衔接点02 判别式与韦达定理的补充（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

衔接点02 判别式与韦达定理的补充 初中视角 高中展望 1. 一元二次方程层面：仅学习实根判别式，能判断有无实数根；掌握基础韦达定理，只做不带参数、简单代数式求值； 2. 代数式层面：仅基础因式分解、整式分式简单运算，不含多参数、高次变形； 3. 思维要求：只做固定数字系数方程计算，极少分类讨论；不结合函数、图像，只孤立解方程； 4. 书写要求：只需算出最终答案，步骤简略，不要求严谨逻辑推导。 1. 方程拓展层面：判别式延伸至含参一元二次方程、二次函数零点、直线与二次曲线交点；韦达定理结合根的分布（正负根、根大于/小于定值、区间根），增加参数范围求解； 2. 代数运算层面：大量含参恒等变形，平方和、倒数和、立方和等二级结论高频使用，整体代换、构造方程是常规方法； 3. 思维要求：强制分类讨论（二次项系数是否为0、正负、根的范围），数形结合（二次函数图像判断根分布），综合不等式、集合、命题； 4. 书写要求：解题必须分段写清前提（一元二次方程、），逻辑闭环，多条件联立不等式组规范书写。 衔接引导 1. 判别式综合应用：结合二次函数、解析几何直线与曲线相交问题，处理含参方程根的存在性； 2. 韦达定理拓展：熟记各类两根代数式变形二级结论，解决根的分布、构造新方程、同构构造方程题型； 3. 综合思维训练：联立判别式、韦达定理、不等式组解决根的范围问题，结合命题、集合综合设问； 4. 严谨逻辑书写：多限制条件分步列式，分类讨论完整不重不漏，论证过程步步有据。 考点阐释 一元二次方程判别式 对于一元二次方程，用配方法可以将其变形： 因为，所以. （1）当时，是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 （2）当时，为零，因此，原方程有两个相等的实数根； （3）当时，是一个负数，而一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。 由此可知，一元二次方程的根的情况可以由来判定，我们把叫作一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”来表示. 综上所述，对于一元二次方程， 1.当时，方程有两个不相等的实数根； 2.当时，方程有两个相等的实数根； 3.当时，方程没有实数根. 韦达定理的两种推导 另外，若一元二次方程有两个实数根，则其根与系数之间存在下列关系： 推导过程： 方法一： 由判别式分情况，当时，方程两根为 根式项相互抵消，得到和的关系： 得到积的关系： 方法二：因式分解法推导 若一元二次方程两根为，则方程可因式分解为 展开左侧： 与原式对应系数相等： 1.一次项系数： 2.常数项： 对一元二次方程，若存在两个实数根，则 由韦达定理还可得到： 韦达定理常用的二级结论 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型1 一元二次方程方程实数根的情况 （2025•上海金山区期中）已知，则关于的方程（　　） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【方法总结】 解题先锁定一元二次前提.再计算判别式判断根个数.含参题型需同步限定二次项系数不为0. 易错点：直接忽略退化为一次方程的分类情况.仅用无法完整判定方程类型. 已知关于的一元二次方程 ，则该一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当 时，方程没有实数根 B．当 时，方程有两个相等的实数根 C．当 时，方程有两个不相等的实数根 D．方程根的情况与m的值无关 题型2 利用韦达定理求参数的取值范围或值 （2024•上海闵行区月考）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． （2025•上海长宁区期末）方程的两根之积为，则 　 　． 【方法总结】 先列、列式求解参数.求出参数后必须回代验证.根分布问题需联立和、积、判别式多重不等式. 易错点：省略实根检验，出现无实根增根. （2025•上海浦东新区期末）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是__________ ． 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则实数的值为　 　 ． （2025•上海普陀区期中）方程的两个实数根为，，若，则实数 　 　． （2025•上海宝山区期中）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为 　 　． （2025•上海浦东新区期中）已知方程有两个实数根，，满足，则实数的值为__________． （2025•上海杨浦区月考）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是　 　 ． 题型3 韦达定理二级结论运用 （2025•上海松江区期末）已知方程的两个根为，，则 　 　． （2025•上海浦东新区期末）已知方程的两根为，，则　 　． 【方法总结】 熟记恒等变形：、.整体代换消元，不单独求根. 易错点：未先确认，直接套用公式计算. （2025•上海奉贤区期末）已知方程的两根为、，则　 　 ． （2025•上海宝山区期中）若，为方程的两个根，则　 　 ． （2025•上海金山区期中）已知，关于的方程的两个实数根为，，且，则　 　． （2025•上海普陀区月考）已知、且，若，，则的值为　 　 ． 题型4 判别式与韦达定理的综合 （2025•上海宝山区期末）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，． （1）若、均为正根，求实数的取值范围； （2）若、满足：，求实数的值． （2024•上海松江区期末）已知关于的一元二次方程的两个根为、，其中，且． （1）求实数的值； （2）求和的值． 【方法总结】 根分布、多条件综合需三层约束：、、根和与积不等式.多问求出参数一律检验判别式.可结合二次函数图像辅助分析区间根. 易错点：遗漏二次项限制，不等式约束条件写不全. （2025•上海松江区月考）已知，是方程的两根． （1）求的值； （2）求的值． （2025•上海黄浦区月考）已知集合，集合，，． （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． （2025•上海月考）已知，是一元二次方程的两个不等实数根． （1）若，均为正根，求实数的取值范围； （2）求使的值为整数的的整数值． （2025•上海宝山区期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是________ ． （2025•上海杨浦区月考）设，是方程的两个实数根，则　 　 ． （2025•上海浦东新区期中）已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是__________ ． （2025•上海浦东新区期中）已知方程的两个根为、，则________. （2024•上海奉贤区期末）设表示不超过的最大整数，方程的最小解与最大解的和为　 　． （2025•上海浦东新区期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是　 　． （2025•上海虹口区期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 　　 　． 已知关于x的一元二次方程，根据下列条件，分别求出k的取值范围． (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根． （2025•上海普陀区期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点02 判别式与韦达定理的补充 初中视角 高中展望 1. 一元二次方程层面：仅学习实根判别式，能判断有无实数根；掌握基础韦达定理，只做不带参数、简单代数式求值； 2. 代数式层面：仅基础因式分解、整式分式简单运算，不含多参数、高次变形； 3. 思维要求：只做固定数字系数方程计算，极少分类讨论；不结合函数、图像，只孤立解方程； 4. 书写要求：只需算出最终答案，步骤简略，不要求严谨逻辑推导。 1. 方程拓展层面：判别式延伸至含参一元二次方程、二次函数零点、直线与二次曲线交点；韦达定理结合根的分布（正负根、根大于/小于定值、区间根），增加参数范围求解； 2. 代数运算层面：大量含参恒等变形，平方和、倒数和、立方和等二级结论高频使用，整体代换、构造方程是常规方法； 3. 思维要求：强制分类讨论（二次项系数是否为0、正负、根的范围），数形结合（二次函数图像判断根分布），综合不等式、集合、命题； 4. 书写要求：解题必须分段写清前提（一元二次方程、），逻辑闭环，多条件联立不等式组规范书写。 衔接引导 1. 判别式综合应用：结合二次函数、解析几何直线与曲线相交问题，处理含参方程根的存在性； 2. 韦达定理拓展：熟记各类两根代数式变形二级结论，解决根的分布、构造新方程、同构构造方程题型； 3. 综合思维训练：联立判别式、韦达定理、不等式组解决根的范围问题，结合命题、集合综合设问； 4. 严谨逻辑书写：多限制条件分步列式，分类讨论完整不重不漏，论证过程步步有据。 考点阐释 一元二次方程判别式 对于一元二次方程，用配方法可以将其变形： 因为，所以. （1）当时，是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 （2）当时，为零，因此，原方程有两个相等的实数根； （3）当时，是一个负数，而一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。 由此可知，一元二次方程的根的情况可以由来判定，我们把叫作一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”来表示. 综上所述，对于一元二次方程， 1.当时，方程有两个不相等的实数根； 2.当时，方程有两个相等的实数根； 3.当时，方程没有实数根. 韦达定理的两种推导 另外，若一元二次方程有两个实数根，则其根与系数之间存在下列关系： 推导过程： 方法一： 由判别式分情况，当时，方程两根为 根式项相互抵消，得到和的关系： 得到积的关系： 方法二：因式分解法推导 若一元二次方程两根为，则方程可因式分解为 展开左侧： 与原式对应系数相等： 1.一次项系数： 2.常数项： 对一元二次方程，若存在两个实数根，则 由韦达定理还可得到： 韦达定理常用的二级结论 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型1 一元二次方程方程实数根的情况 （2025•上海金山区期中）已知，则关于的方程（　　） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】根据已知条件及判别式，即可求解． 【解析】解：由，可得，即，且， 所以△， 所以关于的方程有实数根，但不能确定是否一定相等． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的根的判断，属于基础题． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【详解】方程是关于的一元二次方程， ， 又方程有两个不相等的实数根， ，解得， 综上，的取值范围为且． 【方法总结】 解题先锁定一元二次前提.再计算判别式判断根个数.含参题型需同步限定二次项系数不为0. 易错点：直接忽略退化为一次方程的分类情况.仅用无法完整判定方程类型. 已知关于的一元二次方程 ，则该一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】， 所以该一元二次方程有两个不相等的实数根． 一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【详解】∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当 时，方程没有实数根 B．当 时，方程有两个相等的实数根 C．当 时，方程有两个不相等的实数根 D．方程根的情况与m的值无关 【答案】C 【分析】原方程可化为，再利用根的判别式计算即可得. 【详解】∵原方程可化为， ∴， 方程根的情况与m的值有关，故D选项错误； 当时，即时，方程没有实数根，故A选项错误； 当时，即时，方程有两个相等的实数根，故B选项错误； 当时，即时，方程有两个不相等的实数根， ∴当时，方程必有两个不相等的实数根，故C选项正确． 题型2 利用韦达定理求参数的取值范围或值 （2024•上海闵行区月考）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】设方程的两根为，，由题意可得判别式非负，且，，再由韦达定理和不等式的解法，可得所求范围． 【解析】解：设方程的两根为，， 则，， 由题意可得， 等价为，即为， 解得， 故选：． 【点评】本题考查二次方程实根分布，注意运用韦达定理，考查转化思想和运算能力，属于中档题． （2025•上海长宁区期末）方程的两根之积为，则 　 　． 【答案】． 【分析】由两根之积为可知，再用韦达定理可得． 【解析】解：方程的两根之积为， 即方程是二次方程，则， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是基础题． 【方法总结】 先列、列式求解参数.求出参数后必须回代验证.根分布问题需联立和、积、判别式多重不等式. 易错点：省略实根检验，出现无实根增根. （2025•上海浦东新区期末）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是__________ ． 【答案】． 【分析】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数的取值范围． 【解析】解：由题意设方程的两根为，， 则解得， 实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，属于基础题． 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则实数的值为　 　 ． 【答案】． 【分析】先通过韦达定理将根的平方和转化为关于的方程，求解后结合判别式检验得到结果． 【解析】解：由韦达定理，得，， ， 由，得，即，解得或， 检验判别式△，当时，△，舍去；当时，△，符合条件． 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次方程的韦达定理、判别式的应用，属于基础题． （2025•上海普陀区期中）方程的两个实数根为，，若，则实数 　 　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可． 【解析】解：因为方程的两个实数根为，， 由根与系数的关系知，，， 所以， 解得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了方程根与系数关系的应用，属于基础题． （2025•上海宝山区期中）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为 　 　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合韦达定理，即可求解． 【解析】解：设该方程的两实根为，， 由题意可知，，， 关于方程的两实根的平方和为14， 则，解得或， 当时，方程，方程判别式小于0，方程无解，不符合题意，舍去， 当时，方程，方程判别式大于0，方程有解，符合题意， 综上所述，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题． （2025•上海浦东新区期中）已知方程有两个实数根，，满足，则实数的值为__________． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可解． 【解析】解：已知方程有两个实数根，， 则△，或， 则，， 又，则， 则， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． （2025•上海杨浦区月考）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是　 　 ． 【答案】或 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可． 【解析】解：命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有△，解得． 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲假乙真时，则有，解得； 当甲真乙假时，则有，解得． 所以实数的取值范围是或 【点评】本题考查不等式的解集的求法及分类讨论的思想，属于基础题． 题型3 韦达定理二级结论运用 （2025•上海松江区期末）已知方程的两个根为，，则 　 　． 【答案】3． 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解． 【解析】解：因为方程的两个根为，， 所以， 则 ． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题． （2025•上海浦东新区期末）已知方程的两根为，，则　 　． 【答案】． 【分析】由题意，利用韦达定理，变形求得结果． 【解析】解：方程的两根为，， ，， 则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题． 【方法总结】 熟记恒等变形：、.整体代换消元，不单独求根. 易错点：未先确认，直接套用公式计算. （2025•上海奉贤区期末）已知方程的两根为、，则　 　 ． 【答案】6． 【分析】结合方程根与系数关系即可求解． 【解析】解：由题意可得，，， 则． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了方程根与系数关系的应用，属于基础题． （2025•上海宝山区期中）若，为方程的两个根，则　 　 ． 【答案】4． 【分析】根据韦达定理得出，再应用指数幂运算律计算求解． 【解析】解：已知，为方程的两个根， 由根与系数的关系可得， 则． 故答案为：4． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，是基础题． （2025•上海金山区期中）已知，关于的方程的两个实数根为，，且，则　 　． 【分析】根据韦达定理即可求解． 【解析】解：关于的方程的两个实数根为，， 由韦达定理可得，，， 且△，即， 因为， 则，解得，即， 所以． 故答案为：30． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题． （2025•上海普陀区月考）已知、且，若，，则的值为　 　 ． 【答案】． 【分析】由已知可得和是的两根，进而求解结论． 【解析】解：因为、且，，， 可得和是的两根， 故，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． 题型4 判别式与韦达定理的综合 （2025•上海宝山区期末）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，． （1）若、均为正根，求实数的取值范围； （2）若、满足：，求实数的值． 【答案】（1） （2）． 【分析】（1）由题意，根据一元二次方根的分布与系数的关系，韦达定理，求得实数的取值范围． （2）由题意，利用韦达定理，解方程求得实数的值． 【解析】解：（1）关于的一元二次方程的两个实根分别为，， 若、均为正根，则有． 解得，即实数的取值范围为 （2）若、满足：，即． 求得（舍去，不满足△或． 故实数的值为． 【点评】本题主要考查实系数的一元二次方根的分布与系数的关系，韦达定理的应用，属于基础题． （2024•上海松江区期末）已知关于的一元二次方程的两个根为、，其中，且． （1）求实数的值； （2）求和的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由已知等式，结合方程的根与系数关系即可求解； （2）先对所求式子进行变形，然后结合方程根与系数关系即可求解． 【解析】解：（1）由题意可得，△恒成立， 则，， 所以， 因为， 所以； （2），， ， ． 【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题． 【方法总结】 根分布、多条件综合需三层约束：、、根和与积不等式.多问求出参数一律检验判别式.可结合二次函数图像辅助分析区间根. 易错点：遗漏二次项限制，不等式约束条件写不全. （2025•上海松江区月考）已知，是方程的两根． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）32． 【分析】（1）先将方程化为标准一元二次方程形式，结合根与系数的关系得到与的值，再对分式通分后代入求值； （2）利用立方和的变形公式，代入与的值计算得到结果． 【解析】解：（1）将方程化为，由，是该方程的根，得，． ． （2）． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、代数式的化简求值，属于基础题． （2025•上海黄浦区月考）已知集合，集合，，． （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）4； （Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）分析可知，方程有两个不等根、，由题意可得出△，利用韦达定理结合，可求得实数的值； （Ⅱ）分析可知，方程在区间上有2个不等根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）因为集合，集合，，． 可知，方程有两个不等根、， 所以，△，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或． （Ⅱ）方程在区间上有2个不等根， 所以，，解得． 因此，实数的取值范围是． 【点评】本题主要考查集合的基本关系，考查计算能力，属于中档题． （2025•上海月考）已知，是一元二次方程的两个不等实数根． （1）若，均为正根，求实数的取值范围； （2）求使的值为整数的的整数值． 【分析】（1）由题可得，判别式△和，，运算得解； （2）利用韦达定理化简，结合题意求解． 【解析】解：（1）由题意，，是一元二次方程的两个不等正根， 故，△，得， 且，解得：． 所以的取值范围为． （2）由题意，， 又当△时，可得， 由韦达定理可得， 故， 由于为整数，故只能取，，，又， 故整数的值为，，． 【点评】本题考查一元二次方程根的分布问题和韦达定理的应用，属于中档题． （2025•上海宝山区期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是________ ． 【答案】． 【分析】由题意及根与系数的关系，可得不等式，求出的范围． 【解析】解：因为方程有一正根一负根， 可得，可得． 所以实数的范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的性质的应用，属于基础题． （2025•上海杨浦区月考）设，是方程的两个实数根，则　 　 ． 【答案】2028． 【分析】结合方程根与系数关系即可求解． 【解析】解：由题意可得，， 则． 故答案为：2028． 【点评】本题主要考查了方程根与系数关系的应用，属于基础题． （2025•上海浦东新区期中）已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是__________ ． 【答案】． 【分析】根据题意，利用韦达定理求解即可． 【解析】解：由题意，根据韦达定理可得，， 所以， 故以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． （2025•上海浦东新区期中）已知方程的两个根为、，则________. 【答案】4． 【分析】由根与系数的关系，可得两根之和及两根之积，进而可得所求的代数式的值． 【解析】解：因为方程的两个根为、，可得，， 可得． 故答案为：4． 【点评】本题考查一元二次方程中根与系数的关系的应用，属于基础题． （2024•上海奉贤区期末）设表示不超过的最大整数，方程的最小解与最大解的和为　 　． 【分析】根据新定义知识以及函数最值相关知识可解． 【解析】解：设、为整数，． 将代入原方程，得． 对于每个不同的确定了唯一的有序数对， 从而也互不相同．要比较的大小应先比较的大小， 若相等，再比较的大小． ， 所以的最大值只有当 时取到，且最大值为0． 因此，的最大的解为0． 又， ．当且仅当 时，． 因此的最小的解为． 综上所述，最大的解与最小的解之和为． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的最值相关知识，属于中档题． （2025•上海浦东新区期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是　 　． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可解． 【解析】解：关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根， 则两根之和为，两根之积为， 则，则， 则的取值范围为. 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系相关知识，属于基础题． （2025•上海虹口区期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 　　 　． 【答案】1． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可解． 【解析】解：已知方程有两个实根，， 则，， 又， 则， 则， 则． 故答案为：1． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． 已知关于x的一元二次方程，根据下列条件，分别求出k的取值范围． (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以，即． （2）因为方程有两个相等的实数根， 所以，即． （2025•上海普陀区期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 【答案】（1）且； （2）2． 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可． 【解析】解：（1）因为关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得：且， 所以实数的取值范围是且． （2）当，一元二次方程即为， 所以， 所以． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的分布及根与系数的关系，是基础题． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $