1.4 充分条件与必要条件预习讲义-2026-2027学年新高一数学暑假人教A版必修第一册

暑假预习讲义-------专题1.4 充分条件与必要条件 一、教学目标 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．　 2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．　 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明． 二、教学重难点 1.重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；必要条件的理解;充分条件、必要条件的判断方法． 2.难点：会证明充要条件的关系，能够利用命题之间的关系判定充要关系. 知识点01 充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：. 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. 【即学即练】 1．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列用符号“”“”表示正确的是（   ） A．两直线平行同位角相等 B．n是4的倍数是偶数 C．是偶数是偶数 D．四边形对角线互相平分四边形是矩形 知识点02 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练】 1．下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 2．将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 知识点03 充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题. 【即学即练】 1．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 题型01： 单一值充分、必要、充要条件的判断 【典例1】 是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 Ⅰ：基础内容概要 充要条件：如果既有，又有，就记作。我们就说，和互为的充要条件。 说明：⑴符号“”叫做等价符号.“”表示“且”；也表示“等价于”. “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”. ①,则为的充分条件，为的必要条件；②BA, 则为的充要条件，为的充要条件； 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类： ⑴充分不必要条件，即，而；⑵必要不充分条件，即，而； ⑶既充分又必要条件，既，又有；⑷既不充分也不必要条件，即，又有． Ⅱ：单一条件判断充分必要 结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. 题干给定单一值时，一般情况为小范围，而另一个为大范围，此时充分必要显而易见. 【变式1】设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式2】已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02： 单变量不等式充分、必要、充要条件的判断 【典例1】使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03： 双变量不等式充分、必要、充要条件的判断 【典例1】已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 此题作为选择题，可以考虑用特殊值代入求解 一般情况可以取以下几组数据：，， 也可以取其中一个字母为. 【变式1】，且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式2】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型04： 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 【典例1】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 由充分、必要条件求参数范围的策略 （1）巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 （2）端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍。 具体操作方式： 记p，q对应的集合分别为A，B，则 ①若p是q的充分条件，则，②p是q的必要条件,则， ③p是q的充要条件,则且，④p是q的充分不必要条件,则且， ⑤p是q的必要不充分条件，则且， ⑥p是q的既不充分也不必要条件，则且，AB且A⊉B 形如：已知集合，集合，若是的充分条件，求实数m的取值范围． 【步骤】看问题：求实数m的取值范围．（属于范围问题） 想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想； 看条件：集合，集合，且A∪B＝A，由此知， 定措施：由是的充分条件可得，故由集合A、B中端点值的大小关系建立关于m的不等式，利用不等式思想求出实数m的取值范围。 【变式1】已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 【变式2】已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【基础巩固选择题】 1．下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 2．命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【能力提升填空题】 9．已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为______；若是的必要条件，则实数的取值范围是______． 10．对于实数，“”是“且”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 11．已知或，若是的必要条件，则实数的范围是______． 12．命题，.若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 13．设、是两个非空集合，则“”是“”的_____条件（“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”）. 14．已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是___________． 15．已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 【综合解答题】 16．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17．下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 18．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 20．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习讲义-------专题1.4 充分条件与必要条件 一、教学目标 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．　 2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．　 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明． 二、教学重难点 1.重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；必要条件的理解;充分条件、必要条件的判断方法． 2.难点：会证明充要条件的关系，能够利用命题之间的关系判定充要关系. 知识点01 充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：. 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. 【即学即练】 1．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式得，根据与的关系判断p、q的关系. 【详解】因为，所以，能推出，但不能推出，所以是的必要不充分条件. 故选：B 2．下列用符号“”“”表示正确的是（   ） A．两直线平行同位角相等 B．n是4的倍数是偶数 C．是偶数是偶数 D．四边形对角线互相平分四边形是矩形 【答案】A 【详解】由两直线平行得同位角相等，故A正确：由n是4的倍数得n是偶数，故B错误；由是偶数得不到a，b是偶数，如，，故C错误；由四边形对角线互相平分得四边形是平行四边形，故D错误． 知识点02 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练】 1．下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 2．将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 【答案】AB 【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由及，得，A正确； 对于B，由，得，的必要条件是，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：AB. 知识点03 充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题. 【即学即练】 1．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 【答案】D 【详解】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题． 题型01： 单一值充分、必要、充要条件的判断 【典例1】 是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由等价于或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. Ⅰ：基础内容概要 充要条件：如果既有，又有，就记作。我们就说，和互为的充要条件。 说明：⑴符号“”叫做等价符号.“”表示“且”；也表示“等价于”. “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”. ①,则为的充分条件，为的必要条件；②BA, 则为的充要条件，为的充要条件； 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类： ⑴充分不必要条件，即，而；⑵必要不充分条件，即，而； ⑶既充分又必要条件，既，又有；⑷既不充分也不必要条件，即，又有． Ⅱ：单一条件判断充分必要 结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. 题干给定单一值时，一般情况为小范围，而另一个为大范围，此时充分必要显而易见. 【变式1】设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断. 【详解】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 【变式2】已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且，可得，所以是的充分条件； 如，故是的不必要条件； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 题型02： 单变量不等式充分、必要、充要条件的判断 【典例1】使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 【变式1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得，因为不能推出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件. 【变式2】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 【变式3】已知，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求解分式不等式，求得的范围，进而从充分性和必要性进行判断即可. 【详解】，即，，解得或； 故当时，可以推出；当，推不出； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型03： 双变量不等式充分、必要、充要条件的判断 【典例1】已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 此题作为选择题，可以考虑用特殊值代入求解 一般情况可以取以下几组数据：，， 也可以取其中一个字母为. 【变式1】，且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件的定义，可得答案. 【详解】当时，，则不能推，故p是q的不充分条件； 当且时，恒成立，则可以推，故p是q的必要条件. 故选：A. 【变式2】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】若，如，则， 无法得到. 若，则， 则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式3】已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断. 【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到； 当时，若，就不能得到. 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 题型04： 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 【典例1】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 由充分、必要条件求参数范围的策略 （1）巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 （2）端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍。 具体操作方式： 记p，q对应的集合分别为A，B，则 ①若p是q的充分条件，则，②p是q的必要条件,则， ③p是q的充要条件,则且，④p是q的充分不必要条件,则且， ⑤p是q的必要不充分条件，则且， ⑥p是q的既不充分也不必要条件，则且，AB且A⊉B 形如：已知集合，集合，若是的充分条件，求实数m的取值范围． 【步骤】看问题：求实数m的取值范围．（属于范围问题） 想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想； 看条件：集合，集合，且A∪B＝A，由此知， 定措施：由是的充分条件可得，故由集合A、B中端点值的大小关系建立关于m的不等式，利用不等式思想求出实数m的取值范围。 【变式1】已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得． 【变式2】已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，若p是q的充分条件，则，故． 【变式3】已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 【基础巩固选择题】 1．下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、平行四边形的性质特征，结合充分条件的定义及正方形的性质判断命题间的关系. 【详解】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C 2．命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合必要不充分条件的定义求出，即得的取值可能是1. 【详解】由是的必要不充分条件，得， 则由命题“是的必要不充分条件”是假命题，得， 所以的取值可能是1． 故选：A. 3．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 4．如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特例法以及必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】取，满足“”，但即，充分性不成立； 如果，那么和的整数部分是相同的，所以，所以必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 6．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 7．“”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接判断集合包含关系判断即可得． 【详解】由题意可知：是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知：，所以是的必要不充分条件，故选项A正确； ，所以是的充分不必要条件，B错误； ，所以是的充分不必要条件，所以C错误； ，且，所以是的既不充分也不必要条件，以D错误. 故选：A． 8．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【能力提升填空题】 9．已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为______；若是的必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】设出两个集合，若是的充分条件，则，从而得到不等式，求出答案；由是的必要条件可得，分和两种情况，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】或，或， 若是的充分条件，则，所以，解得， 即实数的最大值是； 若是的必要条件，则， ①当，即时，，此时成立； ②当，即时，， 若，则，解得，又，故无解， 综上，的取值范围是． 故答案为：-4， 10．对于实数，“”是“且”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】由，可得且，可知充分性成立，赋值法可判断必要性不成立. 【详解】由，可得且，所以且， 所以“”是“且”的充分条件； 满足且，但， 所以“”不是“且”的必要条件． 所以“”是“且”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 11．已知或，若是的必要条件，则实数的范围是______． 【答案】 【分析】根据题意得出，分类讨论a的取值范围，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】因为是的必要条件，所以， ①当时，，满足； ②当时，， 由，得，解得，故； ③当时，， 由，得，解得，故； 综上所述，实数的范围是， 故答案为： 12．命题，.若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据充分不必要条件的性质，进行计算即可. 【详解】设，， 因为的一个充分不必要条件是，则是的充分不必要条件， 则是的真子集，所以. 故答案为：. 13．设、是两个非空集合，则“”是“”的_____条件（“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”）. 【答案】必要非充分 【分析】由可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可得， 故由推不出，即充分性不成立； 由推得，即必要性成立； 所以“”是“”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 14．已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得． 15．已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用必要不充分条件的定义求出范围. 【详解】由题知，， 又因为“”是“”的必要不充分条件，可得， 故答案为：. 【综合解答题】 16．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 17．下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件. （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件. （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分， ∴是的必要非充分条件. 18．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 19．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 20．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)k为偶数；证明见解析 【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $