是______． 已知，则的值为___________． 解方程： 解方程：． 题型三、分类讨论解绝对值不等式 解不等式： (1)； (2). 使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 【方法总结】 分类讨论解绝对值不等式核心是按绝对值内式子的正负拆绝对值符号，分类讨论遵循“不重、不漏、最简”三原则，分类触发点如下： (i)先令绝对值内代数式=0，求出零点，用零点划分实数区间，每个区间内绝对值式子可直接去符号； (ii)若零点含参数、零点大小不确定，需对参数划分区间比较零点先后顺序； (iii)分段求解后取各区间解集与对应区间的交集，最后把所有分段有效解集取并集； (iv)若不等式两侧均含绝对值，可先移项再划分零点区间，避免盲目平方扩大范围. 关于的不等式的解集为__________. 不等式的解集为_____. 不等式的解集为________ 不等式的解集为_____． 题型四、图象法解绝对值不等式 已知函数，． (1)在给出的坐标系中画出函数的图像； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【方法总结】 图象法解绝对值不等式核心是数形结合，通过函数图象位置关系直观求解，分类讨论遵循“不重、不漏、最简”三原则，分类触发点如下： (i)把不等式两边分别构造为两个函数（绝对值函数）、（常函数/一次函数等），画出分段折线/直线图象； (ii)先求两个函数交点横坐标，交点是解集区间分界点，若交点含参数需讨论交点位置； (iii)根据题目“/”的要求，观察图象上下位置对应的x范围； (iv)若绝对值函数斜率含参数，分斜率正负、斜率相等情况讨论图象倾斜方向与交点个数. （1）画出函数的图像； （2）解不等式． 设函数. (1)求不等式的解集； (2)画出图像，求函数最小值. 题型五、分式不等式 不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 解分式不等式核心是等价转化为整式不等式，严格保证分母不为0，分类讨论遵循“不重、不漏、最简”三原则，分类触发点如下： (i)移项通分统一一侧为分式，等价转化为（为>、<、≥、≤），不能直接两边乘分母； (ii)若分子/分母含参数导致根大小不确定，对参数分界点讨论根的先后顺序； (iii)若分子二次项系数含参数正负不定，分系数>0、=0、<0三类讨论抛物线开口； (iv)若分子二次判别式符号不定，分、、三类判断实根有无，再结合分母零点划分区间求解. 不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 关于的不等式的解集为______. 方程的根是______． 关于的不等式的解集为______. 不等式的解集为_____． 解方程． 解方程： 解方程：． 解下列不等式： (1)； (2)； (3). 已知函数． (1)画出的图象； (2)求不等式的解集． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点06 高次方程、无理方程、绝对值不等式与分式不等式 初中视角 高中展望 1.高次多项式一般作为因式分解出题； 2.无理方程以单个根式考查为主，中考填空涉及取值范围，与函数结合较多，难度较低； 3.不等式考查以一元一次不等式（组）为主，二元一次不等式不考查； 4.分式以运算为主，分类讨论较少考查. 1.高次方程和绝对值不等式多考查分类讨论、穿针引线法； 2.分式不等式作为高一上学期重要考点，常考查≥或≤非零数的情况 衔接引导 1. 建立等价转化核心逻辑：统一高次、无理、绝对值、分式四类方程/不等式的变形思路，明晰每一步变形的定义域、分母不为0等限制条件，规避增根、漏解问题； 2. 夯实分类讨论规范体系：掌握含参问题三层讨论顺序（系数正负→判别式符号→零点大小），严格遵循“不重、不漏、最简”原则，完整梳理参数取值范围； 3. 活用数形结合解题工具：熟练掌握穿针引线法、绝对值函数图象法，实现代数计算与图像直观分析双向互推； 4. 规范标准答题书写：统一用区间、集合表示解集，分类讨论标注前置限制条件，无理、分式题型完整保留检验步骤，推导逻辑闭环严谨。 考点阐释 高次方程 1.核心定义 形如的整式方程. 2.通用解题步骤 （1）移项，把所有项移到等式左侧，右侧化为0； （2）因式分解：提取公因式→公式法（平方差、完全平方、立方和差）→十字相乘； （3）令每个因式分别等于0，解出所有根； （4）标注重根（偶次重根、奇次重根）. 无理方程（根号内含未知数） 1.定义 根号下含有未知数的方程 核心解法：平方去根号，转化有理方程. 2.标准解题步骤 （1）写出定义域：根号内代数式； （2）分离根式到等式一侧（单侧只有一个根号再平方）； （3）两边平方，消去根号，化为整式方程（一次/二次/高次）； （4）解整式方程，回代原方程检验，舍去不满足定义域、不满足原式的增根； 注意：多个根式：重复“分离根式+平方”操作，每一步都限制范围. 绝对值不等式 1.含有绝对值不等式的解法 （1）掌握可化为，的绝对值不等式的解法（其中是关于x的一次多项式）. （2）的解集为；的解集为. （3）两边平方是解形如的绝对值不等式的常用方法. （4）和型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （5）利用绝对值不等式的性质：． （6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式． 2.含参不等式的求解， 参数可以从两方面影响不等式的求解，首先是对不等式类型的影响，其次是字母对这个不等式解的影响，同时注意参数的选取确定了不等式的解；对于高次不等式求解往往用穿根法，无理不等式多采用两边同时平方或分类讨论；此外对于综合性强、难度大的不等式题目，还可以灵活运用函数、方程和不等式的相互转化来解题. 分式不等式的解法 题型一、高次方程 二项方程的的实数根是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键． 先移项，方程两边都乘2，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， 所以原方程的实数根是． 故选：C． 解方程：得：______． 【答案】或 【分析】本题考查了解高次方程，通过换元法，设，将高次方程转化为二次方程求解即可得出结果，熟练掌握换元法是解此题的关键． 【详解】解：设，则原方程化为， 因式分解得， 解得， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【方法总结】 解高次方程/高次不等式核心是降次转化，结合因式分解与穿针引线法求解，分类讨论遵循“不重、不漏、最简”三原则，分类触发点如下： (i)先对多项式彻底因式分解，把整式化为一次因式乘积形式，最高次项系数先整理为正数； (ii)若因式含参数导致根的大小不确定，需按根的分界点分区间讨论； (iii)若最高次项系数含参数正负不定，分系数>0、=0、<0三类讨论； (iv)用穿针引线法时，偶次重根穿线不穿过数轴、奇次重根穿过数轴，需单独对重根次数奇偶性分析边界. 方程的实数根是_______． 【答案】/1 【分析】本题主要考查了高次方程．根据高次方程的解法计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴． 故答案为： 方程的根是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了解高次方程，逐步降次是解答本题的关键．先求出的值，再求x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴或． 故答案为：或 方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了解高次方程，能求出是解此题的关键．移项再将系数化为1得，在开方即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 方程的根是________. 【答案】 【分析】本题主要考查高次方程，由可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型二、无理方程 方程 的解为________． 【答案】 【详解】解： ∴ 解得：，经检验是原方程的解． 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法、解一元二次方程、解一元一次不等式组，关键在于通过平方去掉根号是关键，同时考虑无理方程有意义．以及对计算结果进行检验． 先求出x的取值范围，再对方程变形进行两次平方，然后解一元二次方程，再检验即可求解． 【详解】解：由题意，， 解得． 将变形，得：， 将方程两边平方可得：，即， 再两边平方可得：． 整理得：． 解得：或． 经检验：是原方程的增根，是无理方程的解． 故原方程的解为． 【方法总结】 解无理方程核心是去根号转化为有理方程，全程注意定义域限制，分类讨论遵循“不重、不漏、最简”三原则，分类触发点如下： (i)第一步先写出被开方数≥0、根式运算后等式两边取值范围的定义域约束，排除增根； (ii)两边平方去根号前，若等式一侧含参数导致正负不确定，分一侧≥0、<0两类讨论； (iii)多次平方去根号时，每一步都要校验解是否满足前一步定义域，最终结果必须回代原方程验根； (iv)若化简后得到含参数一元二次方程，按二次项系数、判别式、根的大小三层依次分类讨论. 方程的解是________． 【答案】 【分析】先将方程中的根式化简，然后通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤来求解方程即可． 【详解】解：化简得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了无理方程的解法，把原式变形为，然后两边平方，整理得，再把两边平方即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴或 ∴均符合题意． 故答案为：． 已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，算术平方根的非负性，由题意得出，再将两边平方求解即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴将方程两边同时平方可得：， 即， ∴， ∴， 两边同时平方可得：， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）或， 故答案为：． 解方程： 【答案】或 【分析】先将原方程变形为，再因式分解变形为，则解方程和即可． 【详解】解： ∴，解得； 或 ， 解得， 经检验，是增根，、是原方程的解， ∴原方程的解为或． 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，解题的关键是熟练掌握无理方程的解法． 通过整理，两边平方，将无理方程化为有理方程，解有理方程，检验，即可． 【详解】解： 原方程可变形为：， 两边平方，得：， 化简整理，得： 两边平方，得：， 解得：， 检验：把分别代入原方程两边， 左边，右边，左边右边， 可知，是原方程的根． 题型三、分类讨论解绝对值不等式 解不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：分和两种情况去绝对值符号求解即可；法二，利用绝对值的几何意义即可求解； （2）法一：分和两种情况，结合绝对值的几何意义求解即可.法二：分和两种情况求解即可. 【详解】（1）解法一：当，即时，原不等式可化为，解得； 当，即时，原不等式可化为，解得； 综上所述，原不等式的解为. 解法二：原不等式可化为，解得. （2）解法一：当，即时，原不等式显然无解； 当，即时，原不等式等价于，解得. 故原不等式的解为 解法二： 或 解得或 故原不等式的解为. 使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 【答案】 【分析】就、、分类讨论后可得x的取值范围. 【详解】当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 综上，使得不等式等号成立的x的取值范围是. 故答案为：. 【方法总结】 分类讨论解绝对值不等式核心是按绝对值内式子的正负拆绝对值符号，分类讨论遵循“不重、不漏、最简”三原则，分类触发点如下： (i)先令绝对值内代数式=0，求出零点，用零点划分实数区间，每个区间内绝对值式子可直接去符号； (ii)若零点含参数、零点大小不确定，需对参数划分区间比较零点先后顺序； (iii)分段求解后取各区间解集与对应区间的交集，最后把所有分段有效解集取并集； (iv)若不等式两侧均含绝对值，可先移项再划分零点区间，避免盲目平方扩大范围. 关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】去绝对值分类讨论即可解出不等式. 【详解】当时，原不等式化简为，解得，又因为，则无实数解； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以. 综上原不等式解集为. 故答案为：. 不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】讨论的符号去绝对值，进而运算求解即可. 【详解】因为， 等价于或，解得或无解， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 不等式的解集为________ 【答案】 【分析】根据绝对值内式子的正负性，分情况去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式求解即可. 【详解】令，解得， 则当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得. 故不等式的解集为. 故答案为： 不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】对的取值进行分类讨论进而去掉绝对值，再求解不等式. 【详解】当时，原不等式可化简为，解得； 当时，原不等式可化简为，即，故此时不等式无解； 当时，原不等式可化简为，所以． 综上，不等式的解集为． 题型四、图象法解绝对值不等式 已知函数，． (1)在给出的坐标系中画出函数的图像； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)作图见解析 (2)． 【分析】（1）根据绝对值函数分区间去绝对值后，写成分段函数，即可作出图像； （2）设，由关于的不等式恒成立，则且，得出，画出的大致图像，则满足即可，解得不等式即可求得答案． 【详解】（1）由题得，， 画出的图像如图所示： （2）设， ， ，且， ， 画出的大致图像， 由图像知，若恒成立， 则，即， ， 故实数的取值范围为． 【方法总结】 图象法解绝对值不等式核心是数形结合，通过函数图象位置关系直观求解，分类讨论遵循“不重、不漏、最简”三原则，分类触发点如下： (i)把不等式两边分别构造为两个函数（绝对值函数）、（常函数/一次函数等），画出分段折线/直线图象； (ii)先求两个函数交点横坐标，交点是解集区间分界点，若交点含参数需讨论交点位置； (iii)根据题目“/”的要求，观察图象上下位置对应的x范围； (iv)若绝对值函数斜率含参数，分斜率正负、斜率相等情况讨论图象倾斜方向与交点个数. （1）画出函数的图像； （2）解不等式． 【答案】（1）图像见解析；（2）. 【分析】（1）求出函数，由此能作出函数的图像． （2）令，，将函数的图像向左平移1个单位，可得函数的图像，由，能求出不等式的解集． 【详解】（1）函数， 作出函数的图像如图： （2）令，， 将函数的图向左平移1个单位，可得函数的图像，如图所示， 由，解得， 不等式的解集为． 设函数. (1)求不等式的解集； (2)画出图像，求函数最小值. 【答案】(1) (2)图见解析，1 【分析】（1）按，，分类讨论，画出图象，观察即可得的解集； （2）由图像可知的最小值. 【详解】（1） 如图所示， 当时，解得；由解得， 由图可知不等式的解集为 （2）由图可知当时，， 题型五、分式不等式 不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式组，结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】分式不等式等价于：，即. 解得或. 故不等式的解集为或. 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式化简为，即，且. 解得或. 即不等式的解集. 【方法总结】 解分式不等式核心是等价转化为整式不等式，严格保证分母不为0，分类讨论遵循“不重、不漏、最简”三原则，分类触发点如下： (i)移项通分统一一侧为分式，等价转化为（为>、<、≥、≤），不能直接两边乘分母； (ii)若分子/分母含参数导致根大小不确定，对参数分界点讨论根的先后顺序； (iii)若分子二次项系数含参数正负不定，分系数>0、=0、<0三类讨论抛物线开口； (iv)若分子二次判别式符号不定，分、、三类判断实根有无，再结合分母零点划分区间求解. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，化分式为整式，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】由，整理可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由，得，即，也即. 所以，解得， 所以该不等式的解集为. 故选：C. 关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将分式不等式转化为二次不等式，再结合分母不为零，即可得出正确解集. 【详解】, 所以且，解得或， 所以的不等式的解集为 故答案为： 方程的根是______． 【答案】，， 【分析】本题考查了解高次方程，通过因式分解化为低次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，，． 故答案为：，，． 关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再由一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为等价于，由得， 即的解集为， 所以不等式的解集为. 不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】利用零点分段法分解成三个不等式组，求解后再求并集． 【详解】∵， ∴不等式可化为： ①，或②，或③， ①无解，解②得，解③得， 所以， 所以原不等式的解集为． 故答案为： 解方程． 【答案】，，，． 【分析】本题考查了解高次方程和一元二次方程，根据题意可知，则，转化为，设，则，求出或，即或，然后转化为一元二次方程或，最后求解检验即可，熟练掌握知识点的应用及换元思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ， ， 令， ∴， 整理得：， 解得：或，即或， 整理得：或， 解得：，，，， 经检验：，，，是方程的解， ∴，，，． 解方程： 【答案】，，， 【分析】方程两边同时除以得：，变形后令，则方程可化为，求得，，则可得或，方程两边再同时乘以得到两个关于的一元二次方程，分别求解即可． 【详解】解：由方程可知， 方程两边同时除以得：， ∴， 令， 则， ∴， ∴方程可化为，整理得：， 解得：，， ∴或， 方程两边同时乘以得：或， 解得：，，，． 【点睛】本题考查了解高次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查了无理方程的解法．将方程两边平方整理得到关于x的含有根号的无理方程，再次将方程两边平方得到一个一元一次方程，然后求解即可 【详解】解：整理得， 平方得， 整理得， 平方得， 解得， 经检验是原方程的根， 所以原方程的根为． 解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式等价变形后通过因式分解即可求得其解集； （2）将分式不等式化成一元二次不等式求解即得； （3）将不等式等价变形后，根据对应方程的根的判别式小于零，结合图象即得不等式解集. 【详解】（1）因， 则原不等式的解集为； （2）因， 则原不等式的解集为； （3）因， 因方程的判别式，故原不等式的解集为. 已知函数． (1)画出的图象； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)作图见解析； (2). 【分析】（1）根据绝对值的性质把函数的解析式化成分段函数解析式形式进行求解即可； （2）利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以的图象如图所示： （2）由（1）所画图象可知， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 所以当或时，， 所以由可得，或，解得，或 故不等式的解集为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $