精品解析：天津市红桥区2025-2026学年高一第二学期期末数学试卷

高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12题，每小题3分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各量属于向量的是（ ） A. 速度 B. 质量 C. 距离 D. 电流 2. 已知i是虚数单位，则复数= A. i B. 2i C. －i D. －2i 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行于同一直线，则 B. 若垂直于同一直线，则 C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线 D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面 5. 长方体的体积是60，若为的中点，则三棱锥的体积为（ ） A. 10 B. 20 C. 5 D. 6. 一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，则原的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 9. 如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 12. 已知在中，是边的中点，是线段的中点，，的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 13. 是虚数单位，复数________． 14. 是虚数单位，复数，则________． 15. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实数_________. 16. 已知向量，，则向量，的夹角为________． 17. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是_____． 18. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________. 19. 若，，均为单位向量，且，，则的最大值为____. 20. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）．若，，则的最小值为________． 三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角C的大小； （2）求的值． 22. 已知的内角，，所对的边长分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求的值． 23. 如图，在三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，M、N分别是BC、PC的中点. （1）求证：MN//平面PAB； （2）求证：BC⊥PC. 24. 如图，直棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是中点，是中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 25. 如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12题，每小题3分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各量属于向量的是（ ） A. 速度 B. 质量 C. 距离 D. 电流 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的概念进行判断． 【详解】向量是既有大小又有方向的量， 质量，距离，电流只有大小，没有方向，属于标量， 速度既有大小，又有方向，属于向量，故选项A正确． 2. 已知i是虚数单位，则复数= A. i B. 2i C. －i D. －2i 【答案】C 【解析】 【详解】由题；． 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 4. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行于同一直线，则 B. 若垂直于同一直线，则 C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线 D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若平行于同一直线，则或与相交，所以A不正确； 对于B，若与垂直于同一直线，则与平行或相交或异面，所以B不正确； 对于C，若不平行，设，在平面内作直线， 因为，所以，即在内存在与平行的直线，所以C不正确； 对于D，若，可得，所以不平行，则与不可能垂直于同一平面，所以D正确. 5. 长方体的体积是60，若为的中点，则三棱锥的体积为（ ） A. 10 B. 20 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合长方体体积公式、三棱锥体积公式及中点性质计算三棱锥体积. 【详解】设长方体的长，宽，高， 则. 因为为的中点，所以， 底面为直角三角形，其面积. 又平面，故为三棱锥底面上的高， 进而. 6. 一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为， 由球的体积公式得. 7. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】由得， 解得或， 所以当时，不一定成立， 而当时，一定成立， 所以是的必要不充分条件. 8. 如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，则原的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由是等腰直角三角形，，得， 在中，，，而， 所以的面积. 9. 如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 10. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面直径和高， 所以，， 则球与圆柱的体积之比，B正确. 11. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由向量的模长公式得， 因为，所以， 而，得到，解得，故C正确. 12. 已知在中，是边的中点，是线段的中点，，的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件设，，，，先得到，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到的最小值． 【详解】设，，，， 是中点，由中线向量公式：， 是中点，同理在中：， 由，解得， 则， 将、代入数量积表达式：， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此，． 第II卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 13. 是虚数单位，复数________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的模运算求解． 【详解】． 14. 是虚数单位，复数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】，故 15. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实数_________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用复数的除法运算进行化简，然后利用纯虚数的概念即可求解 【详解】由于，且复数为纯虚数， 所以，解得， 故答案为： 16. 已知向量，，则向量，的夹角为________． 【答案】 （或） 【解析】 【详解】， 所以向量，的夹角为. 17. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【详解】 取的中点，连接角于点，则，且四边形是平行四边形，就是异面直线与所成的角，而，，，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查正方体的性质以及异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 18. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【详解】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 19. 若，，均为单位向量，且，，则的最大值为____. 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：∵(-)×(-)≤0，即×-× (+)-2≤0，又，，均为单位向量，且×=0，所以× (+)≥1，-2× (+)≤-2，故|＋－|2=2+2+2+2×-2× (+)=3-2× (+)≤3-2=1，所以|＋－|的最大值为1 考点：本题考查了数量积的运算 点评：平面向量数量积的运算和模的计算问题，应特别注意有关模的问题一般采取平方法进行解决，属中档题． 20. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）．若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 因为D，E，F三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为. 三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角C的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得的值，进而求得的值； （2）利用正弦定理即可求得的值． 【小问1详解】 △ABC中，，，． 则有 又，则 【小问2详解】 由（1）可知，又△ABC中，，，． 则 22. 已知的内角，，所对的边长分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简得到，再根据角的范围求解即可. （2）根据正弦定理得到，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 又，故，即． 又，； 【小问2详解】 由正弦定理 ． 因为，， 由（1）知， 则，解得（负值舍去）． 23. 如图，在三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，M、N分别是BC、PC的中点. （1）求证：MN//平面PAB； （2）求证：BC⊥PC. 【答案】（1）证明：因为M、N分别是BC、PC 的中点， 所以， 又平面， 平面， 则平面 （2）证明：因为PA⊥底面ABC， 且 平面ABC， 所以， 又， 且，平面 所以平面， 又平面， 所以BC⊥PC. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）由线面垂直得到，再由，即可得到平面，即可得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，直棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是中点，是中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）在直棱柱中，⊥平面， 又由，所以，,两两垂直， 故可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 所以，即， 令，则，则， 又因为， 所以， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系证明平面的法向量，即可证明； （2）求出平面的法向量，用坐标法求解即可； （3）使用向量法求出到平面的距离，再利用体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 又， 则，即， 令，则，， 由（1）知平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图象可知， 故； 【小问3详解】 由已知平面，所以为直角三角形， 因为，， 所以， 又，平面的法向量为， 则到平面的距离， 故. 25. 如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则. 为平面的一个法向量， 因为，所以，所以， 因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面. （2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （3）利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为平面的一个法向量， 则， 令，则， 故， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面的一个法向量， 则, 因为，， 所以， 取，则， 则. 为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $