衔接点03 根式有理化的补充（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 衔接点03根式有理化的补充 学业要求·思维衔接坊 初中视角 高中展望 1根式运算层面：仅掌握基础二次根式化简、简单分 母有理化，缺少多层复合根式、双重根式配方变形 1根式拓展层面：有理化延伸至多层复合根 训练 式、双重根式配方，结合分数指数幂实现根式 与指数式互化， 2.代数式层面：仅数字系数根式计算，不涉及含参根 2代数运算层面：高频考查共根式乘积、倒 式、 x+ x倒数型整体变形 数和平方变形，分子有理化、裂项相消是常规 解题手段，大量出现含参根式求值， 3思维要求：以固定数值运算为主，很少结合自变量 3思维要求：化简根式必须依据自变量范围分 取值范围对V口a去绝对值，无联动不等式、函 类去掉绝对值，根式运算常结合函数定义域、 不等式综合设问，逻辑约束更多 数的综合题型 4书写要求：每一步变形标注根式有意义的定 4.书写要求：解题步骤可简略，只需算出最终结果， 义域，去绝对值分段写明取值区间，多步有理 不强制标注被开方数非负、变量取值范围等前提条 化过程完整，不随意跳步， 件. 衔接引导 1夯实有理化基础，熟练单项、两项共轭根式化简，拓展多层复合根式分母有理化方法 2.掌握Vm±2Wn型双重根式配方技巧，提升复杂根式变形能力： 3.强化整体代换思路，利用共轭根式乘积定值、倒数和平方变形简化条件求值问题 4规范解题书写习惯，化简前标注定义域，去绝对值完整分类讨论，有理化步骤完整留存 知识过渡·方法训练营 考点阐释 DDD 知识点1 数的开方 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)平方根 x2=a(a≥0) ±Va(a≥0) 如果 ,那么叫做的平方根，记作 0 a 正数的正的平方根与的平方根叫做的算数平方根，记作 (a)=a 运算性质：① ；② (2)立方根 x'=a x=Va 如果，那么叫做的立方根，记作 ,任何实数都有一个与之同号的立方根. (la)=aa =aa=-a 运算性质：① ;② ③ (3)次方根 X=“”是大于1的整数)，那么'叫做“的”次方根 如果 n a n a n ±a(a20) 为奇数时，的次方根记作：为偶数时，的次方根记 n a(a≥0，n>l,neN) 正数的正次方根与的次方根叫做的次算术根，记作 0 0 性质：正数有一个正奇次方根；负数有一个负奇次方根，的奇次方根为· 0 0 正数的偶次方根有两个，互为相反数，的偶次方根是，负数没有偶次方根 a≥0n a"=(a)"=aa<0n a"=a=-a 运算性质：①当，为偶数时， :②当，为偶数时， 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点2 二次根式 √a(a20) (1)定义：形如 的式子叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫同类二次根式. a -al- a(a≥0)， a≥0 -a(a<0). (2)性质：① ；② a √a.b=√ab(a≥0，b20) a≥0，b>0) (3)运算：（乘法运算） (除法运算) abab (a≥0，b>0) b (4)分母有理化： (⑤)最简二次根式：同时满足①被开方数的因数是整数，因式是整式：②被开方数中不含开得尽的因数或因 式的二次根式，叫做最简二次根式在进行二次根式的运算时，常先将二次根式化成最简二次根式后再进行 计算 知识点3 幂的运算 a"=a×a×..×g n个a (1)正整数指数幂： a°=1(a≠0) (2)零指数幂 ap= (a≠0，peZ) a (3)负整数指数幂： an=a"(a>0,m,neZ,n>1) (4)正分数指数幂： 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m 1 a n=- (a>0,m,n∈Z,n>1) an 负分数指数幂： am.a”=am+"(m,n∈Z）(am)”=amm=(a")"(m,n∈Z 整数指数幂的运算性质：① ；② am (ab)"=a"b"(n∈Z =am-"(m,n∈Z) a" ③ ；④ m n 上述整数指数幂的运算性质，对于有理数指数幂也同样适用，即，为有理数时上式成立 项目闯关·题型对点练 题型1 分母（分子）有理化 例P √3÷(3-V3) 计算： 【方法总结】 找准有理化因式，形如W下士b少的根式，配对共轭根式化简，计算先化简根式，再合并同类二次根式。马 错点为有理化漏乘分子、符号出错，不可直接拆分根号运算 变式①>化简： (W3+V2)2026(V3-√2)2027 式2化简下列各式： 13 V9-45 V35-8v7+4V3 (1) (2) 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V+ -2(0<x<1) (Ja+b+1)(1-Va+b)-(a+b)2 (3) (4) va 哈 a-√aba+√ab (5) 题型2比较根式大小 例2> 试比较下列各组数的大小： 2 2-i-√0 6+42√2-V6 (1) 和 (2) 和 【方法总结】 常用分子有理化处理Vn+1-V 型根式.把差值式化为分式，依靠分母大小判断数值.易错点为仅凭被开 方数直接判定大小，忽略差值分式的变化规律 5/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式①●比较大小： 15-1414-√13 和 3 变式2> V8+52W3-V8 题目：比较和 的大小 题型3根式性质应用 例3化简：（ V9-4V5 V+-20<< 【方法总结】 核心公式V0,化简完全平方根式先保留绝对值，结合自变量范图去绝对值.易错点为直接去掉绝对 值，不区分自变量正负，化简符号出错 变式1>化简： V8-215 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式②>化简： V+京+2(>0 变式3>化简： V14-65 题型4幂的运算 例④计算：) cur- 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .V√ x.x (2) 【方法总结】 统一使用有理数指数幂运算性质.优先统一底数，逆用积的乘方、幂的乘方简化计算.易错点为混淆负指数 幂、分数指数幂公式，负数底数不分次方奇偶. 圆>可-+02s 圆2>*：155可-得-_ 式3》计算：v -(9 题型5根据条件求值 vm、 0<m<1m+m1=6 例⑤D己知 √m 且 ,求 的值 【方法总结】 8/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 Vm- m m 注意整体法思想的使用，不直接求解，而是将 作为整体进行考虑. Va-1 变式①>己知】 .0<a<1a+a1=10 a ,求 的值. VB+1 b>1b+b1=7 变式2>己知”且 求 的值 23x+23x 式3>设 2x=52+2x ,求 的值 综合演练·能力进阶场 1. 下列式子是二次根式的是() A.va B C.va+l D.Va-1 9/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 下列二次根式中，最简二次根式的是() B.v0.5 c.√5 D.√50 V10+V26-√15-√39 3团V10+√26+V15+√39() A2v6-5 B,2V6+5 c.25-4 D 2W5+4 □已知a>0,则a匠的分数指数幂形式为《) B.a C.a D.a 6+27+L° (100 @将下列式子化为最简二次根式： V12b Va2b(a≥0) 4xy (x<0) (1) ;(2) :(3) ⑦化简下列各式： (Wa+Vb-e)(Wa-√b-Vc) (1) (2) 10/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m√9m+10m 25 2m2 2x-2y x-y(x>y>0) V2x2y (3) (4) 8化简下列各式： V8-√28 (1) 1,11 2+1+5+5+4+5++100+网 (2) 11/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -2-+2 (4) xx+xy x+xy+y xy-y2 xvx-yy (5) 〔6a a b a+b √ab+b√ab-a√ab (6) +b=V√W2021+√2020a-b=V√2021-√2020 9己知 ,求ab的值. 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 Vx+2+√x-2 x=a+二(a>0) 四已知 x+2-Vx-2 ,化简： 13/13命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 衔接点03根式有理化的补充 学业要求·思维衔接坊 初中视角 高中展望 1根式运算层面：仅掌握基础二次根式化简、简单分 母有理化，缺少多层复合根式、双重根式配方变形 1根式拓展层面：有理化延伸至多层复合根 训练 式、双重根式配方，结合分数指数幂实现根式 与指数式互化， 2.代数式层面：仅数字系数根式计算，不涉及含参根 2代数运算层面：高频考查共根式乘积、倒 式、 x+ x倒数型整体变形 数和平方变形，分子有理化、裂项相消是常规 解题手段，大量出现含参根式求值， 3思维要求：以固定数值运算为主，很少结合自变量 3思维要求：化简根式必须依据自变量范围分 取值范围对V口a去绝对值，无联动不等式、函 类去掉绝对值，根式运算常结合函数定义域、 不等式综合设问，逻辑约束更多 数的综合题型 4书写要求：每一步变形标注根式有意义的定 4.书写要求：解题步骤可简略，只需算出最终结果， 义域，去绝对值分段写明取值区间，多步有理 不强制标注被开方数非负、变量取值范围等前提条 化过程完整，不随意跳步， 件. 衔接引导 1夯实有理化基础，熟练单项、两项共轭根式化简，拓展多层复合根式分母有理化方法 2.掌握Vm±2Wn型双重根式配方技巧，提升复杂根式变形能力： 3.强化整体代换思路，利用共轭根式乘积定值、倒数和平方变形简化条件求值问题 4规范解题书写习惯，化简前标注定义域，去绝对值完整分类讨论，有理化步骤完整留存 知识过渡·方法训练营 考点阐释 DDD 知识点1 数的开方 1/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)平方根 x2=a(a≥0) ±Va(a≥0) 如果 ,那么叫做的平方根，记作 0 a 正数的正的平方根与的平方根叫做的算数平方根，记作 (a)=a 运算性质：① ；② (2)立方根 x'=a x=Va 如果，那么叫做的立方根，记作 ,任何实数都有一个与之同号的立方根. (la)=aa =aa=-a 运算性质：① ;② ③ (3)次方根 X=“”是大于1的整数)，那么'叫做“的”次方根 如果 n a n a n ±a(a20) 为奇数时，的次方根记作：为偶数时，的次方根记 n a(a≥0，n>l,neN) 正数的正次方根与的次方根叫做的次算术根，记作 0 0 性质：正数有一个正奇次方根；负数有一个负奇次方根，的奇次方根为· 0 0 正数的偶次方根有两个，互为相反数，的偶次方根是，负数没有偶次方根 a≥0n a"=(a)"=aa<0n a"=a=-a 运算性质：①当，为偶数时， :②当，为偶数时， 2/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点2 二次根式 √a(a20) (1)定义：形如 的式子叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫同类二次根式. a -al- a(a≥0)， a≥0 -a(a<0). (2)性质：① ；② √a.b=√ab(a≥0，b20) g(a2≥0，b>0) (3)运算：（乘法运算） (除法运算) ab√ab (a≥0，b>0) b (4)分母有理化： (⑤)最简二次根式：同时满足①被开方数的因数是整数，因式是整式：②被开方数中不含开得尽的因数或因 式的二次根式，叫做最简二次根式在进行二次根式的运算时，常先将二次根式化成最简二次根式后再进行 计算 知识点3 幂的运算 a"=a×a×..×g n个a (1)正整数指数幂： a°=1(a≠0) (2)零指数幂 ap= (a≠0，peZ) a (3)负整数指数幂： an=a"(a>0,m,neZ,n>1) (4)正分数指数幂： 3/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m 1 a n=- (a>0,m,n∈Z,n>1) an 负分数指数幂： am.a”=am+"(m,n∈Z）(a")”=am"=(a")"(m,n∈Z)） 整数指数幂的运算性质：① ;② am (ab)”=a"b"(n∈Z -=am-"(m,n∈Z) a ③ :④ m n 上述整数指数幂的运算性质，对于有理数指数幂也同样适用，即，为有理数时上式成立. 项目闯关·题型对点练 题型1 分母（分子）有理化 例1P V3÷(3-V3) 计算： 解：方法一 、V5V3x(3+V5)35+3_3(5+)_5+1 3-33-V3)3+3)9-36 2 原式 方法二 V3 √5 1 5+1 V3+1 3-V3V53-)3-1(N3-103+)2 原式 【方法总结】 我准有理化因式形厅士6下的根式，配时共根式化简，计实充化两根气，再合并同夫二次根气易 错点为有理化漏乘分子、符号出错，不可直接拆分根号运算. 4/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式①>化简： (V3+V2)2026(3-√2)2027 解： 原式=(3+V2)2026×(5-V2)226×(3-V2) =[(5+V2w3-2)]x(W5-2) =1226×(√3-V2) =3-√2 变式②>化简下列各式： V9-45 (1) 13 V35-8W7+4W3 (2) V2+2-2(0<x< (3) (a+b+1)(1-Va+B)-(Va+B)2 (4) a a-Jab a+ab (5) =V5-45+4=VW5}-2×2×5+22=V(W5-2)2V5-2=√5-2 解：(1)原式 V7+4V3=V22+2×2xV3+(5)2=V(2+V5)2-2+V3 (2)因为 5/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V35-8(2+V3)=V19-83=V42-2×4×V3+(N3)2=V(4-V3)=4-V3 13 4-V3 4+5 所以原式 (3)原式 1>1>x 1-x 0<x<1 因为 :所以 ，所以原式 =1+Vb)2-(a)2-(a+2√ab+b)=-2a-2√ab+2Wb+1 (4)原式 a √a 11 (a+b)+(a-b)2Ja Ja(Ja-JB)Ja(a+B)Ja-B Ja+B (a+B)va-1B)a-b (5)原式 题型2比较根式大小 例2P 试比较下列各组数的大小： o,im-0 和 2 6+422-V6 (2) 和 2-m-2-面_M2-而2+面.1 1 V12+V11 V12+ 解：(1)因为 6/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m-0=i-i0_而-io而+i0)。 1 V11+V10 V11+V10 V12+W11>V11+V10 又因为 √12-i<1-√10 所以 22-6=25-6_22-V622+6.2 2W2+V6 2W2+√6 (2)因为 4>22 6+4>V6+2√2 2<22-6 √6+4 又因为 ，所以 ，所以 【方法总结】 带用分子有理化处理+-厅型根式把差值式化为分气，依套分母大小判断数位.易错点为仅凭被开 方数直接判定大小，忽略差值分式的变化规律. 变式1>比较大小： 5-1414-√3 和 解：原式= 5-4-5-i4_5-i4i5+④-】 1 V15+V14 V15+V14 4--4E-M4-3M4+③)-1 1 V14+V13 √14+√13’√5+V14>V14+V13 又 15-V14<14-√13 所以 3 变式2题目：比较 8+52W3-√⑧ 和 的大小 7/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：原式= 25-Vs-25-8-25-V825+v8_12-8 4 1 2W3+V8 23+V82W3+⑧'又5>25，则 V8+5>8+2W3 3<23-8 所以V8+52V3+V⑧，即√⑧+5 题型3根式性质应用 例3》化简：四 9-4V5 13-20<x< :(2) V5-4V5+4=VW5)2-2×2×V5+22 解：(1)原式 =V(2-√5)2=2-V5=5-2 1>1>x (2)原式 ,因为 则 所以原式 【方法总结】 核心公式V口，化简完全平方根式先保留绝对值，结合自变量范围去绝对值.易错点为直接去掉绝对 值，不区分自变量正负，化简符号出错 8/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式①>化简： V8-25 解： V8-25=V5-2W15+3 =V(5)2-2V5V3+(52 =V5-V5)2 5-3 =√5-5 变式2>化简： V++2x>0 解： r++2 12 x+ ,1 =K+ x+1>0 =x+1 .x>1 因为，所以 ，故原式 式3化简： V14-65 解： 9/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V14-6V5 =V9-65+5 =V32-23√5+（√57 =V3-5) 3-5 =3-V5 题型4幂的运算 例④>计算：( e4-e x.xx x.x (2) 14 3 29 100=102 18 解：(1)原式 2 11 2 3 =x3.(xx2)2 x3.x4 177 7 =x126=x4 X·x6 (2)原式 【方法总结】 统一使用有理数指数幂运算性质.优先统一底数，逆用积的乘方、幂的乘方简化计算，易错点为混淆负指数 幂、分数指数幂公式，负数底数不分次方奇偶. 【答案】4 10/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆2》米：15（迈gj-目-_ 【答案】38 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【1ta+-得的 a+5e間 -[3)+254x27)-2+6=38 度式3>计算：√ -2+(- 【答案】4 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可 【详解】原式 故答案为：4 题型5 根据条件求值 √m- 1 例⑤P己知】 ,0<m<1m+m=6 m 且 ,求 的值 Vm-1三m+12=m+m-2左6-24 m 解：因为 11/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 >1 Vm-1 <0 Vm-1 =-2 0<m<1 0<Vm<1√m Vm m 又因为 所以 ,则 ,所以 【方法总结】 m-1 m m 注意整体法思想的使用，不直接求解，而是将 作为整体进行考虑. √a- 1 0<a<1a+a1=10 式①◆己知 a 且 ,求 的值. 解： =a+2=a+a-2=10-2=8 0<a<10<a<16>1 因为，所以 a-1<0 a-↓=-8=-22 a 所以 国2》：知>1R+6=7. 6+1 v ，求 的值 解： -r2-r2-73 b>1√b>161 、06+6≥0 因为，所以 12/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6+53 所 23x+23x 变式3》设 2x=52+2x ’求 的值 (2+222-1+22)=2+22-1 2x+2x 解：原式可化为 1 =V5+ 1 -1=-(6v5-5) 42=5(22x)2=522=√5 √5 由已知，得 所以原式 综合演练能力进阶场 1. 下列式子是二次根式的是() A.va B.阿 C.va+l D Va-1 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义：形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，即可解答 时，哈 【详解】A、当a≥0时 va 是二次根式，当a<0时，V设有意义，放选项A不符合思意： 7 B、V不是二次根式，故选项B不符合题意： C、由于a+l>0,故Va+l是二次根式，故选项C符合题意； D、当021时，是=次限式，当a<1时，a 没有意义，故选项D不符合题意： 故选：C 2☑ 下列二次根式中，最简二次根式的是() 13/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.√0.5 C.5 D.V50 【答案】C 【分析】逐项检查是否满足最简二次根式的条件即可 【详解】A项，被开方数含分母，不是最简二次根式， 下_5 V5可作如下化简： 5,故A错误： B项，被开方数为小数，不是最简二次根式， 12 V0.5可作如下化简： 、05=22,故B错误： C项， ，满足最简二次根式条件，是最简二次根式，故C正确： D项，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式， V50可作如下化简： V50=V2×52=5V ,故D错误： 故选：C √10+√26-√15-39 3V10+V26+15+V39(), 2W6-5 B.2V6+5 c.2v5-4 D.25+4 【答案】A 【分析】分子、分母通过提取公因式化简，再结合分母有理化即可求解 【详解1因为而+26-V-39=(0+26)-5+V59) =√2（√5+3）-√3(5+V13)=(2-V3)(5+√13) √10+√26+√15+V39=(W10+V26)+(15+√39) =2(5+√3)+√3(5+13)=(W2+V5)(5+3) 14/21 命学科网·上好课 www.zx×k.com 上好每一堂课 1o+√26-√5-√39_(W2-√5)(5+13) 所以V10+V26+V15+39(W2+V3)(√5+√13) =5-52-®=26-5 (2+V3)(W2-V3) ④已知a>0,则aa 的分数指数幂形式为() 2 A.a3 B.a2 C.a3 D.a 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】 故选：A 2 5 64+273+ 1)° .100 【答案】12 2 0 64+273+ =2+9+1=12 【详解】 100 回将下列式子化为最简二次根式： V12b Va2b(a≥0)V4x5y(x<0) (1) (2) :(3) V12b=V4×3b=2√3b (1)解：原式= Va'b-alb=aWb(a≥0) (2)解：原式= 15/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4xy=21xy=-2xy (x<0) (3)解：原式= 团化简下列各式： (a+B-Jc)(Ja-JB-Vc) (1) 解： 原式=[Wa-)+vb][Wa-C)-b] =(Na-C)2-(b)2 =a-2vac+c-b =a+c-b-2ac (2) 解： 原式=1÷3-V2 √6 6 =5-2 =V6(W3+V2) =3V2+23 √9m+10mV25 -2m2、 3 3) 解： 16/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 原武-g3m+10m-2m. 5 =m√m+2mVm-2mVm =m√m 2x-2y x-Y(x>y>0) 2x2y (4) 解： 原式= 2(x-y)2x2y x-y =4xy =2xy ⑧化简下列各式： V8-√28 (1) 解： 原式=√7-2√7+1 =(7-102 √7-1川 =7-1 111 2+13+2+4+5++、 100+V99 (2) 解： 17/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 原式=(2-1)+(3-√2)+（√4-√5）+.+(100-V99) =√100-1 =10-1 =9 (3) 解： 原式=65-25-2-) =(5)5 =-3 (4) 解： 原式=4v -2-51+(5-2) 3 =4V3 3 -5-2)+5-2 =4v3 3 xx+xy x+x+y x-y2 xx-yy (5) 解： 18/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 原式-(F+ x+xy+y y(x-y) (Wx-√y)x+Vy+y) 1 y(Vx-√y)Vx-√y 、 x-y y(x=y) _t y Va+b-Vab a b a+b 、vab+bvab-a√ab (6) 解： 原式 a+b b a+b a+6[b(Wa+历a(Wb-ab a+b Jab(a+b) √a+Vbb-a =b-√a a+b=VW2021+V2020a-b=V√2021-√2020 9己知 ,求ab的值. 解： (a+b)2=V2021+√2020① (a-b)2=V2021-√2020②①-② 得： 4ab=2V2020ab=V2020 2 19/21 It/07 T黟 DD个Z g) + 平判 I>D>0 =乙-x个 1=询· I=0 坠 ”?1 +叭 平 叭++叭 唑-小= I<D 头4股9 竿+g件-g-片-学+g小+ +D=乙+x 拇 鳃形‘ 乙-x\-+x 此已o 乙-x个+乙+x个 0<)+”=x 澂系一每丁 U03'XXXZ·MMM 盖丝丁·侧健右四 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a, a>1 原式= 1, a=1 0<a<1 a 21/21