10 函数与方程、函数模型及其应用-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(湘教版)

高一同步周测卷/数学必修第一册 (十)函数与方程、函数模型及其应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=ln(2x)-二的一个零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2定义9 g(x)3 ad-bc.若函数g(x)=lg(x-1),则函数h(x)= = +5的零 2 1 点为 A.1 品 C.2 D.11 3.函数f(x)=x-2|一lnx的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 x2+2x+a,x≤1 4.已知函数f(x)= ,若f(x)有三个零点，则a的取值范围为 ln(x-1),x>1 A.(-3,1) B.[-3,1) C.(-3,1] D.[-3,1] 5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日 积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1十1%)365看作是每 天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1一1%)365看作是每天 “退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255，这样，一年后的1“进步值”是“退步 值的0≈1481倍，那么当进少的值是退非”的值的2倍大约经过多少天？ (参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010) A.19 B.35 C.45 D.55 数学（湘教版）必修第一册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 6.已知函数f(x)=2r十x-4,g(x)=e十x-4,h(x)=lnx十x一4的零点分别是a,b, c,则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有 A. B. C. D (In xl,z>0 8.已知函数f(x)= ,令函数g(x)=f(x)一m,则 2r,x<0 A.当m=1时，函数g(x)有2个零点 B.函数g(x)不可能有1个零点 C.若函数g(x)有3个零点a,b,c(a<b<c),则abc的取值范围为（一o∞，0） D.方程[f(x)]2- fx)+1=0有5个根 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.某同学在借助题设给出的数据求方程1gx=2一x的近似数（精确到0.1）时，设f(x) =1gx十x一2，得出f(1)<0,且f(2)>0,他用“二分法”取到了4个x的值，计算其 函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第三 个值为 10.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH来表 示溶液的酸碱度.pH的计算公式为pH=一lgc(H+),其中c(H)表示溶液中氢离子 的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是12×103摩尔/升，则该溶液 的pH约为 .(结果保留2位小数，参考数据：lg3≈0.477，lg5≈0.699) 高一同步周测卷十 数学（湘教版）必修第一册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图所示是函数F(x)的图象，由指数函数f(x)=a与幂函数g(x)=x“拼接” 而成 (1)求F(x)的解析式； (2)若方程F(x一2025)一2一21=0存在实数解，求t的取值范围. 2 4 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2一ax十a2一4，在下列条件下，求实数a的取值范围. (1)f(x)有两个正零点； (2)f(x)的一个零点大于2，另一个零点小于2； (3)f(x)的一个零点大于2，另一个零点不大于0. 数学（湘教版）必修第一册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大 数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量 化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x 天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t×9,则认为本次舆情是严重 的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1,2,3 天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①y= ax-- +c;②y=logx十g;③y=mXn十s,其中含x的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型；（直接写结果，不用证明） (2)运用(1)中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求t的最小值 高一同步周测卷十 数学（湘教版）必修第一册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（十） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③④ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 判断零点所在区间 V 易 0.80 2 选择题 5 求函数的零点 易 0.72 图象法判断零点的 3 选择题 5 易 0.70 个数 由分段函数的零点 4 选择题 5 中 0.55 个数求参 指数型函数的实际 5 选择题 5 中 0.45 应用 指数、对数函数零点 6 选择题 5 中 0.30 的综合 二分法与函数图象 7 选择题 6 易 0.80 的关系 嵌套函数的零点 8 选择题 6 中 0.35 问题 9 填空题 二分法的应用 易 0.72 对数型函数的实际 10 填空题 5 中 0.35 应用 由方程存在实数解 11 解答题 13 中 0.65 求参 12 解答题 15 二次函数零点分布 中 0.55 拟合函数的实际 13 解答题 20 中 0.35 应用 香考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】因为f(x)的定义域为(0，十o),且 为(1，+o∞)，由g(x)3 21 =-5,得g(x)·1-3 f(x)在(0，十o∞)内图象连续，f(1)=n2-1<0, X2=g(x)-6=-5,即g(x)=lg(x-1)=1,解得 x=11.故选D. f(2)=n4-乞>0，所以函数f(x)的-个零点所 3.B【解析】由题意可转化为函数M=x一2(x> 在的区间是(1,2).故选B. 0),y2=lnx(x>0)的图象交点问题，在同一平面直 2.D【解析】由题意可知，g(x)=lg(x一1)的定义域 角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，由图得 ·37· ·数学（湘教版）必修第一册· 参考答案及解析 两个函数图象有2个交点，故原函数零点有2个.故 y 选B. y个 y1=x-2(x>0)/ y2=hx(x>0) 上m -2 23x -1h 函数g(x)=f(x)一m的零点个数，即y=∫(x)与 y=m的交点个数，当m=1时，由图可知y=m与y 4.B【解析】当x>1时，由ln(x-1)=0,得x=2,而 =f(x)有2个交点，故函数g(x)有2个零点，故A 函数y=ln(x-1)在(1，十oo)上单调递增，又f(x)有 正确；当m=0时，y=m与y=f(x)有1个交点，即 三个零点，因此方程x十2x十a=0在(-∞，1]上有 函数g(x)有1个零点，故B错误；若函数g(x)有3 两个不等实根，于是A=44a>0 1+2×1+a≥0'解得-3≤a 个零点a,b,c(a<bKc),则0<m<1,因为f(日) <1,所以a的取值范围为[-3,1).故选B. f(e)=1,则由图可知a<0<是<6<1<c<e,且 5.B【解析】设x天后“进步”的值是“退步”的值的2 倍，则9=2，即1s0g=g2g1.0r |lnb|=|lnc,即-lnb=lnc,所以ln(bc)=0,则 bc=1,所以abc的取值范围为（一∞，0），故C正确； lg0.99=x(lg1.01-lg0.99)=x(lg101-lg99) 由[/x)]-号f()+1=0.即[/)号]： 1g2 =1g2,x=g101-1g99≈35.故选B, [f(x)-2]=0,即f(x)=合或f(x)=2,由图可 6.C【解析】由已知条件得f(x)的零点可以看成y 2与y=4一x的交点的横坐标，g(x)的零点可以看 得f(x)=号有3个实数根，∫(x)=2有2个实数 成y=e与y=4一x的交点的横坐标，h(x)的零点可 5 以看成y=lnx与y=4一x的交点的横坐标，在同一 根，所以方程[f(x)-号f(x)十1=0有5个根， 坐标系分别画出y=2,y=e,y=lnx,y=4一x的 故D正确.故选ACD. 函数图象，如下图所示，可知c>a>b.故选C. 三、填空题 9.1.875【解析】根据“二分法”的定义，最初确定的区 间是(1,2)，又方程的近似解是x≈1.8，故后4个区 间分别是(1.5,2)，(1.75,2)，(1.75,1.875)，(1.75， 1.8125),故它取的4个值分别为1.5,1.75,1.875， y=In x 1.8125,其中第3个值为1.875. 10.1.92【解析】易知pH=-lgc(H+)=-lg(12× 10-3)=-lg12-lg10-3=-1g(3×4)+3=-lg3 ba -21g2+3=-lg3-2(1-lg5)+3=1+21g5 lg3≈1十2×0.699-0.477=1.921≈1.92. 二、选择题 四、解答题 7.BCD【解析】根据二分法的定义，知函数f(x)在区 间[a,b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0,即 11.解：(1)由题意得 函数的零点是变号零点，才能将区间[a,b们一分为 二，逐步得到零点的近似值.对于A,因为零点左右两 侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的 a16 近似值，故A错误：对于B,C,D,三个函数图象均符 解得 (3分) 合二分法求函数零点近似值的条件，故B,C,D正确。 b=2 故选BCD. 8.ACD【解析】因为f(x)= lnxz之0，画出 所以F(x) (6分) 2,x<0 ∫(x)的图象如下所示： > (2)F(x一2025)--之=0存在实数解， ·38· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 即F(x-2025)=f十号有解， 13.解：(1)③. (4分) (根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快， 即函数y=F(x一2025)的图象与函数y=十之1 符合指数函数性质，故选③) (2)将表格数据代入y=m×m十s, 的图象有交点， 得m×n十s=12,m×m十s=48,m×n3十s=156, 所以+≥号 1 (10分) m=6 解得n=3, 解得长-1或22 (s=-6 故的取值范围为(-，-1]U[,十∞) 故函数为y=6×3一6， 则第4天时的舆论场指数为6×31-6=480. (13分) (10分) 12.解：当f(x)存在两个零点时，设这两个零点分别为 (3)若本次舆情不是严重的， 则6×3-6≤t×9恒成立， △=a2-4(a2-4)>0, 原式等于6×3x-6≤t×32x, (1)由题意知{x1十x2=a>0, 放两边同时除以3产，得到号名<， (14分) x1x2=a2-4>0, 11 解得2< 不纺设=子∈(0，号]， 故原式等于6k一6k≤t, 所以实数a的取值范园为(2，】 (5分) 整理得6k2-6k十t≥0， (2)由题意知f(2)=22-2a十a2-4<0, 由于6k-6k+t在∈(0，号]上单调递减， 解得0<a<2, 所以实数a的取值范围为(0,2). (10分) 故只需要当为=号时，6k一66十≥0成立即可， (3)由题意知X2)=2-2a十G-4<0. 1f(0)=0-0+a2-4≤0， 代人得号-2+≥0，解得≥号 解得0<a<2, 所以实数a的取值范围为(0,2). (15分) 故，的最小值为学 ·39·