1.1.1&1.1.2集合及其表示方法（讲义）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦集合的含义、元素三大特征（确定性、互异性、无序性）、表示方法（列举法、描述法、区间）及集合分类，从定义到表示再到分类，构建完整知识支架，衔接元素与集合关系、常用数集符号等基础内容。 特色在于通过“即学即练+典例精析+变式巩固”模式，以区分数集与点集、含参数问题检验互异性等实例，培养数学抽象（眼光）、逻辑推理（思维）和规范表达（语言）能力，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺。

第一章 集合与逻辑 1.1.1&1.1.2集合及其表示方法 课标要点 1.理解集合、元素定义，掌握元素三大特征，能依据确定性判断对象能否构成集合。 2.熟记常用数集符号，熟练运用列举法、描述法、区间三种方式规范书写集合。 3.分清元素与集合的从属符号，会利用集合相等、互异性求解含参数类基础题型。 4.区分有限集、无限集、空集，看懂区间数轴画法，能完成实数集合与区间互化。 学习重难点 重点： 1.集合元素确定性、互异性、无序性三大特征，考试常借助互异性考查参数计算。 2.列举法、描述法书写规范，牢记自然数、整数、实数等五类常用数集专用符号。 3.区间的书写规则与数轴表示，掌握等号对应方括号、无等号对应圆括号的用法。 难点： 1.区分描述法中的数集与点集，读懂竖线前后代表元含义，避免两类集合书写混淆。 2.含参数集合求解后检验互异性，结合集合相等条件完整分类讨论参数取值。 3.正确处理无穷区间符号，数轴空心实心区分边界，准确转化不等式与区间。 知识点01集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体。 集合通常用大写字母A、B、C表示，集合的元素通常用小写字母a、b、c表示。 即学即练 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 2．下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 【答案】D 【详解】选项A中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项A错误； 选项B中字母和重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项B错误； 选项C中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项C错误； 选项D中字母没有重复，满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项D正确. 故选：D. 知识点02元素与集合 1.元素与集合的关系 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集。元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示：若属于，记作；若不属于，记作。 2.集合中元素的三大特征 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，给定一个集合，任意一个元素是否属于该集合能够明确判断。 （2）互异性：一个给定集合中元素互不相同，集合内元素不会重复出现，含参数题目求出结果后必须检验互异性。 （3）无序性：集合中的元素没有固定顺序，调换元素顺序，依旧是同一个集合。 3.集合相等 若集合的全部元素都在集合中，且集合全部元素都在集合中，则。 证明，需要同时满足两个条件：任意则、任意则。 即学即练 3．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 4．下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 知识点03集合的表示方法 1.常用数集及其记法 ①自然数集（包含0和正整数） ②正整数集或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 补充说明：自然数集仅比正整数集多一个元素0。 2.集合三种基础表示法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素顺序），写在大括号内。 （2）描述法：大括号内先写元素一般形式，竖线后标注元素共同特性，标准形式{}。 含义：集合内全部元素满足性质，所有满足的数都属于这个集合。 （3）图示法：有限集用韦恩图（封闭图形）表示；实数无限集借助数轴表示。 3.区间 （1）区间的概念(为实数,且) 如图，区间两端的数值称为区间的端点。在数轴上绘制区间时，若区间包含该端点，端点位置画实心圆点；若区间不包含该端点，端点位置画空心圆圈。 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 （2）其他区间的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 定义 符号 即学即练 5．用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 6．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 知识点04集合的分类 1.有限集：含有有限个元素的集合； 2.无限集：含有无限个元素的集合； 3.空集：不含任何元素的集合，记作。 即学即练 7．下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】（1）一元一次方程 的实数解为，为有限集； （2）能被5整除的全体整数（末位是0或5的整数均可）有无数个，为无限集； （3）一周所有星期名称共7个，为有限集； （4）正奇数有无数个，为无限集. 所以有限集有2个. 8．下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【答案】(1)是有限集 (2)是无限集 (3)是空集 (4)是有限集 【分析】 【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根， 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； （3）由，得，不等式组无解， 所以满足条件和的实数x组成的集合为空集； （4）因为我国的少数民族的个数是有限的， 所以我国的少数民族组成的集合为有限集. 题型01 集合中元素的确定性 解题贴士 （1）判断一组对象能否构成集合，只需看给定标准是否清晰，任意对象都能明确判定属于或不属于该整体。 （2）描述模糊、标准不统一的对象无法组成集合，如“好看的花朵”“个子很高的同学”这类无明确界限的描述不满足确定性。 典｜例｜精｜析 【例1】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 【例2】给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 【变式1-2】下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．参加2025年高考的全体考生 B．小于的正整数 C．我校中成绩优异的学生 D．所有有理数 【答案】C 【详解】对于A选项，参加2025年高考的全体考生，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于B选项，小于的正整数，研究的是正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于C选项，我校中成绩优异的学生，没有标准去鉴定成绩是否优异，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合； 对于D选项，所有有理数，研究的是有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 故选：C. 【点睛】考查集合的性质 【变式1-3】已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【详解】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 题型02 用列举法表示集合 解题贴士 （1）适用范围：集合元素数量有限、个数较少，能够全部逐一写出，无需复杂条件描述。 （2）书写规范：所有元素写在大括号内，元素之间用逗号隔开，无需考虑元素排列先后顺序。 （3）书写完成后主动检查，剔除重复元素，严格遵守集合元素互异性。 典｜例｜精｜析 【例3】集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】找条件为大于1且小于等于5的自然数，则符合条件的元素为， 所以列举法表示为. 【例4】方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，得或， 所以方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为. 故选：A． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】用列举法表示集合是小于6的自然数______. 【答案】 【详解】集合是小于6的自然数用列举法表示为. 故答案为： 【变式2-2】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 【答案】 【详解】当都为正数时，可得； 当都为负数时，可得； 当一正一负时，可得； 综上所述：所以集合. 故答案为：. 【变式2-3】用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，，元素无穷，. （2）大于2且小于15的质数有，. （3），为整数，得，. 题型03 用描述法表示集合 解题贴士 （1）标准书写结构：{代表元|元素满足的共同条件}，竖线前写清楚集合元素类型（数、点等）。 （2）区分数集与点集：单字母代表元是实数集合，坐标形式代表平面点集合，二者不能混用。 （3）条件简洁清晰，方程、不等式、取值范围写在竖线后方，完整限定元素取值。 典｜例｜精｜析 【例5】平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【答案】C 【详解】选项A：表示去掉了直线和上所有点，错误； 选项B：错误保留了需要去掉的点，例如满足，会被包含在集合中，错误； 选项C：表示排除点，表示排除点， 同时满足即可精准剔除两点，正确； 选项D：，会去掉所有横坐标为1、横坐标为3、纵坐标为2、纵坐标为4的点，错误. 【例6】方程组的解集可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 将代入，得，. 故选：A 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合， 即集合的元素为点的坐标，所以“函数的图象”的集合表示. 故选：C. 【变式3-2】（多选）直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】，即直线交点坐标为，则交点构成的集合为：或. 【变式3-3】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 题型04 区间 解题贴士 （1）区间用来简化实数不等式集合，分三类：闭区间、开区间、半开半闭区间。 （2）端点判断规则：包含等号用方括号，不包含等号用圆括号。 （3）数轴辅助解题：包含端点画实心圆点，不包含端点画空心圆圈，直观区分边界。 （4）区间书写左小右大，左侧数字永远小于右侧数字，不可颠倒顺序。 典｜例｜精｜析 【例7】不等式的解集用区间表示为__________. 【答案】 【详解】由可得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 【例8】若为一确定区间，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】将集合表示成区间形式为________． 【答案】 【详解】集合表示为区间形式为. 故答案为： 【变式4-2】且解集的区间表示为__________． 【答案】 【详解】由，解得，∴不等式组的解集为. 即且解集为. 故答案为：. 【变式4-3】已知区间，则实数a的取值范围是_______.（用区间表示） 【答案】 【详解】依题意得，解得， 所以实数的范围为. 故答案为：. 题型05 元素与集合的关系 解题贴士 （1）两个专用符号：元素属于集合记作，元素不属于集合记作，二者不可混用。 （2）区分层级：小写字母代表元素，大写字母代表集合，元素和集合之间只用。 （3）判断时将数值代入集合限定条件，满足条件用，不满足用。 典｜例｜精｜析 【例9】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 【例10】设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 【变式5-2】设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 【变式5-3】设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 题型06 集合中元素的互异性 解题贴士 （1）含参数集合求出参数后，必须回代检验，保证集合内所有元素互不相等。 （2）解方程得到多组参数解，逐一代入集合，剔除会造成元素重复的参数取值。 （3）已知集合元素互不相同，可直接列不等式，限制参数避免元素相等。 （4）多个参数的集合，两两元素分别作差，令差值不等于0，联立不等式求解。 典｜例｜精｜析 【例11】已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 【例12】集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【答案】D 【详解】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】（多选）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【详解】根据元素互异性且，即且， 根据选项知符合条件. 【变式6-2】设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： 【变式6-3】已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 【答案】 【详解】因为，且， 若，可得，则，此时集合中的元素不满足互异性，舍去； 若，即，即，解得或（舍）， 当时，，集合中的元素满足互异性，合乎题意. 综上所述，. 题型07 根据集合相等求参数 典｜例｜精｜析 【例13】已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【例14】若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 【变式7-2】，则______． 【答案】0 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 【变式7-3】设三元集合=，则___________ ． 【答案】 【详解】试题分析：集合,且,,则必有,即,此时两集合为,集合,,，当时,集合为,集合,不满足集合元素的互异性.当时, ,集合,满足条件,故,因此，本题正确答案是:. 考点：集合相等的定义. 题型08 根据元素中的元素个数求参数 解题贴士 （1）有限集合给定元素个数，转化为方程解的个数、参数取值限制问题。 （2）方程型集合：一元二次方程，判别式控制解的数量，对应集合元素个数。 （3）含参数分式、根式集合，同时兼顾定义域限制，保证元素存在且不重复。 （4）求出参数后回代，统计集合实际元素数量，核对是否和题目条件一致。 典｜例｜精｜析 【例15】设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【详解】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 【例16】（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，可知，所以依次讨论为时，集合中的元素个数． A选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； B选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素； C选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； D选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素． 故选：AC. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解:当时，易知， 当时，若集合为空集，则 故选：B 【变式8-2】若关于、的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1 B．0或1 C． D．0或 【答案】B 【详解】由，消去整理可得， 当时，解得，此时方程组的解为，符合题意； 当时，则，解得，此时方程组的解为，符合题意； 综上可得或. 故选：B 【变式8-3】（多选）集合有且只有2个元素构成，且满足“且，且”，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AC 【详解】由，且，得， 由集合有且只有2个元素构成，且满足“且，得，即， 当时，，符合题意；当时，，符合题意， 所以或. 故选：AC 基础通关 1．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 2．集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 【答案】B 【详解】，共5个元素． 3．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 4．已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． 5．设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【答案】D 【详解】解方程，因式分解得， 解得或故. 由得或. 6．已知集合，则集合（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故可取且可取， 而, ，. 故选：C． 7．（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 8．（多选）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 9．用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【详解】0是自然数，； 是无理数，不属于有理数集，； -5是整数，； 是实数，； 3.14不是正整数，. 10．已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 11．选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 12．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 素养提升 13．已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 【答案】A 【详解】由题意，若，， ， ， ， 易知为四个各不相同的实数，所以集合. 因此集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 14．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 15．由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个； 只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个； 取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个； 共有种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素， 故选：A. 16．已知，则实数的取值集合为___________. 【答案】 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 17．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【答案】4 【详解】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 18．已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有________．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 迁移创新 19．非空数集满足：，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为_____. 【答案】1 【详解】因为非空数集满足：，都有， 又集合T中含有4个元素， 则，，，， 可得，所以. 故答案为：1. 20．（多选）若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（   ） A．集合是“完美集” B．“完美集”一定是无限集 C．实数集R是“完美集” D．若集合S是“完美集”，且，，则 【答案】BCD 【详解】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，集合是“完美集”，因为，，则， 则，……，依次可得中含有所有的整数， 由于整数集Z为无限集，故“完美集”为无限集，B正确； C选项，实数集R满足（1），；（2）若，，则； （3）若，且，则，故实数集R是“完美集”，C正确； D选项，若集合S是“完美集”， ，则，， 又，则，D正确. 故选：BCD 21．（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．存在且，满足 【答案】ABD 【详解】若， 对于A，，其中，故A正确； 对于B，若，不妨设， 则，，所以，故B正确； 对于C，若且，取，则，故C错误； 对于D，存在且，满足． 例如， 若， 则， 故，故D正确． 故选：ABD． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与逻辑 1.1.1&1.1.2集合及其表示方法 课标要点 1.理解集合、元素定义，掌握元素三大特征，能依据确定性判断对象能否构成集合。 2.熟记常用数集符号，熟练运用列举法、描述法、区间三种方式规范书写集合。 3.分清元素与集合的从属符号，会利用集合相等、互异性求解含参数类基础题型。 4.区分有限集、无限集、空集，看懂区间数轴画法，能完成实数集合与区间互化。 学习重难点 重点： 1.集合元素确定性、互异性、无序性三大特征，考试常借助互异性考查参数计算。 2.列举法、描述法书写规范，牢记自然数、整数、实数等五类常用数集专用符号。 3.区间的书写规则与数轴表示，掌握等号对应方括号、无等号对应圆括号的用法。 难点： 1.区分描述法中的数集与点集，读懂竖线前后代表元含义，避免两类集合书写混淆。 2.含参数集合求解后检验互异性，结合集合相等条件完整分类讨论参数取值。 3.正确处理无穷区间符号，数轴空心实心区分边界，准确转化不等式与区间。 知识点01集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体。 集合通常用大写字母________表示，集合的元素通常用小写字母________表示。 即学即练 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 2．下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 知识点02元素与集合 1.元素与集合的关系 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集。元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是________与________关系，符号表示：若属于，记作；若不属于，记作。 2.集合中元素的三大特征 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，给定一个集合，任意一个元素是否属于该集合能够明确判断。 （2）互异性：一个给定集合中元素互不相同，集合内元素不会重复出现，含参数题目求出结果后必须检验________。 （3）无序性：集合中的元素没有固定顺序，调换元素顺序，依旧是同一个集合。 3.集合相等 若集合的全部元素都在集合中，且集合全部元素都在集合中，则。 证明，需要同时满足两个条件：任意则、任意则。 即学即练 3．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 知识点03集合的表示方法 1.常用数集及其记法 ①自然数集（包含________和正整数） ②正整数集或 ③整数集 ④有理数集________ ⑤实数集 补充说明：自然数集仅比正整数集多一个元素。 2.集合三种基础表示法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素顺序），写在大括号内。 （2）描述法：大括号内先写元素一般形式，竖线后标注元素共同特性，标准形式{}。 含义：集合内全部元素满足性质，所有满足的数都属于这个集合。 （3）图示法：有限集用________（封闭图形）表示；实数无限集借助数轴表示。 3.区间 （1）区间的概念(为实数,且) 如图，区间两端的数值称为区间的端点。在数轴上绘制区间时，若区间包含该端点，端点位置画实心圆点；若区间不包含该端点，端点位置画空心圆圈。 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 （2）其他区间的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 定义 符号 即学即练 5．用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 6．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 知识点04集合的分类 1.有限集：含有________个元素的集合； 2.无限集：含有________个元素的集合； 3.空集：不含任何元素的集合，记作。 即学即练 7．下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 题型01 集合中元素的确定性 解题贴士 （1）判断一组对象能否构成集合，只需看给定标准是否清晰，任意对象都能明确判定属于或不属于该整体。 （2）描述模糊、标准不统一的对象无法组成集合，如“好看的花朵”“个子很高的同学”这类无明确界限的描述不满足确定性。 典｜例｜精｜析 【例1】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【例2】给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【变式1-2】下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．参加2025年高考的全体考生 B．小于的正整数 C．我校中成绩优异的学生 D．所有有理数 【变式1-3】已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 题型02 用列举法表示集合 解题贴士 （1）适用范围：集合元素数量有限、个数较少，能够全部逐一写出，无需复杂条件描述。 （2）书写规范：所有元素写在大括号内，元素之间用逗号隔开，无需考虑元素排列先后顺序。 （3）书写完成后主动检查，剔除重复元素，严格遵守集合元素互异性。 典｜例｜精｜析 【例3】集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【例4】方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】用列举法表示集合是小于6的自然数______. 【变式2-2】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 【变式2-3】用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 题型03 用描述法表示集合 解题贴士 （1）标准书写结构：{代表元|元素满足的共同条件}，竖线前写清楚集合元素类型（数、点等）。 （2）区分数集与点集：单字母代表元是实数集合，坐标形式代表平面点集合，二者不能混用。 （3）条件简洁清晰，方程、不等式、取值范围写在竖线后方，完整限定元素取值。 典｜例｜精｜析 【例5】平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【例6】方程组的解集可表示为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 题型04 区间 解题贴士 （1）区间用来简化实数不等式集合，分三类：闭区间、开区间、半开半闭区间。 （2）端点判断规则：包含等号用方括号，不包含等号用圆括号。 （3）数轴辅助解题：包含端点画实心圆点，不包含端点画空心圆圈，直观区分边界。 （4）区间书写左小右大，左侧数字永远小于右侧数字，不可颠倒顺序。 典｜例｜精｜析 【例7】不等式的解集用区间表示为__________. 【例8】若为一确定区间，则a的取值范围是________． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】将集合表示成区间形式为________． 【变式4-2】且解集的区间表示为__________． 【变式4-3】已知区间，则实数a的取值范围是_______.（用区间表示） 题型05 元素与集合的关系 解题贴士 （1）两个专用符号：元素属于集合记作，元素不属于集合记作，二者不可混用。 （2）区分层级：小写字母代表元素，大写字母代表集合，元素和集合之间只用。 （3）判断时将数值代入集合限定条件，满足条件用，不满足用。 典｜例｜精｜析 【例9】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【例10】设，集合，若，则______. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【变式5-3】设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 题型06 集合中元素的互异性 解题贴士 （1）含参数集合求出参数后，必须回代检验，保证集合内所有元素互不相等。 （2）解方程得到多组参数解，逐一代入集合，剔除会造成元素重复的参数取值。 （3）已知集合元素互不相同，可直接列不等式，限制参数避免元素相等。 （4）多个参数的集合，两两元素分别作差，令差值不等于0，联立不等式求解。 典｜例｜精｜析 【例11】已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【例12】集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】（多选）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】设a是实数，集合，若，则__________. 【变式6-3】已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 题型07 根据集合相等求参数 典｜例｜精｜析 【例13】已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【例14】若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式7-2】，则______． 【变式7-3】设三元集合=，则___________ ． 题型08 根据元素中的元素个数求参数 解题贴士 （1）有限集合给定元素个数，转化为方程解的个数、参数取值限制问题。 （2）方程型集合：一元二次方程，判别式控制解的数量，对应集合元素个数。 （3）含参数分式、根式集合，同时兼顾定义域限制，保证元素存在且不重复。 （4）求出参数后回代，统计集合实际元素数量，核对是否和题目条件一致。 典｜例｜精｜析 【例15】设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【例16】（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式8-2】若关于、的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1 B．0或1 C． D．0或 【变式8-3】（多选）集合有且只有2个元素构成，且满足“且，且”，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 基础通关 1．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 2．集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 3．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 5．设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 6．已知集合，则集合（　　） A． B． C． D． 7．（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 8．（多选）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 9．用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 10．已知集合，，则__________． 11．选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 12．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 素养提升 13．已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 14．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 15．由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 16．已知，则实数的取值集合为___________. 17．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 18．已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有________．（填序号） 迁移创新 19．非空数集满足：，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为_____. 20．（多选）若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（   ） A．集合是“完美集” B．“完美集”一定是无限集 C．实数集R是“完美集” D．若集合S是“完美集”，且，，则 21．（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．存在且，满足 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $