精品解析：天津市武清区王庆坨中学2024-2025学年高一第二学期第一次形成性测试数学试卷

王庆坨中学2024-2025学年高一第二学期第一次形成性测试 数学试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知向量，，若，则实数（ ） A -4 B. C. D. 4 2. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 在 中， ，则 的值为（ ） A. 20 B. C. D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（ ） A. B. C. D. 6. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 7. 已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为（ ） A B. C. D. 8. 已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（ ） A. -1 B. C. 1或 D. -1或 9. 如图，在中，，，为上一点，且，若，，则值为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 是虚数单位，复数________． 11. 已知点，，若，则点的坐标为________． 12. 已知，点，则向量在方向上的投影为________． 13. 已知是关于的方程的一个根，则______． 14. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动．在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在、处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为______m.（参考数据：） 15. 在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值． 18. 已知复数，其中i为虚数单位，. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围. 19. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值. 20. 在中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． （1）求角； （2）若，，求的周长． 21. 在中，角所对的边分别为．已知，，． （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值． 22. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 23. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 24. 在中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角； （2）若，，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 王庆坨中学2024-2025学年高一第二学期第一次形成性测试 数学试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. -4 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直满足的坐标关系即可求解. 详解】由可得，故， 故选：A 2. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简复数，即可由虚部定义求解. 【详解】由可得， 故虚部为， 故选：D 3. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由，，可得， 由正弦定理可得，故， 故选：B 4. 在 中， ，则 的值为（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积定义直接计算得解. 【详解】依题意，. 故选：B 5. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, ，即， 故选：D 6. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数是纯虚数实部为0，虚部不为0，即可求得的值. 【详解】复数纯虚数， 则，解得. 故选：C. 7. 已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据模长公式，即可结合数量积的定义代入求解. 【详解】由可得， 将，代入可得， 所以，故，由于，所以， 故选：A 8. 已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（ ） A. -1 B. C. 1或 D. -1或 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的共线定理列方程求出的值，再讨论的值是否满足与反向． 【详解】因为向量，不共线，且向量，，与方向相反， 所以存在实数使， 则，即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 9. 如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得，又三点共线，可得，则，利用向量的线性运算可得，进而表示出，计算即可. 【详解】在中，因为，所以，， 所以， 即， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而， 所以， 又，，， 则 . 故选：C 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 是虚数单位，复数________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 11. 已知点，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，求得的坐标，代入，即可求得点的坐标, 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 则， 又， 所以， 所以，则的坐标为. 故答案为：. 12. 已知，点，则向量在方向上的投影为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影的计算公式即可求解. 【详解】由点，得， 所以向量在方向上的投影为： ． 故答案为:. 13. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，化简后利用实部与虚部等于零，列方程组求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，故， 故答案为：． 14. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动．在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在、处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为______m.（参考数据：） 【答案】4 【解析】 【分析】利用仰角正切关系，由，，结合列方程求解即可 【详解】由题意得，则， ，则， 则， 即. 15. 在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】以A为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系，由点在边上（包含端点），则可设，结合平面向量的数量积的坐标表示、二次函数的性质求解即可. 【详解】 在直角梯形中，， 以A为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系， 因为， 则，，， 则, 因点在边上（包含端点），有， 设，则， 所以，则， 所以， 则， 则， 所以， 则当时，有最大值， 当时，有最小值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用复数的乘法、乘方及除法运算求解即得. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原式． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用余弦定理，即可求出的值； （2）由已知，求出，再利用三角形的面积公式，计算即可； （3）在中，由正弦定理，可得，则，由两角差的正弦公式即可求得. 【小问1详解】 在中，因为，，， 所以由余弦定理， 得. 【小问2详解】 在中，因为，，， 则，， 所以的面积. 【小问3详解】 在中，由正弦定理， 可得， ，所以， 又，， 所以. 18. 已知复数，其中i为虚数单位，. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）z是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果； （2）z在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0. 【小问1详解】 因为z是纯虚数， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为z在复平面内对应的点在第二象限， 所以， 解得， 所以m的取值范围为. 19. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 20. 在中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． （1）求角； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行，可得，再由正弦定理和余弦定理可得的值，进而求出角的大小； （2）由余弦定理可得的值，即可求得周长． 【小问1详解】 由，，且， 可得：， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 所以，又，所以； 【小问2详解】 由，，故 由，由余弦定理，可得， 解得， 所以的周长为． 21. 在中，角所对的边分别为．已知，，． （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2）22 （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算即得； （2）利用三角形面积公式计算即可； （3）先由余弦定理求出，进而求得，利用差角的正弦公式计算即可. 【小问1详解】 由余弦定理，， 故； 【小问2详解】 因 ，则角为锐角，， 则的面积为； 【小问3详解】 由余弦定理，， 则角是锐角，故， 于是，. 22. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【小问1详解】 由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 23. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 24. 在中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得到，利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理得解； （2）利用和得到，利用余弦定理求出的值，从而得到的周长. 【小问1详解】 ，，且， ， （其中为的外接圆的半径）， ， ， ，， ，，，； 【小问2详解】 ，，， ， ， ， 的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $