第02讲 数轴、相反数、绝对值与有理数的大小比较 （知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（人教版2024）

第02讲 数轴、相反数、绝对值与有理数的大小比较 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.数轴 2.数轴上的点与有理数的关系 3.相反数 4.多重符号的化简 5.绝对值 6.绝对值的非负性 7.有理数的大小比较 题型巩固 一、数轴的三要素及其画法 二、用数轴上的点表示有理数 三、利用数轴比较有理数的大小 四、相反数的定义 五、化简多重符号 六、绝对值的几何意义 七、求一个数的绝对值 八、绝对值非负性 九、绝对值的其他应用 十、有理数大小比较 十一、有理数大小比较的实际应用 强化训练 单选题（7） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.数轴 1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(如图1.2-2). 数轴的三要素 原点将数轴(原点除外)分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 2. 画数轴的步骤 步骤 图示 (1)画直线，取原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点. (2)标正方向：通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，用箭头表示出来，箭头标在画出部分的最右边(或最上边)，则从原点向左(或下)为负方向. (3)选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…. 知识点2.数轴上的点与有理数的关系 数轴上的每一个点都表示一个数，有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数. 如π 可以用数轴上的点表示，但π 不是有理数. 知识点3.相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数. 特别解读 1.“ 只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同. 2.“互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在. 3.数轴上与原点的距离是( 是一个正数)的点有两个，分别在原点的左右两边，它们所表示的数互为相反数. 2. 相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即 的相反数是－，其实质是改变这个数的符号. a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0 3. 相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个； 正数的相反数是负数； 负数的相反数是正数； 0 的相反数是0 . 4. 相反数的几何意义 如图1.2－10 ，设是一个正数，把和它的相反数－ 表示在数轴上，它们分别在正、负半轴上，且到原点的距离都是. 反之，数轴上到原点的距离是的点有两个，它们分别在正、负半轴上，这两点表示的数互为相反数. 知识点4.多重符号的化简 1. 多重符号化简的依据 的相反数为－. 1. a可以是正数，0或负数. 2. 当a 是一个负数时，－a是正数，故带负号的数不一定是负数. 2. 多重符号的化简 根据相反数的性质由内向外化简. 当前面的符号是“＋”号时，省略“＋”号直接写；当前面的符号是“－”号时，去掉“－”号，写出括号内的数的相反数. 知识点5.绝对值 1. 定义 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作||. 读作“ 的绝对值”. 2. 性质由于绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能是负数 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是0 . 即：(1)如果＞ 0，那么||=； (2)如果=0，那么||=0； (3)如果 ＜ 0，那么||=－. 知识点6.绝对值的非负性 1. 任何一个数的绝对值，都是唯一的非负数 . 2. 绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它的相反数的数是非正数，0 是绝对值最小的数， 即：若| |= ，则 ≥ 0；若| |=－ ，则 ≤0 . 3. 绝对值相等的两个数相等，或互为相反数，即：若| |= | b | ，则=b 或=－b. 知识点7.有理数的大小比较 1. 用数轴比较有理数大小的法则 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序. 即：左边的数小于右边的数. 2. 用数的性质比较有理数大小的法则 (1)正数大于0，0 大于负数，正数大于负数； (2)两个负数，绝对值大的反而小. 两数同号考虑绝对值 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号考虑正负 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 题型巩固 题型一、数轴的三要素及其画法 1．（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键． 【详解】解：、正方向反了，不符合题意； 、单位长度不统一，不符合题意； 、没有正方向，不符合题意； 、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意； 故选：． 2．画一条水平 ，在直线上取一点，表示 （叫做 ），选取某一适当长度为 ，规定直线上向 的方向为 ，就得到一条数轴． 【答案】 直线 O 原点 单位长度 右 正方向 【知识点】数轴的三要素及其画法 【知识点】数轴的三要素及其画法 3．画出数轴并表示下列有理数：1.5，，3，0 【答案】见解析 【知识点】数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数 【分析】先画出数轴，然后把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了数轴的画法及用数轴上的点表示数，熟练掌握画出数轴是解题的关键． 题型二、用数轴上的点表示有理数 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数可能是（　　） A． B．1.8 C． D．2.2 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴．根据数轴可知数轴上蘑菇盖住的点表示的数在与之间，且靠近，所以符合题意． 【详解】解：由数轴可知，数轴上蘑菇盖住的点表示数在与之间，且靠近， 数轴上蘑菇盖住的点表示的数，可能是， 故选：A． 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数轴上，两点对应的数分别是和，则，两点之间的整数有 个． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据整数与数轴的知识点进行解题即可． 【详解】解：数轴上，两点对应的数分别是和， 则、之间的整数有、、、、、， 故整数有个． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如何将所给的有理数在数轴上表示呢？ 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴的定义，画出数轴，再用数轴上的点表示出有理数即可． 【详解】解：确定原点，单位长度，正方向，画出一条数轴，再把所给的有理数用数轴上的点进行表示即可． 题型三、利用数轴比较有理数的大小 7．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）四个有理数在数轴上对应点A、、、的位置如图所示，则这四个点中表示的数最大的点是（   ） A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了数轴上点的坐标特点，掌握在数轴上右边的数大于左边的数成为解题的关键。 根据数轴上点越往右表示的数越大即可解答． 【详解】解：根据数轴上点的特点可知：这四个点中表示的数最大的点是D． 故选：D． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的大小关系是 ．（用“＜”号连接） 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，在数轴上表示出，再根据数轴上右边的数大于左边的数，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴ 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东聊城·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，也体现了“数形结合”的数学思想．在数轴上画出表示下列各数的点：，6，0，2.5，5，，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来． 【答案】见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 画出数轴，将数据标注在数轴上即可；根据数轴上的点，左边的总比右边的小，即可排列出大小关系； 【详解】解：用数轴上点表示有理数，如图所示： 用“”号把各数连接起来：． 题型四、相反数的定义 10．（2025七年级上·全国·专题练习）如果与互为相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】D 【知识点】相反数的定义 【分析】此题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：∵a与互为相反数， ∴， 故选：D． 11．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）的相反数是 ． 【答案】11 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的概念，解题的关键是理解“只有符号不同的两个数互为相反数"的定义 ． 【详解】解：的相反数是11 故答案为：11. 12．（2024七年级上·全国·专题练习）分别写出下列各数的相反数：，，0，，． 【答案】，9，0，， 【知识点】相反数的定义 【分析】该题主要考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数．特别地，0的相反数是0．一般地，任意的一个有理数a，它的相反数是．a本身既可以是正数，也可以是负数，还可以是零”是解题的关键． 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的相反数是9， 0的相反数是0， 的相反数是， 的相反数是． 题型五、化简多重符号 13．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．，原化简错误，不符合题意； B．，原化简正确，符合题意； C．，原化简错误，不符合题意； D．，原化简错误，不符合题意． 故选：B． 14．（2025·陕西咸阳·一模）化简： ． 【答案】23 【知识点】化简多重符号 【分析】根据有理数的负数计算即可． 本题考查了有理数的负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：23． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简下列各式的符号，并回答问题： ①；②；③；④； 问：（1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】①．②；③．④ （1）（2），总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握相反数的意义及归纳总结规律及应用是解本题的关键．奇数个负号为负，偶数个负号为正，根据化简多重符号的方法，分别计算；再根据所得规律：奇数个负号为负，偶数个负号为正，求解（1）（2）． 【详解】解：①．②． ③．④． （1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是． （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 题型六、绝对值的几何意义 16．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）在数轴上与原点的距离小于9的点对应的满足（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，先确定数轴上与原点的距离等于9的点对应的数，再确定x满足的范围． 【详解】∵在数轴上与原点的距离等于9的点表示的数是， ∴在数轴上与原点的距离小于9的点对应的满足， ∴， 故选：D． 17．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，．当x，y异号时，求x，y的值． 【答案】，或， 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义及x，y异号即可求出x，y的值． 【详解】解：∵，， ∴ ，， ∵x，y异号， ∴，或，． 题型七、求一个数的绝对值 19．（24-25七年级上·吉林长春·期末）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查的是绝对值的含义，直接利用数对应的点与原点的距离可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 20．（24-25七年级上·河北邢台·期中）绝对值不大于的整数有 个． 【答案】7 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可确定绝对值不大于的整数，进而可得答案． 【详解】解：绝对值不大于的整数有，共7个， 故答案为：7． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的绝对值． ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义，求出题目中各数的绝对值即可． 【详解】解：，，，． 题型八、绝对值非负性 22．（2024七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 【答案】A 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查的是非负数的性质-绝对值，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 所以， 所以当时，式子有最大值，此时的值是2026． 故选：A． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）若，求，的值． 【答案】， 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质等知识点，几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0，故此，进而即可得解，熟练掌握非负数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，． 题型九、绝对值的其他应用 24．（24-25七年级上·云南昭通·期中）在羽毛球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下检测结果中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查了绝对值的应用．根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最接近标准质量的是， 故选：D． 25．求的最小值是 ． 【答案】 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．注意当的值不明确时，要分情况讨论是解题的关键． 根据绝对值均大于等于的性质，对的大小进行分情况讨论，去掉绝对值后，再进行比较大小，再求最小值． 【详解】解：当时，原代数式①； 当时，原代数式②； 当时，原代数式③； 据以上可得，且； 所以当时，原代数式取得最小值为， 故答案为：． 题型十、有理数大小比较 26．（24-25七年级上·福建莆田·期末）在有理数1、0、、四个数中，最小的数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握：正数都大小于0，负数都小于0，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小． 正数都大小于0，负数都小于0，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小．据此对所给的4个有理数进行排序，即可求解． 【详解】解：有理数1、0、、四个数中，， 故最小的数是， 故选D． 27．（24-25七年级上·福建福州·期末）写一个比大的有理数 ． 【答案】0（答案不唯一） 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数比较大小，根据有理数的大小比较原则：正数大于零，零售大于负数，求解即可． 【详解】解：写一个比大的有理数为0． 故答案为：0（答案不唯一）． 28．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较与的大小． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， 而， ∴． 题型十一、有理数大小比较的实际应用 29．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）以下是湘西州部分县市某天中午12时的气温，其中温度最低的是（   ） 吉首市 保靖县 永顺县 凤凰县 A．吉首市 B．保靖县 C．永顺县 D．凤凰县 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的法则是解题的关键；先根据有理数大小比较的法则对四个县市的气温进行比较，即可得到答案． 【详解】解： 吉首市的气温最低 故选：A． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）如表，国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数），则最迟出现日出的城市为 ． 城市 纽约 巴黎 东京 惠灵顿 时差/时 【答案】纽约 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的大小比较，理解题意，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．找出四个数中最小的，即可得出答案． 【详解】解：， 最迟出现日出的城市为纽约， 故答案为：纽约． 31．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用、有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 强化训练 一、单选题 1．如图，在数轴上点P表示的数最有可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的相关知识，根据点P在数轴的位置及选项可容易得到答案．根据如图所示的数轴可知点P在与之间，且更靠近，由此可容易得到答案． 【详解】解：根据如图所示的数轴可知点P在与之间，且更靠近， 所以在四个选项中，点P表示的数最有可能是 故选：C 2．在如图所示的数轴上，距离原点最远的点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴； 根据各点在数轴上的位置进行判断即可． 【详解】解：点P和点M距离原点1个单位长度，点Q在原点上，点N距离原点3个单位长度， ∴距离原点最远的点是点， 故选：D． 3．如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 4．下列各组数中互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．2与 【答案】A 【分析】本题考查相反数、化简多重符号、绝对值，先化简各组数据，再利用相反数的定义判断即可． 【详解】解：A．，3与互为相反数，符合题意； B．，与相等，不合题意； C．与符号相同，不是相反数，不合题意； D．，2与相等，不合题意； 故选A． 5．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，由数轴可知被遮住的数大于且小于，据此可得答案． 【详解】解：由数轴可知被遮住的数大于且小于，则四个选项中只有A选项中的数符合题意， 故选：A． 6．在四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值大的反而小，可得答案． 【详解】解：∵， ∴最大的数是 故选∶ A． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，熟练掌握比较负数大小的方法是解题的关键． 7．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴的性质，得，再根据有理数加减和绝对值的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数加减运算的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、数轴的性质，从而完成求解． 二、填空题 8． ． 【答案】7 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：． 故答案为：7． 9．小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数有 个． 【答案】5 【分析】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握．根据有理数大小比较的方法，判断出和2之间的整数有多少个即可． 【详解】解：和2之间的整数有5个：，，，0，1， 故答案为：5． 10．﹣2的绝对值是 ；的相反数是 ． 【答案】 2 / 【分析】数轴上，一个数所表示的点，到原点的距离叫做这个数的绝对值，负数的绝对值等于它的相反数；只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：的绝对值是2； 的相反数是． 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了绝对值和相反数的定义，解题的关键是牢记定义，不要混淆． 11．比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了负数大小的比较，解题的关键是掌握有理数大小比较的方法． 利用两个负数比较，绝对值大的反而小，来进行比较即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 12．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，，的大小关系，用“”连接起来 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据数轴判断有理数的大小关系，绝对值的意义，根据数轴可知：，，，即可得出． 【详解】解：根据数轴可知：，，， 则， 故答案为： 13．已知有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 【答案】1 【分析】由数轴可确定、的大小，由有理数的加减法则进而可确定及、的符号，根据符号可以去掉绝对值符号，从而可化简． 【详解】解：由数轴知：，且， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较，有理数的加减法则，化简绝对值等知识，关键是根据数轴上数的大小确定绝对值符号里式子的符号． 三、解答题 14．在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小： 【答案】作图见解析；从小到大排列为． 【分析】先根据数轴的定义画出数轴，进而可分别表示各数，再根据数轴上左边的数总小于右边的数比较大小即可． 【详解】解：如图所示： 由图可知：从小到大排列为． 【点睛】此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，关键是正确在数轴上表示各数． 15．（1）在数轴上表示下列各数： （2）如图所乐，指出点A、B、C、E、F所表示的数． 【答案】（1）见解析；（2）依次是0，，，，3 【分析】（1）画数轴，然后把表示出来即可； （2）根据数轴上的点可得出数轴上点A、B、C、E、F所对应的点． 【详解】解：（1）如下图数轴所示： （2）点A表示0，点B表示，点C表示，点E表示-1，点F表示3． 【点睛】本题主要考查的是数轴，熟知数轴上各点以及数轴的画法与点的表示是解题关键． 16．在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将各数连接起来． ，，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析，． 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数及利用数轴比较有理数的大小，根据在数轴上表示有理数的方法表示出有理数，再根据数轴上点的特点即可比较大小，熟练掌握用数轴上的点表示有理数的方法及数轴上点的特点是解题的关键． 【详解】解：，， 在数轴上标出如图， 根据数轴特点：． 17．如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)记为的排球最接近标准质量． 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，掌握克数的绝对值越小就越接近标准是解题的关键． （1）根据题中各正负数所表示的实际意义即可解答； （2）先比较各数的绝对值，再根据克数的绝对值越小就越接近标准即可解答． 【详解】（1）解：表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示不足标准质量． （2）解：记为的排球最接近标准质量，理由如下： ∵， ∴记为的排球最接近标准质量． 18．比较下列各对数的大小： (1)与； (2) 与0； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】考查了有理数大小的比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． （1）根据负数比较大小的法则进行比较即可； （2）先将化简，再根据负数都小于0即可得出结论； （3）先分别化简，根据负数与正数的特点即可得出结论； （4）根据负数比较大小的法则进行比较即可． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以； （2）化简， 因为负数小于0，所以； （3）分别化简两数，得，， 因为正数都大于负数， 所以； （4）因为，， 从而， 所以． 19．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，，，， (1)负数集合：｛                    …｝； (2)分数集合：｛                    …｝； (3)整数集合：｛                    …｝． 【答案】(1)，， (2)，，， (3)，0，2006，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数，化简多重符号和计算绝对值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据负数小于0进行求解即； （2）根据分数包括正分数和负分数进行求解即可 （3）根据整数的定义求解即可． 【详解】（1）解：，， 负数集合：{，，} （2）解：分数集合：{，，，} （3）解：整数集合：{，0，2006，，} 20．如图，数轴上有、两点． (1)、两点表示的数分别是____，____； (2)若点表示，点表示，请你把点、点表示在如图所示的数轴上； (3)将四个点所表示的数用“”连接起来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了数轴，理解数轴的性质是解答关键． （1）观察数轴求解； （2）根据数轴的性质点、点表示在如图所示的数轴上即可； （3）根据数轴上右边的数总比左边的大来求解． 【详解】（1）解：根据题意得 点表示的数为4，点表示的数为． 故答案为：4，； （2）解：根据题意表示如下 （3）解：因为数轴上右边的数总比左边的数大可知 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数轴、相反数、绝对值与有理数的大小比较 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.数轴 2.数轴上的点与有理数的关系 3.相反数 4.多重符号的化简 5.绝对值 6.绝对值的非负性 7.有理数的大小比较 题型巩固 一、数轴的三要素及其画法 二、用数轴上的点表示有理数 三、利用数轴比较有理数的大小 四、相反数的定义 五、化简多重符号 六、绝对值的几何意义 七、求一个数的绝对值 八、绝对值非负性 九、绝对值的其他应用 十、有理数大小比较 十一、有理数大小比较的实际应用 强化训练 单选题（7） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.数轴 1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(如图1.2-2). 数轴的三要素 原点将数轴(原点除外)分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 2. 画数轴的步骤 步骤 图示 (1)画直线，取原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点. (2)标正方向：通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，用箭头表示出来，箭头标在画出部分的最右边(或最上边)，则从原点向左(或下)为负方向. (3)选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…. 知识点2.数轴上的点与有理数的关系 数轴上的每一个点都表示一个数，有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数. 如π 可以用数轴上的点表示，但π 不是有理数. 知识点3.相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数. 特别解读 1.“ 只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同. 2.“互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在. 3.数轴上与原点的距离是( 是一个正数)的点有两个，分别在原点的左右两边，它们所表示的数互为相反数. 2. 相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即 的相反数是－，其实质是改变这个数的符号. a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0 3. 相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个； 正数的相反数是负数； 负数的相反数是正数； 0 的相反数是0 . 4. 相反数的几何意义 如图1.2－10 ，设是一个正数，把和它的相反数－ 表示在数轴上，它们分别在正、负半轴上，且到原点的距离都是. 反之，数轴上到原点的距离是的点有两个，它们分别在正、负半轴上，这两点表示的数互为相反数. 知识点4.多重符号的化简 1. 多重符号化简的依据 的相反数为－. 1. a可以是正数，0或负数. 2. 当a 是一个负数时，－a是正数，故带负号的数不一定是负数. 2. 多重符号的化简 根据相反数的性质由内向外化简. 当前面的符号是“＋”号时，省略“＋”号直接写；当前面的符号是“－”号时，去掉“－”号，写出括号内的数的相反数. 知识点5.绝对值 1. 定义 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作||. 读作“ 的绝对值”. 2. 性质由于绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能是负数 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是0 . 即：(1)如果＞ 0，那么||=； (2)如果=0，那么||=0； (3)如果 ＜ 0，那么||=－. 知识点6.绝对值的非负性 1. 任何一个数的绝对值，都是唯一的非负数 . 2. 绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它的相反数的数是非正数，0 是绝对值最小的数， 即：若| |= ，则 ≥ 0；若| |=－ ，则 ≤0 . 3. 绝对值相等的两个数相等，或互为相反数，即：若| |= | b | ，则=b 或=－b. 知识点7.有理数的大小比较 1. 用数轴比较有理数大小的法则 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序. 即：左边的数小于右边的数. 2. 用数的性质比较有理数大小的法则 (1)正数大于0，0 大于负数，正数大于负数； (2)两个负数，绝对值大的反而小. 两数同号考虑绝对值 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号考虑正负 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 题型巩固 题型一、数轴的三要素及其画法 1．（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．画一条水平 ，在直线上取一点，表示 （叫做 ），选取某一适当长度为 ，规定直线上向 的方向为 ，就得到一条数轴． 3．画出数轴并表示下列有理数：1.5，，3，0 题型二、用数轴上的点表示有理数 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数可能是（　　） A． B．1.8 C． D．2.2 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数轴上，两点对应的数分别是和，则，两点之间的整数有 个． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如何将所给的有理数在数轴上表示呢？ 题型三、利用数轴比较有理数的大小 7．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）四个有理数在数轴上对应点A、、、的位置如图所示，则这四个点中表示的数最大的点是（   ） A．点A B．点 C．点 D．点 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的大小关系是 ．（用“＜”号连接） 9．（24-25七年级上·山东聊城·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，也体现了“数形结合”的数学思想．在数轴上画出表示下列各数的点：，6，0，2.5，5，，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来． 题型四、相反数的定义 10．（2025七年级上·全国·专题练习）如果与互为相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D．2025 11．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）的相反数是 ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）分别写出下列各数的相反数：，，0，，． 题型五、化简多重符号 13．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2025·陕西咸阳·一模）化简： ． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简下列各式的符号，并回答问题： ①；②；③；④； 问：（1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 题型六、绝对值的几何意义 16．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）在数轴上与原点的距离小于9的点对应的满足（    ） A． B． C．或 D． 17．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，．当x，y异号时，求x，y的值． 题型七、求一个数的绝对值 19．（24-25七年级上·吉林长春·期末）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·河北邢台·期中）绝对值不大于的整数有 个． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的绝对值． ． 题型八、绝对值非负性 22．（2024七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 23．（2024七年级上·全国·专题练习）若，求，的值． 题型九、绝对值的其他应用 24．（24-25七年级上·云南昭通·期中）在羽毛球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下检测结果中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 25．求的最小值是 ． 题型十、有理数大小比较 26．（24-25七年级上·福建莆田·期末）在有理数1、0、、四个数中，最小的数是（    ） A．1 B．0 C． D． 27．（24-25七年级上·福建福州·期末）写一个比大的有理数 ． 28．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较与的大小． 题型十一、有理数大小比较的实际应用 29．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）以下是湘西州部分县市某天中午12时的气温，其中温度最低的是（   ） 吉首市 保靖县 永顺县 凤凰县 A．吉首市 B．保靖县 C．永顺县 D．凤凰县 30．（2024七年级上·全国·专题练习）如表，国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数），则最迟出现日出的城市为 ． 城市 纽约 巴黎 东京 惠灵顿 时差/时 31．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 强化训练 一、单选题 1．如图，在数轴上点P表示的数最有可能是（ ） A． B． C． D． 2．在如图所示的数轴上，距离原点最远的点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 4．下列各组数中互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．2与 5．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 6．在四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 7．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 二、填空题 8． ． 9．小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数有 个． 10．﹣2的绝对值是 ；的相反数是 ． 11．比较大小： （填“”或“”）． 12．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，，的大小关系，用“”连接起来 ． 13．已知有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 三、解答题 14．在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小： 15．（1）在数轴上表示下列各数： （2）如图所乐，指出点A、B、C、E、F所表示的数． 16．在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将各数连接起来． ，，，，，． 17．如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 18．比较下列各对数的大小： (1)与； (2) 与0； (3)与； (4)与． 19．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，，，， (1)负数集合：｛                    …｝； (2)分数集合：｛                    …｝； (3)整数集合：｛                    …｝． 20．如图，数轴上有、两点． (1)、两点表示的数分别是____，____； (2)若点表示，点表示，请你把点、点表示在如图所示的数轴上； (3)将四个点所表示的数用“”连接起来． 学科网（北京）股份有限公司 $$