第11讲 有理数的加法与减法（暑假预习讲义，9题型突破+过关检测）新六年级数学新教材沪教版五四制

第11讲 有理数的加法与减法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1有理数加法运算 题型2 有理数加法运算律 题型3有理数加法在生活中的应用 题型4 有理数的减法运算 题型5有理数减法的实际应用 题型6 有理数的加减混合运算 题型7有理数加减中的简便运算 题型8 有理数加减混合运算的应用 题型9数轴上两点之间的距离 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数加法、有理数减法、加法法则、减法法则、相反数、绝对值、代数和、省略加号和括号、加法交换律、加法结合律、转化思想、数形结合（数轴）、温差、海拔、收支、同号相加、异号相加、凑整简算、绝对值化简 （一）知识目标 1. 熟记有理数三条加法法则，能准确区分同号、异号、与0相加三种情况，会借助数轴理解加法几何意义（数轴点左右平移）。 2. 掌握减法核心法则：减去一个数等于加上这个数的相反数（，体会减法转化为加法的转化思想）。 3. 熟练运用加法交换律、结合律，能将加减混合运算统一写成代数和形式，规范省略括号与加号书写。 4. 会计算整数、小数、分数混合的加减算式，能熟练处理含绝对值的加减运算。 （二）能力目标 1. 掌握三步规范计算法：一看类型、二定符号、三算绝对值，规避基础符号错误。 2. 灵活运用简便运算技巧：相反数结合、同号结合、同分母结合、凑整结合，提升运算速度与准确率。 3. 能从温度、海拔、盈亏、行程等实际情境中抽象有理数加减算式，完成列式与求解。 4. 掌握数轴两点距离公式，解决数轴距离、基础动点题型。 （三）素养目标 1. 建立核心符号意识，精准区分运算符号（+、-）与性质符号（正、负），打破小学无负数运算思维定式。 2. 渗透转化、数形结合、分类讨论三大数学思想。 3. 养成分步演算、不跳步、主动验算的规范计算习惯。 重点：有理数加减运算法则、加减混合简便运算、实际应用列式计算 难点：异号两数相加符号判断、多重符号化简、含绝对值加减综合计算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 【方法总结】 1. 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加 2. 异号两数相加：取绝对值大的数的符号，大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得0 3. 一个数加0：仍得原数 a+0=a 知识点02 有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 【方法总结】四大简便组合思路： ① 相反数先结合（抵消为0）；② 同号数分组相加；③ 同分母分数合并；④ 凑整数、整十数 知识点03有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 【方法总结】两步转化：减号变加号，减数变相反数，被减数符号永远不变 知识点04 有理数的加减混合运算 运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. 运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 【方法总结】 1. 统一成加法（代数和）：所有减法全部转加法 2. 省略括号与加号简写：(-2)+(+3)+(-5)=-2+3-5 知识点05数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 特别提醒 两点之间的距离是连接两点之间线段的长度，是个正数.所以： (1)当a ＞ b 时，AB=a－b； (2)当a ＜ b 时，AB=b－a. (3)当a，b 的大小不确定时，AB=|a－b|，一般需要分类讨论. 题型1有理数加法运算 【例1】．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算：______． 【答案】/ 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查分数的加法运算． 需要将整数转化为分数形式，通分后计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【例2】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，将带分数和小数转换为分数形式，然后根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【技巧归纳】解题技巧：先判同异号，先定符号再算数值；小数优先凑整，分数先统一分母 【变式1-1】.（25-26六年级上·上海虹口·期中）如表，算筹是我国古代的计算工具，采用纵、横两种摆法表示数字，规则为“一纵十横，百立千僵”，即个位纵式、十位横式、百位纵式、千位横式，依此类推．古人在个位数字上划斜线表示该数为负数．例如：“”表示数字“”． 纵式 横式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 现有算筹“”和“”，将它们所表示的数求和，得到的数是（   ） A．564 B． C．742 D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据题干信息列出算式，进行计算即可． 【详解】 解：根据题意得算筹“”和“”为：和， ∴， 故选：B． 【变式1-2】．（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：______． 【答案】/ 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，直接根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-3】．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，直接根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型2有理数加法运算律 【例3】．嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查加法运算律的应用，需根据变形过程判断所使用的运算律． 根据加法交换律和加法结合律进行变形即可得解． 【详解】原式为变为， 将原式中的和交换位置，使同分母分数与相邻，属于交换加法的位置； 将与相结合，与相结合，属于加法结合律； 综上，变形过程中运用了加法交换律和结合律； 故选． 【变式2-1】．（24-25六年级上·上海闵行·期末）不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的减法和加法计算，减去一个数，等于加上这个数的相反数，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加，据此可得结论． 【详解】解：用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是加法结合律；同号两数相加，符号不变，绝对值相加；减去一个数等于加上这个数的相反数；不能用乘法对加法的分配律解释， 故选：C． 【变式2-2】．利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用加法的运算律进行求解较简便； （2）利用加法的运算律进行求解较简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】．（24-25六年级下·上海·暑假作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型3有理数加法在生活中的应用 【例4】．（25-26六年级上·上海金山·期中）上海某公司2024年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法的实际应用，正负数的应用． 将盈利记为正数，亏损记为负数，计算四个季度的和即可． 【详解】解：∵第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万， ∴全年盈亏（万）． 故选：B． 【例5】．（25-26六年级上·上海宝山·期中）电影《志愿军：浴血和平》片长143分钟，如果上午9时50分开始放映，那么放映结束时间是_______时_______分． 【答案】 12 13 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了跟时间有关的计算，根据时间的进制关系，进行计算即可． 【详解】解：143分钟小时23分， （分钟）小时13分钟， 时， 故放映结束时间是12时13分； 故答案为：12；13． 【变式3-1】．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 【答案】A 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解． 【详解】解：A、巴黎与北京的时差为，， 故巴黎此时时间为2025年元月6日，而不是，故选项A符合题意； B、纽约与北京的时差为，， 故纽约此时时间为：2025年元月6日，故选项B不符合题意； C、东京与北京的时差为，， 故东京此时时间为2025年元月6日，故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）小明的晨跑计划是每次跑1000米，训练后记录“里程偏差”，规定：实际多跑的里程记为正数，少跑的里程记为负数（需要后续补跑）．6次训练的偏差记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 偏差（米） 根据表格数据，这6次训练中，所有偏差的总里程（即实际多跑的里程需要补跑的里程）是________米． 【答案】490 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法的应用，根据题意，总里程为实际多跑的里程与需要补跑的里程之和，即所有偏差的绝对值之和，由此计算即可得出结果，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故所有偏差的总里程为米， 故答案为：． 【变式3-3】．（25-26六年级上·上海虹口·期中）一家商店一周七天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：元、1000元、1500元、元、1800元、元、800元． 问：这家商店这一周共盈亏多少元？ 【答案】盈利3900元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 先分别计算正数之和、负数之和，再求总和即可． 【详解】解：正数之和：（元）． 负数之和：（元）． 总和：（元）． 答：这家商店这一周共盈利3900元． 题型4 有理数的减法运算 【例6】．计算：（　　） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算 【分析】此题主要是考查了有理数的减法法则，能够熟练运用减去一个数等于加上这个数的相反数是解答此题的关键． 根据有理数的减法法则进行计算可得结果． 【详解】解： 故选：D． 【例7】．（24-25六年级下·上海·暑假作业）___________，___________． 【答案】 0 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，掌握减去一个数，等于加上这个数的相反数是解题的关键． 根据有理数的减法运算法则即可求解． 【详解】解：， ， 故答案为：0，． 【技巧归纳】两步转化：减号变加号，减数变相反数，被减数符号永远不变 【变式4-1】．（25-26六年级上·上海·期中）如果一个数加上所得的和是7，那么这个数是_______． 【答案】/ 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算法则，根据有理数的减法运算法则，用和减去加数即可求出这个数． 【详解】解：由题意知，这个数为． 故答案为：． 【变式4-2】．（25-26六年级上·上海·期中）列式计算：减去什么数所得的差是？ 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则解题即可． 【详解】解： ． 【变式4-3】．（24-25六年级下·上海·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型5 有理数减法的实际应用 【例8】．电冰箱的冷藏室温度是，冷冻室温度是，则冷藏室比冷冻室温度高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查有理数减法的应用，熟练掌握有理数的减法是解题的关键．根据题意可直接进行列式求解． 【详解】解：由题意得： ． 故选：B． 【例9】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米，则丙地的海拔高度是______米． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】此题考查了有理数的加减运算的实际应用，根据题意列式求解即可． 【详解】∵甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米， ∴（米） ∴丙地的海拔高度是米． 故答案为：． 【变式5-1】．（24-25六年级上·上海金山·期中）新疆大部分地区夏天昼夜温差较大，故历来有“早穿皮祅午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果新疆某地某天的最低气温为，最高气温为，那么当天的温差是多少？ 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法运算的实际应用，根据题意列出算式即可求解，理解题意是解题的关键 【详解】解：， 答：当天的温差是． 【变式5-2】．（24-25六年级上·上海·期中）上海冬季某两天的气温如下表所示： 最高温度 最低温度 第一天 7 第二天 这两天中，第______天温差较大． 【答案】一 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】先计算温差，再比较大小解答即可． 本题考查了温差的计算，有理数的大小比较，熟练掌握减法计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一天的温差为：， 第二天的温差为：， 又， 故第一天温差大， 故答案为：一． 【变式5-3】．某矿井下A，B，C三处的海拔高度分别为米，米，米． (1)求A处比C处高多少米？ (2)求B处比C处高出多少米？ 【答案】(1)处比处高32.2米 (2)处比处高米 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】（1）列出减法算式，计算得出结论即可； （2）列出减法算式，计算得出结论即可． 【详解】（1）解：（米， 答：处比处高32.2米； （2）解：（米， 答：处比处高米． 【点睛】本题主要考查有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 题型6 有理数的加减混合运算 【例10】．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）计算：____． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数加减法运算，理解运算法则是解答关键. 先将减法转化为加法，统一为分数形式，然后通分计算求解. 【详解】解： = . 故答案为：. 【例11】．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）减去与的和，所得的差是__________． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式，先计算两个数的和，再求与这个和的差即可． 【详解】解：根据题意，列式计算： ． 故答案为：． 【例12】．（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，将带分数拆分成整数和真分数再分别计算即可． 【详解】解： 【技巧归纳】解题三步：①统一为加法，转化为代数和形式；②去括号、省略加号；③简便运算求值 【变式6-1】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果一个数减去，再加上等于，那么这个数是______． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了分数的加减法，根据题意列出算式是解题的关键． 根据题意列出算式并计算即可． 【详解】解：根据题意，这个数应该是：． 故答案为： ． 【变式6-2】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的运算，掌握简便运算及通分是解题的关键． 根据有理数简便运算，分整数和分数分别计算即可． 【详解】原式 ． 【变式6-3】．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的加法法则与分数通分运算．先将多个负数相加转化为正数求和后取相反数，再通过找最小公倍数通分，统一分母后计算分子和，最后保留负号得结果． 【详解】解： ． 【变式6-4】．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下面是小明求解计算题的过程． 解：     ①     ②     ③     ④     ⑤ 他的解法是否正确？如果不正确，他从第______步开始错了，并从这一步开始加以改正． 【答案】① 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 根据有理数的加减混合运算法则进行判断和计算即可． 【详解】解：他的解法是不正确的，从第①步开始出现错误，正确的解答过程为： ． 故答案为：①． 题型7有理数加减中的简便运算 【例13】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】2 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握简便算法． 利用加法交换律和结合律进行简便计算即可； 【详解】解： ． 【例14】．（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数加法运算律计算即可． 【详解】解： 【变式7-1】．（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法运算律，根据有理数的加减运算法则及运算律计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式7-2】．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加减中的简便运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）同分母的先相加； （2）小数化为分数，同分母的先相加； （3）先化去绝对值，再加同分母的先相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式7-3】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，运用有理数减法法则将减法转化为加法，结合加法交换律、结合律，以及小数与分数互化，简化运算过程，高效解决相关计算问题． （1）利用加法交换律和结合律，将同分母的分数结合在一起； （2）根据有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，将减法转化为加法； （3）先将小数化为分数，再根据有理数减法法则将减法转化为加法，然后利用加法交换律和结合律进行计算； （4）先将小数化为分数，，，再根据有理数减法法则将减法转化为加法，然后利用加法交换律和结合律进行计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型8 有理数加减混合运算的应用 【例15】．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）某大米包装袋上的标识：，表示此袋大米的重量有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，根据标识，确定重量范围，再判断各选项是否在此范围内，即可． 【详解】解：标识表示重量最小值为，最大值为； A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B 【例16】．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）小巧在直线上来回走，从A点出发，先向右走3步，再向左走7步，最后向右走8步停在B点，那么A、B之间的距离是________步． 【答案】4 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，根据从A点出发，先向右走3步，再向左走7步，最后向右走8步停在B点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设向右走为正，向左走为负， 依题意，（步） ∴A、B之间的距离是4步． 故答案为：4 【例17】．（25-26六年级上·上海·期中）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） 根据上表回答问题： (1)星期二收盘时，该股票每股______元？ (2)本周内该股票收盘时的最高价是______元，最低价是______元？ (3)已知买入股票与卖出股票均需支付交易费．交易费的计算方式是：成交金额乘以0.005．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1) (2)； (3)小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他会赚元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键， （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义分别求得每天的实际股票价格后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（元）， 即星期二收盘时，该股票每股元， 故答案为：； （2）解：周一实际的股票价格：（元）， 周二实际的股票价格：（元）， 周三实际的股票价格：（元）， 周四实际的股票价格：（元）， 周五实际的股票价格：（元）， 则本周内该股票收盘时的最高价是元，最低价是元， 故答案为：；； （3）解： （元）， 即小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他会赚1740元． 【技巧归纳】解题模板：上升/收入/正向变化记为正，下降/支出/反向变化记为负，列式累加求解 【变式8-1】．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下面是乐乐家10月的全部收支情况，妈妈领工资8100元，缴纳水电煤共元，为乐乐买衣服用去了120元，全家去游乐场用去了600元，爸爸领工资10300元，妈妈买衣服用去230元，爸爸加油用去1200元，还房贷用去3500元，为爷爷过生日用去2300元，本月伙食费合计用去元，那么小闵家本月的结余为______元． 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用小闵爸妈的工资和减去所有支出即可得到答案． 【详解】解：元， ∴小闵家本月的结余为元， 故答案为：． 【变式8-2】．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）某交警开车在一条东西大道上巡逻．某天早上他从岗亭出发，晚上停留在处，规定向东的方向为正，向西为负，当天行驶情况记录如下：（单位：千米） ，，，，，，，， (1)处在岗亭何方？距离岗亭多远？ (2)巡逻过程中，该交警离开岗亭的最远距离是多少千米？ (3)若小汽车行驶每千米耗油0.2升，这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)A处在岗亭西边，距离岗亭千米． (2)巡逻过程中，该交警离开岗亭的最远距离是千米． (3)这一天共耗油升． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键． （1）求出所有数据的和，进行判断即可． （2）求出每一次行驶后距离岗亭多远，进行比较即可． （3）求出总路程，再利用总路程乘以每千米的油耗，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： (千米)， A处在岗亭西边，距离岗亭千米． （2）第一次行驶后：，距离岗亭千米； 第二次行驶后：，距离岗亭2千米； 第三次行驶后：，距离岗亭9千米； 第四次行驶后：，距离岗亭6千米（西方）； 第五次行驶后：，回到岗亭； 第六次行驶后：，距离岗亭千米（西方）； 第七次行驶后：，距离岗亭千米（西方）； 第八次行驶后：，距离岗亭千米（西方）． 综上，该交警离开岗亭的最远距离是千米． （3）解：由题意得：（升）， 答：这一天共耗油升． 【变式8-3】．（25-26六年级上·上海松江·期中）为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 【答案】(1)米；米 (2)米 (3)累计跑步米 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算解决实际问题，读懂题意，准确得到每天跑步距离是解决问题的关键． （1）按照每日距离变化表，直接计算即可得到答案； （2）按照每日距离变化表，直接计算这5天跑步距离即可得到答案； （3）由（2）中各天跑步距离直接求和即可得到答案． 【详解】（1）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 答：小明在9月21日跑步米、22日跑步米； （2）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 9月23日：（米）， 9月24日：（米）， 9月25日：（米）， 9月25日是跑步最多的一天，是（米）； （3）解：由（2）中各天跑步距离可得，（米） 答：累计跑步米． 【变式8-4】．（24-25六年级上·上海·期中）巴黎奥运会上中国选手黄雨婷和盛李豪组成的队伍经过十四轮激烈比拼后，以总比分击败韩国队，夺得中国队首金并卫冕该项目冠罕．其中决赛从第8轮以后开始进入自热化阶段，两位选手最后的6轮成绩如下表所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 ______ ______ 盛李豪 ______ ______ (1)请填写表中空格； (2)请计算两位选手最后六轮的总成绩． 【答案】(1)见详解 (2)黄雨婷这六轮的总成绩为环，盛李豪这六轮的总成绩为63环 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确地列出式子进行解题． （1）由正负数的定义，大于的记为正数，小于的记为负数，然后填入数据即可；（2）先求出正负数的和，然后加上基数，即可得到答案． 【详解】（1）解：填写表中空格如图． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 0 （2）解：根据题意，黄雨婷这六轮的总成绩为：（环）． 盛李豪这六轮的总成绩为：（环）． 题型9数轴上两点之间的距离 【例18】．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 【例19】（24-25六年级上·上海·期中）已知，数轴上点表示的数是，存在一点使得点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减法计算，点C在点A左边时用点A表示的数减去点A和点C的距离，点C在点A右边时用点A表示的数加上点A和点C的距离，据此可得答案． 【详解】解：当点C在点A左边时，则点C表示的数为， 当点C在点A左边时，则点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或， 故答案为：或． 【技巧归纳】核心考点：数轴上点的移动、两点距离计算 【变式9-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离大于3，则点C位于（   ） A．点O的左边 B．点A与点B之间 C．点O与点A之间 D．点B的右边 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】这道题主要考查用数轴上的点表示有理数，有理数的加法和减法，根据有理数确定位置．根据题意分析出点表示的数是0.5，然后根据到点B的距离大于3确定点的位置． 【详解】解：点到点的距离为1，点A表示数1.5 点表示的数为或 又点到点的距离大于3 点表示的数为0.5 即点位于点O与点A之间． 故选：C． 【变式9-2】．（24-25六年级上·上海崇明·期末）在数轴上，点A表示的点是，与点A相距个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴的意义和数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键； 分在的左侧时，和在的右侧时，两种情况，用分别减去或加上即可得到数轴上与A点相距个单位长度的点表示的数． 【详解】解：当点在的左侧时，则与点A相距个单位的点所表示的数是， 当点在的右侧时，则与点A相距3个单位的点所表示的数是， 故答案为：或． 【变式9-3】（24-25六年级上·上海·期中）数轴上一点A向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为3，则点A表示的数是 【答案】1或 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上点的平移，关键是掌握数轴上点的平移对应的数的变化规律左加右减． 先求出表示的数，再分类讨论，根据平移法则左加右减，即可求出表示的数． 【详解】解：∵到原点距离为3， ∴表示3或， 当表示3时， 把向左平移2个单位得， ∴此时，表示1， 当表示时， 把向左平移2个单位得， 此时，表示， 综上所述：表示1或． 故答案为：1或． 【变式9-4】（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】有理数减法的实际应用、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 一、单选题 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法和减法运算，解题的关键是掌握有理数的加、减的运算法则． 分别对每个选项按照有理数加减运算法则进行计算，然后判断其正确性． 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 故选：B． 2．一个零件的标准长度是，将作为零件的基准“”，高于基准用正数表示，低于基准用负数表示，如果实际生产中有一个零件的长度表示为，那么这个零件的实际长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键，直接根据有理数的加法求解即可． 【详解】解：∵准长度是，将作为零件的基准“”，高于基准用正数表示，低于基准用负数表示， 一个零件的长度表示为，那么这个零件的实际长度为： 因此，该零件的实际长度为， 故应选项：C． 3．（    ）中的括号里应填（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法，根据减法运算的性质，将原式转化为求减数的问题，通过移项和符号处理即可求解 【详解】解：选项A：，等式不成立，不符合题意； 选项B：，等式成立，符合题意； 选项C：，等式不成立，不符合题意； 选项D：，等式不成立，不符合题意. 故答案为：B. 4．如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，两个有理数的和为负数，说明它们的总和小于零，如果两个数都是非负数（即正数或零），则它们的和必然大于或等于零，与和为负数矛盾，因此，至少有一个数是负数，由此即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：设两个有理数为和，且， 如果且，则，与矛盾， 故和不能同时为非负数， ∴那么这两个数至少有一个是负数， 故选：C． 5．下列各式能用加法运算律简化计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了加法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据加法的交换律和结合律的运算法则进行逐项分析，进行判断即可． 【详解】解：．，不能用加法运算律简化计算，故该选项不符合题意； ．，不能用加法运算律简化计算，故该选项不符合题意； ． ，可以运用加法运算律简化计算，故该选项符合题意； ．，不能用加法运算律简化计算，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 二、填空题 7．计算： _______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法， 根据有理数的加法进行计算即可求解．熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．如图，已知数轴上点表示的数是2026，且，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是2026， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故答案为：． 9．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键；因此此题可根据有理数的加法法则进行求解． 【详解】解：； 故答案为． 10．把写成省略括号的和的形式是________________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，属于应知应会题型，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 根据有理数的加减运算法则解答即可． 【详解】解：把写成省略括号的和的形式是； 故答案为：． 11．已知P是数轴上的一点，把P点移动5个单位长度后，P点表示的数是______． 【答案】或2 【分析】本题考查了数轴上的点的平移规律，熟练掌握数轴上点的平移规律，左减右加是解题的关键．本题应从左移和右移两方面进行讨论即可解出答案． 【详解】解：若点向左移动5个单位，则为：； 若点向右移动5个单位，则为：， 故答案为或． 12．某地一天中午的气温是，到了晚上下降了，则晚上该地的气温是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法的实际应用，解题关键是列出算式． 先根据题意列出算式，再计算． 【详解】解：∵该地一天中午的气温是，到了晚上下降了， ∴晚上该地的气温是（） 故答案为： ． 13．在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，若点M是的中点，则点M所对应的数为________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，根据线段的中点M所表示的数为A、B对应数值和的一半解答即可． 【详解】解：点M所对应的数为， 故答案为：． 14．已知|a|＝5，|b|＝3，且a＞0，b＜0，则a﹣b的值为____． 【答案】8 【分析】根据题意确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵|a|＝5，|b|＝3且a＞0，b＜0， ∴a＝5，b＝−3． ∴a﹣b=5−（−3）＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义、有理数的减法，掌握绝对值的定义是解题的关键． 15．在数轴上点A表示的数是，点B也在数轴上，且点A、B之间的距离是4，则点B表示的数是______． 【答案】或2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，两点间的距离，有理数的加减法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，进行分类讨论，再列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在数轴上点A表示的数是，点A、B之间的距离是4， ∴当点B在点A的左边时，则； ∴当点B在点A的右边时，则； 故答案为：或2 16．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶情况（单位：千米）如下：．若出租车的耗油量为0.06升/千米，则这天下午出租车共耗油__________________升． 【答案】3.18 【分析】出租车司机小李下午走的总路程是各个有理数绝对值的和，汽车共耗油汽车单位耗油量总路程． 【详解】解：共行驶： （千米） 共耗油：（升）． 答：则这天下午汽车共耗油升． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是绝对值及有理数的加法，关键是要理解有理数正负数、绝对值的含义，特别是在应用问题中所表示的含义． 17．定义新运算符号“⊕”如下：，例如：，则____________． 【答案】6 【分析】本题考查了新运算法则和有理数运算，掌握新运算法则是解题的关键．根据新运算列出算式，然后根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】解：由得 ， 故答案为：6． 18．6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表．那么这组小朋友平均每人实际跳了________下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作________． 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 0 【答案】 102 +2 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的混合运算应用，解决此题的关键是正确的计算；先算出总成绩，即可算出平均数；根据正负数的意义得到第二空的答案即可； 【详解】解：（下）， （下）， 答：平均每个小朋友跳102下． ， 如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作． 故答案为：102；． 三、解答题 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，一个数的绝对值，熟练掌握有理数加减混合运算规则是解题的关键． 先去掉绝对值，带分数变成假分数，分母都化成相同值，然后分子相加减，并约分即可完成计算． 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法化为加法，再把小数化为分数，再根据加法法则计算，即可作答． 【详解】解： ． 21．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算， 先去括号，再根据加法结合律计算即可. 【详解】解：原式 . 22．已知，且，求的值． 【答案】7或1 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的加法运算，根据，结合绝对值的非负性，求出的值，再进行加法运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 综上可知，的值为7或1． 23．李爷爷的银行卡上原有1000元钱，近一段时间的存取情况（存入为正，取出为负）如下： 元，元，元，元，元． 李爷爷的银行卡上现在有多少元钱？（不计利息） 【答案】730元 【分析】本题考查了有理数加法的应用，利用卡里原有的钱加上李爷爷每次存取的钱求解即可． 【详解】解∶ ， 答∶ 李爷爷的银行卡上现在有730元钱． 24．红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分为；黄队胜蓝队，比分为；红队负蓝队，比分为． (1)如果胜一场积3分，负一场积1分，求三个队的积分各是多少？ (2)当球队积分相同时，净胜球总数多的球队排名靠前．如果进球记为正，失球数记为负，净胜球数等于进球数与失球数的和．请通过计算各队的净胜球数，判断哪个球队获得第一名． 【答案】(1)三个队各得4分 (2)蓝队获得第一名 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的实际应用． （1）根据题意，得出三个队各自胜的场次，即可解答； （2）根据题目所给净胜球数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：红队胜一场，负一场，得分； 黄队胜一场，负一场，得分； 蓝队胜一场，负一场，得分； 所以三个队各得4分； （2）解：红队进球6个，失球7个，净胜球数； 黄队进球5个，失球5个，净胜球数； 蓝队进球6个，失球5个，净胜球数． 因为， 所以蓝队获得第一名． 25．某支股票上周末的收盘价格是10.00元，本周一到周五的收盘情况如下表： （“＋”表示股票比前一天上涨，“－”表示股票比前一天下跌） 周一 周二 周三 周四 周五 (1)周一至周五这支股票每天的收盘价各是多少元？ (2)本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了？上涨或下跌了多少？ (3)这五天的收盘价中哪天的最高？（4）哪天的最低？相差差多少？ 【答案】(1)周一，周二，周三，周四，周五 (2)上涨了，上涨了 (3)周三的最高； (4)周二的最低，相差 【分析】本题主要考查有理数加减法在生活中的应用； （1）根据每天的涨跌情况，分别列式计算即可； （2）根据题意列式，即可求出． （3）根据>>>>即可得出结果； （4）根据题意得，即可求出． 【详解】（1）解：周一 周二 周三 周四 周五 （2）解：本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了， ∴上涨了； （3）解：∵>>>> ∴周三的最高； （4）周二的最低； ∴相差． 26．2021年7月，我国河南省由于受台风等因素的影响，出现了千年难遇的特大洪涝灾害．国家防总部署强降雨防范，各级水利部门加强了检测预报预警，及时发布洪水预警信息，为调度决策、防范应对和抢险救灾提供了有力支撑． 下表是我国河南省某水库一周内的水位变化情况 单位：（米） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录 +2.5 +1.2 +2.1 -0.3 -0.5 +0.2 -0.8 （注：该水库的警戒水位是35.5米，表格中“+”表示比警戒水位高，“—”表示比警戒水位低） （1）该水库本周水位最高的一天是星期______，这一天的实际水位是______米． （2）若规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“—”，不升不降用“0”，请补全下面的本周水位变化表：单位（米） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 +2.3 -0.2 -1 （3）与上周末相比，本周末该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【答案】（1）一，38；（2）补全表格见解析；（3）下降了，下降了1米． 【分析】（1）找出表格中的最大数即为该水库本周水位最高的一天，再将其加上即可得到这一天的实际水位； （2）根据题干中表格的数据，利用星期二的水位记录减去星期一的水位记录可得星期二的水位变化值，同样的方法求出其他时间的即可； （3）先根据星期一的水位变化值求出上周末的水位记录，再根据本周末的水位记录进行比较即可得出答案． 【详解】解：（1）因为， 所以该水库本周水位最高的一天是星期一， 这一天的实际水位是（米）， 故答案为：一，38； （2）星期二的水位变化值：（米）， 星期三的水位变化值：（米）， 星期四的水位变化值：（米）， 星期六的水位变化值：（米）， 补全本周水位变化表如下：单位（米） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （3）上周末的水位记录为（米）， 则（米）， 答：与上周末相比，本周末该水库水位是下降了，下降了1米． 【点睛】本题考查了正负数的实际应用、有理数加减法的应用，理解正负数的意义和正确列出各运算式子是解题关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 有理数的加法与减法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1有理数加法运算 题型2 有理数加法运算律 题型3有理数加法在生活中的应用 题型4 有理数的减法运算 题型5有理数减法的实际应用 题型6 有理数的加减混合运算 题型7有理数加减中的简便运算 题型8 有理数加减混合运算的应用 题型9数轴上两点之间的距离 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数加法、有理数减法、加法法则、减法法则、相反数、绝对值、代数和、省略加号和括号、加法交换律、加法结合律、转化思想、数形结合（数轴）、温差、海拔、收支、同号相加、异号相加、凑整简算、绝对值化简 （一）知识目标 1. 熟记有理数三条加法法则，能准确区分同号、异号、与0相加三种情况，会借助数轴理解加法几何意义（数轴点左右平移）。 2. 掌握减法核心法则：减去一个数等于加上这个数的相反数（，体会减法转化为加法的转化思想）。 3. 熟练运用加法交换律、结合律，能将加减混合运算统一写成代数和形式，规范省略括号与加号书写。 4. 会计算整数、小数、分数混合的加减算式，能熟练处理含绝对值的加减运算。 （二）能力目标 1. 掌握三步规范计算法：一看类型、二定符号、三算绝对值，规避基础符号错误。 2. 灵活运用简便运算技巧：相反数结合、同号结合、同分母结合、凑整结合，提升运算速度与准确率。 3. 能从温度、海拔、盈亏、行程等实际情境中抽象有理数加减算式，完成列式与求解。 4. 掌握数轴两点距离公式，解决数轴距离、基础动点题型。 （三）素养目标 1. 建立核心符号意识，精准区分运算符号（+、-）与性质符号（正、负），打破小学无负数运算思维定式。 2. 渗透转化、数形结合、分类讨论三大数学思想。 3. 养成分步演算、不跳步、主动验算的规范计算习惯。 重点：有理数加减运算法则、加减混合简便运算、实际应用列式计算 难点：异号两数相加符号判断、多重符号化简、含绝对值加减综合计算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 【方法总结】 1. 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加 2. 异号两数相加：取绝对值大的数的符号，大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得0 3. 一个数加0：仍得原数 a+0=a 知识点02 有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 【方法总结】四大简便组合思路： ① 相反数先结合（抵消为0）；② 同号数分组相加；③ 同分母分数合并；④ 凑整数、整十数 知识点03有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 【方法总结】两步转化：减号变加号，减数变相反数，被减数符号永远不变 知识点04 有理数的加减混合运算 运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. 运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 【方法总结】 1. 统一成加法（代数和）：所有减法全部转加法 2. 省略括号与加号简写：(-2)+(+3)+(-5)=-2+3-5 知识点05数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 特别提醒 两点之间的距离是连接两点之间线段的长度，是个正数.所以： (1)当a ＞ b 时，AB=a－b； (2)当a ＜ b 时，AB=b－a. (3)当a，b 的大小不确定时，AB=|a－b|，一般需要分类讨论. 题型1有理数加法运算 【例1】．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算：______． 【例2】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：______． 【技巧归纳】解题技巧：先判同异号，先定符号再算数值；小数优先凑整，分数先统一分母 【变式1-1】.（25-26六年级上·上海虹口·期中）如表，算筹是我国古代的计算工具，采用纵、横两种摆法表示数字，规则为“一纵十横，百立千僵”，即个位纵式、十位横式、百位纵式、千位横式，依此类推．古人在个位数字上划斜线表示该数为负数．例如：“”表示数字“”． 纵式 横式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 现有算筹“”和“”，将它们所表示的数求和，得到的数是（   ） A．564 B． C．742 D． 【变式1-2】．（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：______． 【变式1-3】．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 题型2有理数加法运算律 【例3】．嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【变式2-1】．（24-25六年级上·上海闵行·期末）不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 【变式2-2】．利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【变式2-3】．（24-25六年级下·上海·暑假作业）计算： (1)； (2)． 题型3有理数加法在生活中的应用 【例4】．（25-26六年级上·上海金山·期中）上海某公司2024年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 【例5】．（25-26六年级上·上海宝山·期中）电影《志愿军：浴血和平》片长143分钟，如果上午9时50分开始放映，那么放映结束时间是_______时_______分． 【变式3-1】．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）小明的晨跑计划是每次跑1000米，训练后记录“里程偏差”，规定：实际多跑的里程记为正数，少跑的里程记为负数（需要后续补跑）．6次训练的偏差记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 偏差（米） 根据表格数据，这6次训练中，所有偏差的总里程（即实际多跑的里程需要补跑的里程）是________米． 【变式3-3】．（25-26六年级上·上海虹口·期中）一家商店一周七天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：元、1000元、1500元、元、1800元、元、800元． 问：这家商店这一周共盈亏多少元？ 题型4 有理数的减法运算 【例6】．计算：（　　） A． B．5 C． D．1 【例7】．（24-25六年级下·上海·暑假作业）___________，___________． 【技巧归纳】两步转化：减号变加号，减数变相反数，被减数符号永远不变 【变式4-1】．（25-26六年级上·上海·期中）如果一个数加上所得的和是7，那么这个数是_______． 【变式4-2】．（25-26六年级上·上海·期中）列式计算：减去什么数所得的差是？ 【变式4-3】．（24-25六年级下·上海·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5 有理数减法的实际应用 【例8】．电冰箱的冷藏室温度是，冷冻室温度是，则冷藏室比冷冻室温度高（   ） A． B． C． D． 【例9】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米，则丙地的海拔高度是______米． 【变式5-1】．（24-25六年级上·上海金山·期中）新疆大部分地区夏天昼夜温差较大，故历来有“早穿皮祅午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果新疆某地某天的最低气温为，最高气温为，那么当天的温差是多少？ 【变式5-2】．（24-25六年级上·上海·期中）上海冬季某两天的气温如下表所示： 最高温度 最低温度 第一天 7 第二天 这两天中，第______天温差较大． 【变式5-3】．某矿井下A，B，C三处的海拔高度分别为米，米，米． (1)求A处比C处高多少米？ (2)求B处比C处高出多少米？ 题型6 有理数的加减混合运算 【例10】．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）计算：____． 【例11】．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）减去与的和，所得的差是__________． 【例12】．（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 【技巧归纳】解题三步：①统一为加法，转化为代数和形式；②去括号、省略加号；③简便运算求值 【变式6-1】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果一个数减去，再加上等于，那么这个数是______． 【变式6-2】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算： 【变式6-3】．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【变式6-4】．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下面是小明求解计算题的过程． 解：     ①     ②     ③     ④     ⑤ 他的解法是否正确？如果不正确，他从第______步开始错了，并从这一步开始加以改正． 题型7有理数加减中的简便运算 【例13】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 【例14】．（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【变式7-1】．（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【变式7-2】．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）． (1) (2) (3) 【变式7-3】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8 有理数加减混合运算的应用 【例15】．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）某大米包装袋上的标识：，表示此袋大米的重量有可能是（    ） A． B． C． D． 【例16】．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）小巧在直线上来回走，从A点出发，先向右走3步，再向左走7步，最后向右走8步停在B点，那么A、B之间的距离是________步． 【例17】．（25-26六年级上·上海·期中）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） 根据上表回答问题： (1)星期二收盘时，该股票每股______元？ (2)本周内该股票收盘时的最高价是______元，最低价是______元？ (3)已知买入股票与卖出股票均需支付交易费．交易费的计算方式是：成交金额乘以0.005．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【技巧归纳】解题模板：上升/收入/正向变化记为正，下降/支出/反向变化记为负，列式累加求解 【变式8-1】．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下面是乐乐家10月的全部收支情况，妈妈领工资8100元，缴纳水电煤共元，为乐乐买衣服用去了120元，全家去游乐场用去了600元，爸爸领工资10300元，妈妈买衣服用去230元，爸爸加油用去1200元，还房贷用去3500元，为爷爷过生日用去2300元，本月伙食费合计用去元，那么小闵家本月的结余为______元． 【变式8-2】．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）某交警开车在一条东西大道上巡逻．某天早上他从岗亭出发，晚上停留在处，规定向东的方向为正，向西为负，当天行驶情况记录如下：（单位：千米） ，，，，，，，， (1)处在岗亭何方？距离岗亭多远？ (2)巡逻过程中，该交警离开岗亭的最远距离是多少千米？ (3)若小汽车行驶每千米耗油0.2升，这一天共耗油多少升？ 【变式8-3】．（25-26六年级上·上海松江·期中）为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 【变式8-4】．（24-25六年级上·上海·期中）巴黎奥运会上中国选手黄雨婷和盛李豪组成的队伍经过十四轮激烈比拼后，以总比分击败韩国队，夺得中国队首金并卫冕该项目冠罕．其中决赛从第8轮以后开始进入自热化阶段，两位选手最后的6轮成绩如下表所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 ______ ______ 盛李豪 ______ ______ (1)请填写表中空格； (2)请计算两位选手最后六轮的总成绩． 题型9数轴上两点之间的距离 【例18】．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【例19】（24-25六年级上·上海·期中）已知，数轴上点表示的数是，存在一点使得点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【技巧归纳】核心考点：数轴上点的移动、两点距离计算 【变式9-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离大于3，则点C位于（   ） A．点O的左边 B．点A与点B之间 C．点O与点A之间 D．点B的右边 【变式9-2】．（24-25六年级上·上海崇明·期末）在数轴上，点A表示的点是，与点A相距个单位长度的点表示的数是 ． 【变式9-3】（24-25六年级上·上海·期中）数轴上一点A向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为3，则点A表示的数是 【变式9-4】（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 一、单选题 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．一个零件的标准长度是，将作为零件的基准“”，高于基准用正数表示，低于基准用负数表示，如果实际生产中有一个零件的长度表示为，那么这个零件的实际长度为（  ） A． B． C． D． 3．（    ）中的括号里应填（    ） A． B． C． D． 4．如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 5．下列各式能用加法运算律简化计算的是（　　） A． B． C． D． 6．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 二、填空题 7．计算： _______． 8．如图，已知数轴上点表示的数是2026，且，则点表示的数是_______． 9．计算：______． 10．把写成省略括号的和的形式是________________． 11．已知P是数轴上的一点，把P点移动5个单位长度后，P点表示的数是______． 12．某地一天中午的气温是，到了晚上下降了，则晚上该地的气温是______． 13．在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，若点M是的中点，则点M所对应的数为________． 14．已知|a|＝5，|b|＝3，且a＞0，b＜0，则a﹣b的值为____． 15．在数轴上点A表示的数是，点B也在数轴上，且点A、B之间的距离是4，则点B表示的数是______． 16．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶情况（单位：千米）如下：．若出租车的耗油量为0.06升/千米，则这天下午出租车共耗油__________________升． 17．定义新运算符号“⊕”如下：，例如：，则____________． 18．6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表．那么这组小朋友平均每人实际跳了________下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作________． 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 0 三、解答题 19．计算： 20．计算：． 21．计算： 22．已知，且，求的值． 23．李爷爷的银行卡上原有1000元钱，近一段时间的存取情况（存入为正，取出为负）如下： 元，元，元，元，元． 李爷爷的银行卡上现在有多少元钱？（不计利息） 24．红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分为；黄队胜蓝队，比分为；红队负蓝队，比分为． (1)如果胜一场积3分，负一场积1分，求三个队的积分各是多少？ (2)当球队积分相同时，净胜球总数多的球队排名靠前．如果进球记为正，失球数记为负，净胜球数等于进球数与失球数的和．请通过计算各队的净胜球数，判断哪个球队获得第一名． 25．某支股票上周末的收盘价格是10.00元，本周一到周五的收盘情况如下表： （“＋”表示股票比前一天上涨，“－”表示股票比前一天下跌） 周一 周二 周三 周四 周五 (1)周一至周五这支股票每天的收盘价各是多少元？ (2)本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了？上涨或下跌了多少？ (3)这五天的收盘价中哪天的最高？（4）哪天的最低？相差差多少？ 26．2021年7月，我国河南省由于受台风等因素的影响，出现了千年难遇的特大洪涝灾害．国家防总部署强降雨防范，各级水利部门加强了检测预报预警，及时发布洪水预警信息，为调度决策、防范应对和抢险救灾提供了有力支撑． 下表是我国河南省某水库一周内的水位变化情况 单位：（米） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录 +2.5 +1.2 +2.1 -0.3 -0.5 +0.2 -0.8 （注：该水库的警戒水位是35.5米，表格中“+”表示比警戒水位高，“—”表示比警戒水位低） （1）该水库本周水位最高的一天是星期______，这一天的实际水位是______米． （2）若规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“—”，不升不降用“0”，请补全下面的本周水位变化表：单位（米） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 +2.3 -0.2 -1 （3）与上周末相比，本周末该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $