第1讲 集合的概念与表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第1讲 集合的概念与表示方法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 集合 集合的表示方法 列举法与描述法 1. 集合的定义及分类。 2. 集合中的元素的三大特征。 3. 集合的表示方法。 学习重点：了解集合的含义，理解集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，并能利用性质解决 简单的问题。 学习难点：理解元素的特征以及元素与集合之间的属于关系，能用符号表示对象与集合之间的关系。 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集；元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素， 两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可. （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序． 3、集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 常用数集及其记法： ①全体自然数组成的集合，即自然数集，记作（包含和正整数）； ②不包含零的自然数组成的集合，记作； ③全体整数组成的集合，即整数集，记作； ④全体有理数组成的集合，即有理数集，记作； ⑤全体实数组成的集合，即实数集，记作. 另外，常用的集合的特殊表示法：实数集（正实数集）、有理数集（负有理数集）、 整数集（正整数集）、自然数集（包含零）、不包含零的自然数集. 4、集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内， 这种表示集合的方法叫做列举法. （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中 元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质， 而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法． （3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合． 为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示；这里的实数a，b统称为这些区间的端点． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 集合的概念 集合的概念：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性． 确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一；比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定． 互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素： 1，2． 无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是 相等的． 对集合概念的理解： 1.描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同中面儿何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明； 2.对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事与物等，都可以看你“对象”， 即集合的元素；它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、点、图形、人、物等； 3.元素：具有共同的特征或共同的属性的对象； 4.总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此些对象一旦组成了集合， 这个集合就是这些对象的总体. 【经典例题】 【例1】下列所给对象不能构成集合的是________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某一班级16岁以下的学生；（3）某中学的大个子； (4)某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1． 【答案】（1）（3）(5) 【技巧归纳】判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准. 【例2】已知x、y、z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【技巧归纳】判断一个集合的元素,关键在于通过分类讨论的办法找到一个明确的标准. 【例3】用“”或“”填空 （1）－3______N； （2）3．14______Q； （3）______Z；(4)－______R； (5)1______N*； (6)0________N． 【答案】（1）　（2）　（3）　(4)　(5)　(6) 【技巧归纳】符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换. 【对点练习】 【练习1】下列几组对象可以构成集合的是(　　) A．充分接近π的实数的全体 B．善良的人 C．某校高一所有聪明的同学 D．某单位所有身高在1.7 m以上的人 【答案】D 【练习2】用符号或填空： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）　（2）　（3）　(4)　(5)　(6) 【练习3】下列四个说法中正确的个数是(　　)①集合N中最小数为1；②若a∈N，则； ③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2； ④所有小的正数组成一个集合．A．0　　B．1　　C．2　D．3 【答案】A 【练习4】由组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　) A．1 B．－2 C．6 D．2 【答案】C 【练习5】由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)． ①不超过π的正整数； ②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市； ④平方后等于自身的数；⑤某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生． 【答案】①④⑤ 【练习6】已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x． 【答案】x＝－3或x＝2． 【练习7】设集合；若， 试判断与的关系．【答案】 知识点02 集合的分类 集合的分类：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集. 我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作，例如，方程的实数解 所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集． 【经典例题】 【例4】已知集合A＝{2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x＝　 　 ． 【答案】3或﹣2． 【详解】解：因为6∈A，所以6＝x2﹣x，解得x＝3或﹣2．符合题意；故x的值为3或﹣2． 【易错提醒】根据6∈A，所以6＝x2﹣x，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． .【例5】（2024•浦东新区校级期中）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长， 则△ABC一定不是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【详解】解：根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等， 故△ABC一定不是等腰三角形；所以，答案是D. 【易错提醒】根据集合元素的互异性可知,a,b,c三个元素互不相等,若此三个元素构成某一三角形的三边长，则此三角形一定不是等腰三角形. 【例6】设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)． 求证：（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；（2）集合A不可能是单元素集． 【证明】（1）若a∈A，则∈A，又∵2∈A，∴＝－1∈A，∵－1∈A，∴＝∈A， ∵∈A，∴＝2∈A，∴A中另外两个元素为－1，； （2）若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解，∴a≠，∴A不可能为单元素集合. 【易错提醒】（1） 由2∈A得到－1∈A.由－1∈A得到∈A.由∈A得到2∈A.即得证； （2）假设a＝，则a2－a＋1＝0，方程无解，所以集合A不可能是单元素集． 【例7】设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素， 定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？ 【答案】8 【解析】当a=0时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为1，2，6； 当a=2时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为3，4，8； 当a=5时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为6，7，11； 由集合元素的互异性知P+Q中元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个. 【易错提醒】按当a=0，a=2和a=5时讨论，b依次取1，2，6，得出a+b的值，利用集合元素的互异性，得出P+Q中元素的个数． 【对点练习】 【练习8】已知集合，且中只有一个元素，求的值． 【答案】 【练习9】已知集合，，若，， 则与集合M，N的关系是（　　） A．但 B．但 C．且 D．且 【答案】B【分析】设，整理可得， 由此可知但．【详解】解：设， 则， 但，故选B． 【易错提醒】本题考查元素和集合的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 知识点03 集合的表示方法 集合的表示方法常用列举法和描述法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写 在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同 具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素 都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合也可以用封闭的图形或数轴（如区间法）表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴 表示． 【经典例题】 【例8】（2024•普陀区校级期中）已知，用列举法表示A＝ 　 　． 【答案】{1，2，3，6}．【分析】利用列举法来求得正确答案． 【解答】解：依题意，{1，2，3，6}；故答案为：{1，2，3，6}． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案． 【例9】（2024•宝山区校级月考）用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合：　 　． 【答案】{1，3，9}． 【解答】解：用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合为{1，3，9};故答案为：{1，3，9}． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案． 【例10】（2024•金山区校级期中）已知集合M＝{x|0＜x≤3，x∈N}，用列举法表示集合M＝ 　 　． 【答案】{1，2，3}．【分析】根据集合满足的条件，用列举法表示集合即可． 【解答】解：因为M＝{x|0＜x≤3，x∈N}，所以用列举法表示集合M＝{1，2，3}；故答案为：{1，2，3}． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案． 【例11】（2024•浦东新区校级月考）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（　　） A．{x|x＝8k，k∈N} B．{x|x＝8k+8，k∈N} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8} 【答案】B【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可． 【解答】解：能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，所以C，D错误；选项A，当k＝0时， x＝0，即集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A错误，因此B正确;故选：B． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用描述法来求得正确答案． 【例12】（2024•黄浦区校级期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 　 　 ． 【答案】{（x，y）|﹣2≤x≤3，﹣1≤y≤2，且xy≥0}．【分析】根据描述法的定义求解． 【解答】解：用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：{（x，y）|﹣2≤x≤3，﹣1≤y≤2，且xy≥0}． 故答案为：{（x，y）|﹣2≤x≤3，﹣1≤y≤2，且xy≥0}． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用描述法来求得正确答案． 【例13】（2023•长宁区校级期中）若（m，4m﹣3）为一确定区间，则m的取值范围为 　 　 ． 【答案】（1，+∞）.【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案． 【解答】解：由题意，m＜4m﹣3，解得m＞1；故答案为：（1，+∞）． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用区间法来求得正确答案． 【例14】集合{x|﹣1＜x≤5}用区间可表示为（　　） A．（﹣1，5） B．[﹣1，5] C．（﹣1，5] D．[﹣1，5） 【答案】C【分析】根据区间表示集合的形式，即可求解． 【解答】解：用区间表示集合{x|﹣1＜x≤5}＝（﹣1，5]；故选：C． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用区间法来表示集合，求得正确答案． 【对点练习】 【练习10】集合中实数的取值集合= 【答案】 【练习11】给出下列四种说法 ①任意一个集合的表示方法都是唯一的； ②集合与集合是同一个集合 ③集合与集合表示的是同一个集合； ④集合是一个无限集．其中正确说法的序号是 ．（填上所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【练习12】设． 【答案】 【练习13】用列举法表示集合：= ． 【答案】 ． 【练习14】下列叙述正确的是（　　） A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，+∞） B．{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2） C．（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4} 【答案】D【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【解答】解：对于选项A，{x|x＞1}用区间可表示为（1，+∞），故A错误； 对于选项B，{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2]，故B错误； 对于选项C，（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x≤3}，故C错误； 对于选项D，[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}，故D正确；故选：D． 1．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意；当时，. 综上所述，的取值范围是；故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·月考）已知集合至多有一个元素， 则的取值范围是 .【答案】或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】考虑和的情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，解得，此时有一个元素，满足要求， 当时，需要，解得，综上，或；故答案为：或. 3．已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可. 【详解】因为，，所以，且，所以，且，， 因为，所以或，由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或，所以；故答案为：. 4．（2024•青浦区校级月考）用列举法写出所有小于10的素数组成的集合 　 　 ． 【答案】{2，3，5，7}． 【分析】找出小于10的所有素数，然后列举法表示即可． 【解答】解：小于10的素数组成的集合为：{2，3，5，7}；故答案为：{2，3，5，7}． 5．区间[﹣3，5）用集合表示为 　 　 ． 【答案】{x|﹣3≤x＜5}．【分析】借助区间与集合的关系，用描述法表示即可得． 【解答】解：由区间的定义可知，区间[﹣3，5）用集合表示为{x|﹣3≤x＜5}；故答案为：{x|﹣3≤x＜5}． 6．Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②；③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 【答案】①②④【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素 是否与集合M一致即可. 【详解】对于①.，设，则，故①的集合与M相等； 对于②.令 ，则，其中，故②的集合与M相等；对于③.当 时，， 故③的集合与M不相等；对于④.令， ，其中，故④的集合与M相等； 故答案为:①②④. 7．下列叙述正确的是（　　） A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，+∞） B．{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2） C．（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4} 【答案】D【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【解答】解：对于选项A，{x|x＞1}用区间可表示为（1，+∞），故A错误； 对于选项B，{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2]，故B错误； 对于选项C，（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x≤3}，故C错误； 对于选项D，[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}，故D正确；故选：D． 8．已知区间[2a﹣1，11]，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，6） B．（6，+∞） C．（1，6） D．（﹣1，6） 【答案】A【分析】由区间的定义列式即可求得结果． 【解答】解：由题意可知，2a﹣1＜11，解得a＜6；故选：A． 9．以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足，对于B: ，错误； 对于C: ，错误；对于D: ，错误；故选：A 10．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 当时，，由集合中元素满足互异性，所以；故选：B. 11．用表非空集合A中元素的个数，定义， 若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．9 【答案】C【分析】由新定义，确定，再由新运算确定，并由集合的定义确定， 然后由判别式求得值，得集合，从而得结论． 【详解】由已知，又，所以或，又中显然是一个解，即，因此，所以，所以有两个相等的实根且不为0， ，，经检验符合题意，，所以；故选：C． 12．（24-25高一上·上海·月考）集合，， 其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A【分析】选项A，B和C，利用方程至少有一个根，所有解的个数 取决于；方程的解得个数取决于及，逐一分析判断 即可得答案；选项D，根据条件得到，，，设为的一个根，从而得到，即为方程的根，即可求解. 【详解】令，，对于选项A，当时， 方程无实根，所以，，或； 当时，，由得，此时；当，时，，由得，此时，所以选项A正确；对于选项B，若，则有且只有一根，又一定是的根，所以， 又且时，无解，此时，所以选项B错误； 对于选项C，若时，则有且只有根， 又一定是的根，所以且，或且， 当时，存在，使且，此时只有一根， 所以选项C错误；对于选项D，当时，方程有三个根，所以，，，设为的一个根，即，则， 且，所以为方程的根， 故有三个根，即时，必有，所以选项D错误，故选：A. 13．（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期10月五校 联考数学试题）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当 其中且，或其中且. 现有如下两个命题: ①；②集合. 则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】C【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，， 再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或 其中且，且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，，因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题；记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系，当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以，下面讨论时， 集合中元素与集合的关系，因为，有，，且， 所以，综上所述，，有，即，故②是真命题；故选：C. 14．已知集合．（1）若，求的值； （2）若中只有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或时；（3）或. 【分析】（1）将代入方程中即可求解，（2）（3）将问题转化为：关于的方程解的 问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意；当时，方程为 一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意； 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素； （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，由（1）知当时 只有一个元素，当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素；中最多有一个元素，或. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第1讲 集合的概念与表示方法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 集合 集合的表示方法 列举法与描述法 1. 集合的定义及分类。 2. 集合中的元素的三大特征。 3. 集合的表示方法。 学习重点：了解集合的含义，理解集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，并能利用性质解决 简单的问题。 学习难点：理解元素的特征以及元素与集合之间的属于关系，能用符号表示对象与集合之间的关系。 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集；元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素， 两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可. （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序． 3、集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 常用数集及其记法： ①全体自然数组成的集合，即自然数集，记作（包含和正整数）； ②不包含零的自然数组成的集合，记作； ③全体整数组成的集合，即整数集，记作； ④全体有理数组成的集合，即有理数集，记作； ⑤全体实数组成的集合，即实数集，记作. 另外，常用的集合的特殊表示法：实数集（正实数集）、有理数集（负有理数集）、 整数集（正整数集）、自然数集（包含零）、不包含零的自然数集. 4、集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内， 这种表示集合的方法叫做列举法. （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中 元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质， 而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法． （3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合． 为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示；这里的实数a，b统称为这些区间的端点． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 集合的概念 集合的概念：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性． 确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一；比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定． 互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素： 1，2． 无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是 相等的． 对集合概念的理解： 1.描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同中面儿何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明； 2.对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事与物等，都可以看你“对象”， 即集合的元素；它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、点、图形、人、物等； 3.元素：具有共同的特征或共同的属性的对象； 4.总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此些对象一旦组成了集合， 这个集合就是这些对象的总体. 【经典例题】 【例1】下列所给对象不能构成集合的是________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某一班级16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1． 【技巧归纳】判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准. 【例2】已知x、y、z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A． B． C． D． 【技巧归纳】判断一个集合的元素,关键在于通过分类讨论的办法找到一个明确的标准. 【例3】用“”或“”填空 （1）－3______N； （2）3．14______Q； （3）______Z；（4）－______R； (5)1______N*； (6)0________N． 【技巧归纳】符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换. 【对点练习】 【练习1】下列几组对象可以构成集合的是(　　) A．充分接近π的实数的全体 B．善良的人 C．某校高一所有聪明的同学 D．某单位所有身高在1.7 m以上的人 【练习2】用符号或填空： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【练习3】下列四个说法中正确的个数是(　　)①集合N中最小数为1；②若a∈N，则； ③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2； ④所有小的正数组成一个集合．A．0　　B．1　　C．2　D．3 【练习4】由组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　) A．1 B．－2 C．6 D．2 【练习5】由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)． ①不超过π的正整数； ②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市； ④平方后等于自身的数；⑤某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生． 【练习6】已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x． 【练习7】设集合；若， 试判断与的关系． 知识点02 集合的分类 集合的分类：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集. 我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作，例如，方程的实数解 所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集． 【经典例题】 【例4】已知集合A＝{2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x＝　 　 ． 【易错提醒】根据6∈A，所以6＝x2﹣x，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． .【例5】（2024•浦东新区校级期中）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长， 则△ABC一定不是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【易错提醒】根据集合元素的互异性可知,a,b,c三个元素互不相等,若此三个元素构成某一三角形的三边长，则此三角形一定不是等腰三角形. 【例6】设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)． 求证：（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；（2）集合A不可能是单元素集． 【易错提醒】（1） 由2∈A得到－1∈A.由－1∈A得到∈A.由∈A得到2∈A.即得证； （2）假设a＝，则a2－a＋1＝0，方程无解，所以集合A不可能是单元素集． 【例7】设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素， 定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？ 【易错提醒】按当a=0，a=2和a=5时讨论，b依次取1，2，6，得出a+b的值，利用集合元素的互异性，得出P+Q中元素的个数． 【对点练习】 【练习8】已知集合，且中只有一个元素，求的值． 【练习9】已知集合，，若，， 则与集合M，N的关系是（　　） A．但 B．但 C．且 D．且 【易错提醒】本题考查元素和集合的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 知识点03 集合的表示方法 集合的表示方法常用列举法和描述法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写 在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同 具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素 都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合也可以用封闭的图形或数轴（如区间法）表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴 表示． 【经典例题】 【例8】（2024•普陀区校级期中）已知，用列举法表示A＝ 　 　． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案． 【例9】（2024•宝山区校级月考）用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合：　 　． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案． 【例10】（2024•金山区校级期中）已知集合M＝{x|0＜x≤3，x∈N}，用列举法表示集合M＝ 　 　． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案． 【例11】（2024•浦东新区校级月考）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（　　） A．{x|x＝8k，k∈N} B．{x|x＝8k+8，k∈N} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8} 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用描述法来求得正确答案． 【例12】（2024•黄浦区校级期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 　 　 ． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用描述法来求得正确答案． 【例13】（2023•长宁区校级期中）若（m，4m﹣3）为一确定区间，则m的取值范围为 　 　 ． 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用区间法来求得正确答案． 【例14】集合{x|﹣1＜x≤5}用区间可表示为（　　） A．（﹣1，5） B．[﹣1，5] C．（﹣1，5] D．[﹣1，5） 【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用区间法来表示集合，求得正确答案． 【对点练习】 【练习10】集合中实数的取值集合= 【练习11】给出下列四种说法 ①任意一个集合的表示方法都是唯一的； ②集合与集合是同一个集合 ③集合与集合表示的是同一个集合； ④集合是一个无限集．其中正确说法的序号是 ．（填上所有正确说法的序号） 【练习12】设． 【练习13】用列举法表示集合：= ． 【练习14】下列叙述正确的是（　　） A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，+∞） B．{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2） C．（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4} 1．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 2．（24-25高一上·上海·月考）已知集合至多有一个元素， 则的取值范围是 . 3．已知集合，，且，则实数的值为 . 4．（2024•青浦区校级月考）用列举法写出所有小于10的素数组成的集合 　 　 ． 5．区间[﹣3，5）用集合表示为 　 　 ． 6．Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②；③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 7．下列叙述正确的是（　　） A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，+∞） B．{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2） C．（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4} 8．已知区间[2a﹣1，11]，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，6） B．（6，+∞） C．（1，6） D．（﹣1，6） 9．以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．用表非空集合A中元素的个数，定义， 若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．9 12．（24-25高一上·上海·月考）集合，， 其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期10月五校 联考数学试题）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当 其中且，或其中且. 现有如下两个命题: ①；②集合. 则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 14．已知集合．（1）若，求的值； （2）若中只有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $