精品解析：天津市武清区城关中学2025-2026学年高一第二学期第二次阶段性练习数学试卷

2026高一第二学期第二次阶段性练习（数学试卷） 一、单选题 1. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 3. 某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为个除颜色外其他都相同的球中，有个红球，个白球， 所以从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为. 4. 从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（ ） A. “取出的是白球” B. “取出的是黄球” C. “取出的是红球” D. “取出的不是红球” 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件的概念即可求解. 【详解】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”， “取出的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”. 故选：D. 5. 样本数据、、、、的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式求解即可. 【详解】这组数据的平均数为， 故这组数据的方差为. 6. 中内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面 C. 有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 【答案】B 【解析】 【详解】对于A项，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B项，用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故B正确； 对于C项，例如将两个棱柱底面错开拼接，满足有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形， 但是形成的多面体不是棱柱，如图， 故C错误； 对于D项，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D错误； 8. 已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线平行得异面直线所成的角，即可由三角形边角关系求解. 【详解】由于,所以即为直线与直线所成的角或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则， 所以, 故选：D 9. 已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A；由面面垂直、线面垂直判定线面关系判断B；由两平行平面内两直线的位置关系判断C；由平面与平面垂直的判定定理判断D． 【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，则或m与n异面，故C错误； 若，，由平面与平面垂直的判定可得，故D正确. 故选：D 10. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证得平面平面，得到平面，设与交于点，证得平面，得到平面，得出，所以①恒成立；对于线段MN上的任意一点P时，②④不一定成立，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为分别是的中点，所以， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，平面，所以③恒成立； 设与交于点，则为底面正方形的中心，且， 由正四棱锥，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以平面，因为平面，所以，所以①恒成立； 对于②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立. 故选：A. 二、填空题 11. 已知为虚数单位，则复数________. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数除法化简即可得. 【详解】. 故答案为： 12. 甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为，乙的命中率为，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件甲、乙分别向同一靶子射击一次，该靶子被击中， 则事件甲、乙分别向同一靶子射击一次，两人均未中靶， 故. 故答案为：. 13. 已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 若，则， 所以，解得. 14. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，因此圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故答案为： 15. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】依题建系，，分别求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式化简计算得到，结合，即可求得其最小值. 【详解】 如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 依题意，，设， 则， ， 由， 因，则当时，取得最小值为. 故答案为：. 三、解答题 16. 已知复数，（为虚数单位）． （1）当时，求； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 当 时: 实部：, 虚部：. 故 , 共轭复数 , . 【小问2详解】 若 为纯虚数, 则实部为且虚部不为, 由 得 , 即 或 . 由 得 , 即 且 . 综上所述, . 【小问3详解】 复数对应点在第二象限, 则 : . : 或 . 综上所述. 17. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii） 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种． （ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种． （ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种． 所以，事件M发生的概率为P（M）=． 点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 18. 在中，． （1）求的大小； （2）若，．求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）首先由余弦定理求出，即可得到，再根据面积公式计算可得； 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理可得， 即， 又在中，，所以，，所以； 【小问2详解】 解：由余弦定理得，即， 解得，所以，又， 所以；. 19. 天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数； （2）求样本数据的中位数的近似值（保留1位小数）； （3）估计这1000名学生的数学平均分． 【答案】（1）0.028；700. （2）126.7 （3）126.2 【解析】 【分析】（1）设第四个小矩形的高为a，由各矩形的面积之和为1求解；然后再得到数学成绩不低于120分的概率，进而得到其人数； （2）设中位数为x，利用中位数的公式求解； （3）利用平均数公式求解. 【小问1详解】 解：设第四个小矩形的高为a， 则， 解得 ， 则在这次统测中数学成绩不低于120分的概率为： ， 所以在这次统测中数学成绩不低于120分的人数为； 【小问2详解】 设中位数为x， 则， 解得； 【小问3详解】 这1000名学生的数学平均分为： . 20. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面； （3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接． 在中，为的中点，为的中点． 是的中位线， ， 平面平面， 平面； （2）证明：在正三棱柱中， 平面平面， ， 在等边中，为的中点， ， 又是平面内的两条相交直线， 平面，又平面， 平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据线面平行的判定定理可得平面； （2）根据面面垂直的判定定理可得平面平面； （3）根据线面垂直的判定定理证得平面，得为直线与平面所成的角可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 和都是直角三角形，且， ， ， ， 由（2）得，平面平面，平面平面，又平面， 平面，则为直线与平面所成的角． 在中，，则 所以直线与平面所成角的正切值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高一第二学期第二次阶段性练习（数学试卷） 一、单选题 1. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（ ） A. “取出的是白球” B. “取出的是黄球” C. “取出的是红球” D. “取出的不是红球” 5. 样本数据、、、、的方差为（ ） A. B. C. D. 6. 中内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面 C. 有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 8. 已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 10. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 二、填空题 11. 已知为虚数单位，则复数________. 12. 甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为，乙的命中率为，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______. 13. 已知向量，若，则实数__________. 14. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________ 15. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为_________． 三、解答题 16. 已知复数，（为虚数单位）． （1）当时，求； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 17. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 18. 在中，． （1）求的大小； （2）若，．求的面积． 19. 天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数； （2）求样本数据的中位数的近似值（保留1位小数）； （3）估计这1000名学生的数学平均分． 20. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面； （3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $