精品解析：天津市红桥区2025-2026学年高一第二学期期末数学试卷

高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12题，每小题3分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各量属于向量的是（ ） A. 速度 B. 质量 C. 距离 D. 电流 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的概念进行判断． 【详解】向量是既有大小又有方向的量， 质量，距离，电流只有大小，没有方向，属于标量， 速度既有大小，又有方向，属于向量，故选项A正确． 2. 已知i是虚数单位，则复数= A. i B. 2i C. －i D. －2i 【答案】C 【解析】 【详解】由题；． 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 4. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行于同一直线，则 B. 若垂直于同一直线，则 C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线 D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若平行于同一直线，则或与相交，所以A不正确； 对于B，若与垂直于同一直线，则与平行或相交或异面，所以B不正确； 对于C，若不平行，设，在平面内作直线， 因为，所以，即在内存在与平行的直线，所以C不正确； 对于D，若，可得，所以不平行，则与不可能垂直于同一平面，所以D正确. 5. 长方体的体积是60，若为的中点，则三棱锥的体积为（ ） A. 10 B. 20 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合长方体体积公式、三棱锥体积公式及中点性质计算三棱锥体积. 【详解】设长方体的长，宽，高， 则. 因为为的中点，所以， 底面为直角三角形，其面积. 又平面，故为三棱锥底面上的高， 进而. 6. 一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为， 由球的体积公式得. 7. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】由得， 解得或， 所以当时，不一定成立， 而当时，一定成立， 所以是的必要不充分条件. 8. 如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，则原的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由是等腰直角三角形，，得， 在中，，，而， 所以的面积. 9. 如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 10. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面直径和高， 所以，， 则球与圆柱的体积之比，B正确. 11. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由向量的模长公式得， 因为，所以， 而，得到，解得，故C正确. 12. 已知在中，是边的中点，是线段的中点，，的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件设，，，，先得到，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到的最小值． 【详解】设，，，， 是中点，由中线向量公式：， 是中点，同理在中：， 由，解得， 则， 将、代入数量积表达式：， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此，． 第II卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 13. 是虚数单位，复数________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的模运算求解． 【详解】． 14. 是虚数单位，复数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】，故 15. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实数_________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用复数的除法运算进行化简，然后利用纯虚数的概念即可求解 【详解】由于，且复数为纯虚数， 所以，解得， 故答案为： 16. 已知向量，，则向量，的夹角为________． 【答案】 （或） 【解析】 【详解】， 所以向量，的夹角为. 17. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【详解】 取的中点，连接角于点，则，且四边形是平行四边形，就是异面直线与所成的角，而，，，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查正方体的性质以及异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 18. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【详解】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 19. 若，，均为单位向量，且，，则的最大值为____. 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：∵(-)×(-)≤0，即×-× (+)-2≤0，又，，均为单位向量，且×=0，所以× (+)≥1，-2× (+)≤-2，故|＋－|2=2+2+2+2×-2× (+)=3-2× (+)≤3-2=1，所以|＋－|的最大值为1 考点：本题考查了数量积的运算 点评：平面向量数量积的运算和模的计算问题，应特别注意有关模的问题一般采取平方法进行解决，属中档题． 20. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）．若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 因为D，E，F三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为. 三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角C的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得的值，进而求得的值； （2）利用正弦定理即可求得的值． 【小问1详解】 △ABC中，，，． 则有 又，则 【小问2详解】 由（1）可知，又△ABC中，，，． 则 22. 已知的内角，，所对的边长分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简得到，再根据角的范围求解即可. （2）根据正弦定理得到，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 又，故，即． 又，． 【小问2详解】 由正弦定理 ． 因为，， 由（1）知， 则，解得（负值舍去）． 23. 如图，在三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，M、N分别是BC、PC的中点. （1）求证：MN//平面PAB； （2）求证：BC⊥PC. 【答案】（1）证明：因为M、N分别是BC、PC 的中点， 所以， 又平面， 平面， 则平面 （2）证明：因为PA⊥底面ABC， 且 平面ABC， 所以， 又， 且，平面 所以平面， 又平面， 所以BC⊥PC. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）由线面垂直得到，再由，即可得到平面，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 24. 如图，直棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是中点，是中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）在直棱柱中，⊥平面， 又由，所以，,两两垂直， 故可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 所以，即， 令，则，则， 又因为， 所以， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系证明平面的法向量，即可证明； （2）求出平面的法向量，用坐标法求解即可； （3）使用向量法求出到平面的距离，再利用体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 又， 则，即， 令，则，， 由（1）知平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图象可知， 故； 【小问3详解】 由已知平面，所以为直角三角形， 因为，， 所以， 又，平面的法向量为， 则到平面的距离， 故. 25. 如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面. （2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （3）利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 以为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则. 为平面的一个法向量， 因为，所以，所以， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 设为平面的一个法向量， 则， 令，则， 故， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面的一个法向量， 则, 因为，， 所以， 取，则， 则. 为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12题，每小题3分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各量属于向量的是（ ） A. 速度 B. 质量 C. 距离 D. 电流 2. 已知i是虚数单位，则复数= A. i B. 2i C. －i D. －2i 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行于同一直线，则 B. 若垂直于同一直线，则 C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线 D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面 5. 长方体的体积是60，若为的中点，则三棱锥的体积为（ ） A. 10 B. 20 C. 5 D. 6. 一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，则原的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 9. 如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 12. 已知在中，是边的中点，是线段的中点，，的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 13. 是虚数单位，复数________． 14. 是虚数单位，复数，则________． 15. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实数_________. 16. 已知向量，，则向量，的夹角为________． 17. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是_____． 18. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________. 19. 若，，均为单位向量，且，，则的最大值为____. 20. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）．若，，则的最小值为________． 三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角C的大小； （2）求的值． 22. 已知的内角，，所对的边长分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求的值． 23. 如图，在三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，M、N分别是BC、PC的中点. （1）求证：MN//平面PAB； （2）求证：BC⊥PC. 24. 如图，直棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是中点，是中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 25. 如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $