精品解析：天津市红桥区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学 本试卷分第Ⅰ卷选择题.和第Ⅱ卷非选择题.两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式： ●柱体体积公式：V=sh，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高. ●锥体体积公式： 其中s表示锥体底面积，h表示锥体的高. ●球体表面积公式：S=4πR²，其中R表示球体的半径. ●球体体积公式： 其中R表示球体的半径. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共10题，每小题3分，共30分. 一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的虚部定义直接判断即可. 【详解】因为复数，根据复数的虚部概念可知，该复数的虚部为1. 故选：A. 2. 复数， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，即可得出结论. 【详解】由题意， ， 故选：D. 3. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求出，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可. 【详解】由题意知， 令， 所以复数的共轭复数为， 故选：C 4. 设复数z满足，则|z|=（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算求得，再求其模长即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 5. 已知，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得，再利用平面向量线性运算与模的坐标表示即可求得结果. 【详解】因为，， 所以，得，则， 所以， 故. 故选：C. 6. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换判断即可. 【详解】函数的图象可由数的图象向右平移个单位长度而得， 所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度而得. 故选：C 7. 函数 的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角正、余弦公式以及辅助角公式将函数变形为，从而求解函数的最大值即可. 【详解】 ， 因为，所以， 当时，取得最大值，即. 故选：A. 8. 函数的一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间. 【详解】由，得， 故的单调减区间为， 对比各选项，只有C符合. 故选：C. 9. 设是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. 平行于同一条直线 B. 平行于同一个平面 C. 垂直于同一个平面 D. 内有无数条直线与平行 【答案】B 【解析】 【分析】利用选项中的条件，数形结合即可判断. 【详解】若平行于同一条直线，则与的位置关系是平行或相交，故A选项错误； 若平行于同一个平面，则与的位置关系是平行，故B正确； 若垂直于同一个平面，则与的位置关系是平行或相交，故C选项错误； 若内有无数条直线与平行，则与的位置关系是平行或相交，故D选项错误； 故选：B. 10. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填在答题卡上. 11. ___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 12. 已知向量，且，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件可求得，进而可得的坐标. 【详解】由题意，且， 所以，解得，所以. 故答案为：. 13. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是____. 填写序号 . ①若m//α， n//α， 则m//n; ②若m⊥α， α⊥β， 则m//β; ③若m⊥n， nα， 则m⊥α; ④若m⊥β， m//α， 则α⊥β. 【答案】④ 【解析】 【分析】利用空间中线线，线面，面面位置关系逐项判断即可. 详解】对于①，若m//α， n//α， 则m//n;或m，n异面或m，n相交，故①错误； 对于②，若m⊥α， α⊥β， 则m//β或mβ，故②错误； 对于③，若m⊥n， nα， 则m⊥α;或mα或m与α斜交，故③错误； 对于④，m//α，则存在平面，使且，则， 又m⊥β，所以，又，所以α⊥β.，故④正确. 故答案为：④. 14. 如图是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下结论：①; ②，③，④，其中结论正确的是____________. 填写序号 . 【答案】②④ 【解析】 【分析】画出正方体，由正方体的性质可得. 【详解】原正方体如图所示，由正方体的性质可知相交， ，则， 则四边形为平行四边形，则； 因为等边三角形，则， 所以直线与所成的角为； 因且，则，则①③错误，②④正确. .. 故答案为：②④. 15. 三棱锥的个顶点都在球的表面上，已知△是边长为的等边三角形，平面，，则球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设△的中心为，连接，，，可知，，，进而求，即可求球的表面积. 【详解】 设△的中心为，连接，，， 由题设易知：，，， ∴，故球的表面积为. 故答案为： 16. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为 则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为_____________. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开图的圆心角. 【详解】圆锥的底面圆的面积为，设底面圆的半径为，则，解得， 所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长， 又屋顶的体积为 ，设圆锥的高为，则，所以，   所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形的半径， 所以侧面展开图扇形的圆心角为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共4小题，共46分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案直接答在答题卡上. 17. 已知，且是第四象限角. （1）求和的值； （2）求的值； 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据象限和公式求出的正弦，再用倍角公式计算即可 （2）求出角正切值，再展开，代入计算即可. 【详解】解：（1），由得， ， 又是第四象限角， ， ， ， . （2）由（1）可知， ， . 18. 已知，，分别为锐角三角形三个内角对边，且． （1）求； （2）若，，求； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得； （2）利用余弦定理解方程可得； （3）根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出. 【小问1详解】 由于，所以， 由根据正弦定理可得， 所以，且三角形为锐角三角形，即 所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理知， 即，解得或（舍）， 故. 【小问3详解】 由，可得， 所以， ， 即 19. 如图，在棱长为1的正方体中，E是棱的中点，F为的中点. （1）求证: 平面 （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面； （2）先计算出和，从而得到到平面距离为，再计算出边上的高为，利用计算出平面与平面夹角的正弦值，根据同角三角函数关系得到平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 连接，，，连接，其中， 因为E是棱中点，F为的中点，故，且， 又，且，所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 正方体的体积为， 其中，， ，， ，， 所以， 其中， 由余弦定理得， 故， 所以， 设到平面的距离为，则， 解得， 设边上的高为， 其中， 故，， 故， 所以平面与平面夹角的正弦值为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 20. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且为中点，在线段上，且. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，直线与平面所成角为，根据公式求得结果； （2）利用空间向量法点到线的距离公式求得结果. 小问1详解】 因为底面，底面， 所以，又， 根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可得，， 则 设平面的法向量为， 则，解得. 取，则，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以点到的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷选择题.和第Ⅱ卷非选择题.两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式： ●柱体体积公式：V=sh，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高. ●锥体体积公式： 其中s表示锥体底面积，h表示锥体的高. ●球体表面积公式：S=4πR²，其中R表示球体的半径. ●球体体积公式： 其中R表示球体的半径. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共10题，每小题3分，共30分. 一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 复数， 则（ ） A. B. C. D. 3. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 4. 设复数z满足，则|z|=（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 5. 已知，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 12 6. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 函数 最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 函数的一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 9. 设是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A 平行于同一条直线 B. 平行于同一个平面 C 垂直于同一个平面 D. 内有无数条直线与平行 10. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填在答题卡上. 11. ___________. 12. 已知向量，且，则________________. 13. 已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是____. 填写序号 . ①若m//α， n//α， 则m//n; ②若m⊥α， α⊥β， 则m//β; ③若m⊥n， nα， 则m⊥α; ④若m⊥β， m//α， 则α⊥β. 14. 如图是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下结论：①; ②，③，④，其中结论正确的是____________. 填写序号 . 15. 三棱锥的个顶点都在球的表面上，已知△是边长为的等边三角形，平面，，则球的表面积为___________. 16. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为 则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为_____________. 三、解答题：本大题共4小题，共46分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案直接答在答题卡上. 17. 已知，且是第四象限角. （1）求和的值； （2）求的值； 18. 已知，，分别为锐角三角形三个内角对边，且． （1）求； （2）若，，求； （3）若，求的值． 19. 如图，在棱长为1的正方体中，E是棱的中点，F为的中点. （1）求证: 平面 （2）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且为中点，在线段上，且. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$