精品解析：天津市津南区2025-2026学年第二学期期末练习高一数学

天津市津南区2025～2026学年度第二学期期末练习 高一数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共10小题，每小题4分，共40分． 参考公式： ·锥体的体积公式． ·球的表面积公式，其中表示球的半径． ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·一组数据，，……，的平均数为，它的方差为． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i是虚数单位，复数（ ） A. B. C. D. 2. 一个盒子中装有支圆珠笔，其中支优等品和支合格品．若从中任取支，设事件“恰有1支优等品”，“两支都是优等品”，则与的关系为（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 3. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形，其直观图是平行四边形，其中，，则原四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，若与共线，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一条直线上的两个点到一个平面的距离相等，那么这条直线与该平面平行 B. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 C. 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线 D. 如果一条直线上有一个点在平面内，那么这条直线在该平面内 6. 为落实“五育并举”育人理念，某校随机对5名学生的劳动素养进行测评，5名学生的得分情况如下（满分10分）：6，7.5，8.5，9，9，则这组数据的（ ） A. 平均数为7.5 B. 众数为8.5 C. 第25百分位数为8.5 D. 方差为1.3 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知，表示两条不同直线，，为两个不同的平面，则错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 9. 已知，，且与垂直，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，是的中点，给出下列结论： ①三棱锥的体积为 ②直线与直线所成的角为 ③二面角的平面角的正切值为 ④平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共10小题，共80分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 11. 据气象预报，本周末甲、乙两地下雨的概率分别为和，假定这段时间内两地是否下雨相互独立，则这段时间内甲、乙两地恰有一地下雨的概率为______． 12. 在中，，，，则______． 13. 已知长方体的长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm，其所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______． 14. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则外接圆的半径为______． 15. 在平面四边形中，、分别为、的中点．记，，用，表示______；若，，且满足，则______． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知i是虚数单位，复数，． （1）当时，求； （2）若，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于上，求的值． 17. 某校举办安全知识闯关活动，共设四轮，每轮选手从该轮题库中随机抽取一题作答，答对则进入下一轮，否则淘汰，各轮题库情况如下：第一轮6题（会做4题），第二轮6题（会做3题），第三轮6题（会做2题），第四轮6题（会做1题）．各轮答题相互独立． （1）求该选手第一轮答对的概率； （2）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （3）求该选手至多进入第三轮的概率． 18. 在中，角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求，的值． 19. 某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，特举办数学竞赛活动．从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值和第75百分位数； （2）若从成绩在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取7人，则这两组分别抽取多少人； （3）已知落在的平均成绩是54，落在的平均成绩为66，求两组成绩合并后的平均数（保留一位小数）． 20. 如图，在三棱锥中，，，分别为，，的中点，且，平面平面． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，，求直线与平面所成的角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市津南区2025～2026学年度第二学期期末练习 高一数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共10小题，每小题4分，共40分． 参考公式： ·锥体的体积公式． ·球的表面积公式，其中表示球的半径． ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·一组数据，，……，的平均数为，它的方差为． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i是虚数单位，复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由. 2. 一个盒子中装有支圆珠笔，其中支优等品和支合格品．若从中任取支，设事件“恰有1支优等品”，“两支都是优等品”，则与的关系为（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 从支圆珠笔中任取支，事件为“恰有支优等品”，事件为“两支都是优等品”， ∴ 事件与不可能同时发生，满足互斥事件的定义，故A正确. ∵ 除事件外，还存在“两支都是合格品”的情况，即A与B的并集不是该试验的所有可能结果， ∴ 与不互为对立事件，故B错误. ∵ 事件不可能同时发生，故， 又 ，， ，不满足相互独立事件的定义，故C错误. ∵ 事件与包含的基本事件完全不同，∴ 两事件不相等，故D错误. 3. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形，其直观图是平行四边形，其中，，则原四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用斜二测规则得出边长进而计算求解面积. 【详解】用斜二测画法画水平放置的四边形，其直观图是平行四边形，其中，， 则， 且，则原四边形的面积是. 4. 已知，，，若与共线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算的坐标，再利用平面向量共线的坐标充要条件列方程求解. 【详解】 已知，，根据向量数乘与加法的坐标运算法则可得：  ， 因此， 由于与共线，根据平面向量共线的坐标充要条件可得：  ， 整理得，解得. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一条直线上的两个点到一个平面的距离相等，那么这条直线与该平面平行 B. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 C. 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线 D. 如果一条直线上有一个点在平面内，那么这条直线在该平面内 【答案】C 【解析】 【详解】A：当直线上的两个点在平面的两侧，且到平面的距离相等时，这条直线与平面相交，而不是平行，错误； B：如果两个平面的三个公共点在同一条直线上，那么这两个平面可能只是相交于这条直线，并不一定重合， 必须是不共线的三个公共点才能确定一个平面，错误； C：设直线与平面相交于点，平面内有一条不经过点的直线， 因为，所以直线与直线不可能相交； 因为直线与平面相交，所以不可能与平面内的直线平行， 否则就在平面内或与平面平行，与前提有矛盾， 所以既不相交也不平行，因此它们是异面直线，正确； D：直线与平面相交时，它们也有一个公共点，错误. 6. 为落实“五育并举”育人理念，某校随机对5名学生的劳动素养进行测评，5名学生的得分情况如下（满分10分）：6，7.5，8.5，9，9，则这组数据的（ ） A. 平均数为7.5 B. 众数为8.5 C. 第25百分位数为8.5 D. 方差为1.3 【答案】D 【解析】 【分析】依次计算该组数据的平均数、众数、第25百分位数、方差，逐一验证选项即可得到结果. 【详解】对于A，这组数据的平均数：，故A错误； 对于B，因数据中9出现次数最多（共2次），即众数为9，故B错误； 对于C，因，将这组数据按照从小到大排序后，第25百分位数为第2个数据7.5，故C错误； 对于D，这组数据的方差，故D正确. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求，再利用三角形内角关系可求角. 【详解】因为，所以. 又因为在中，， 所以，所以或. 8. 已知，表示两条不同直线，，为两个不同的平面，则错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间中线线、线面、面面的平行与垂直的判定及性质定理，逐一验证各选项的正误. 【详解】对于A：由，，可得或，故A错误； 对于B：由知垂直于平面内的所有直线，因，故，故B正确； 对于C：由面面垂直的判定定理可得C正确； 对于D：由线面平行的性质定理，若一条直线平行于一个平面，且过该直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行可知D正确. 9. 已知，，且与垂直，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，然后由向量夹角公式可得答案. 【详解】因与垂直，则， 则，又，则. 10. 在棱长为2的正方体中，是的中点，给出下列结论： ①三棱锥的体积为 ②直线与直线所成的角为 ③二面角的平面角的正切值为 ④平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由正方体侧棱垂直于底面的性质结合锥体体积公式判断①，通过证明线面垂直以证明线线垂直判断②，通过三垂线法即找线面垂直来找到二面角的平面角判断③，通过面面平行的判定确定平面来判断④. 【详解】，因为平面， 所以，故①错误， 连接，由题意得， 因为平面，且平面，所以， ，平面，所以平面， 因为平面，所以，即两直线所成角为，故②错误， 取中点，因为为的中位线，所以, 因为底面,所以底面，, 因为平面，所以， 过向交线作垂线，垂足为，即，连接， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，又因为平面， 平面，所以二面角的平面角为， 易得，， 在中，，故③正确， 连接，在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，因此， 因为平面，平面，所以平面， 连接，在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，因此， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面， 由题意可知平面就是平面，即平面截正方体所得的截面为， 易得三边长均为面对角线，即， 所以截面周长为，故④正确， 综上，③④正确. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共10小题，共80分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 11. 据气象预报，本周末甲、乙两地下雨的概率分别为和，假定这段时间内两地是否下雨相互独立，则这段时间内甲、乙两地恰有一地下雨的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件的概率关系即可. 【详解】甲、乙两地恰有一地下雨的概率为. 12. 在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】应用向量的数量积公式计算求解. 【详解】在中，，，， 则． 13. 已知长方体的长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm，其所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】用长方体外接球直径等于其体对角线的性质，先求出体对角线长度，再代入球的表面积公式计算结果. 【详解】因为长方体的所有顶点都在同一球面上，因此该球为长方体的外接球， 即外接球的直径等于长方体的体对角线长度，所以， 因此外接球的半径，根据球的表面积公式可得：. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则外接圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【详解】∵ 在中，，，， 由余弦定理可得，∴ . 设外接圆的半径为，由正弦定理， ∴ . 15. 在平面四边形中，、分别为、的中点．记，，用，表示______；若，，且满足，则______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用向量的线性运算性质，结合图形建立与、的关系；利用，结合向量数量积运算求解的值，进而利用与、的关系求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接,因是中点，则； 又是中点，则，故； 已知，，则， 即，代入，解得. 故， 代入，，： 得， 故. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知i是虚数单位，复数，． （1）当时，求； （2）若，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于上，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由共轭复数定义结合题设可得答案； （2）由复数相等条件可得对应方程，据此可得答案； （3）由复数几何意义结合题设可得答案. 【小问1详解】 当时，，则； 【小问2详解】 由题可得； 【小问3详解】 由题可得在上，则. 17. 某校举办安全知识闯关活动，共设四轮，每轮选手从该轮题库中随机抽取一题作答，答对则进入下一轮，否则淘汰，各轮题库情况如下：第一轮6题（会做4题），第二轮6题（会做3题），第三轮6题（会做2题），第四轮6题（会做1题）．各轮答题相互独立． （1）求该选手第一轮答对的概率； （2）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （3）求该选手至多进入第三轮的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 设事件表示 “选手第轮答对”，，各轮答题相互独立， 由题意得，所以该选手第一轮答对的概率是； 【小问2详解】 ，，，， ,该选手进入第四轮才被淘汰,即前3轮全部答对，第4轮答错， 所以 所以该选手进入第四轮才被淘汰的概率是； 【小问3详解】 因为 “至多进入第三轮”的对立事件为“进入第四轮”，即前3轮均答对，对应事件为， ， 所以至多进入第三轮的概率是. 18. 在中，角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求，的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后计算即可得； （2）借助面积公式与余弦定理计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理将边化为角可得， 又，故，故， 则，又，故； 【小问2详解】 ，则， ，故. 19. 某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，特举办数学竞赛活动．从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值和第75百分位数； （2）若从成绩在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取7人，则这两组分别抽取多少人； （3）已知落在的平均成绩是54，落在的平均成绩为66，求两组成绩合并后的平均数（保留一位小数）． 【答案】（1），第百分位数为； （2）组抽取人，组抽取人； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用频率和为1求出，再利用百分位数的定义求解. （2）利用分层随机抽样列式求解. （3）利用分层抽样的平均数公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，则； 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为，则成绩的第75百分位数， 由，解得， 所以，第百分位数为. 【小问2详解】 成绩在和的频率分别为，因此利用分层随机抽样的方法抽取的7人中， 组抽取人，组抽取人， 所以组抽取人，组抽取人. 【小问3详解】 落在的人数分别为， 所以两组成绩合并后的平均数为. 20. 如图，在三棱锥中，，，分别为，，的中点，且，平面平面． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）由题意得是的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，且为的中点，所以， 因为平面平面，且平面平面， 因为平面且，所以平面， 因为平面，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明线线平行，进而根据判定定理得出线面平行. （2）结合等腰三角形“三线合一”与面面垂直的性质定理，先证出线面垂直，最终转化为线线垂直. （3）通过作中位线构造平面的垂线来确定线面角，并在直角三角形中利用勾股定理求出边长，从而解出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点，连接， 在中，分别是的中点， 所以为的中位线，因此，且， 由上知平面，所以平面， 因此为直线与平面所成的角， 由题意得，， 在中，，所以且， ， 因为平面，且平面，所以， 在中，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $