函数的奇偶性、幂函数和指数-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的奇偶性与对称性 地 城 考点01 判断、证明函数的奇偶性 1. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数 (1)写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在上单调递增； (3)若定义域为，解不等式 【答案】(1)的定义域为R，为奇函数 (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）求出的定义域，判断并用定义法证明函数在R上为奇函数；（2）定义法证明函数单调性，取值，作差，判号，下结论；（3）利用第一问和第二问的结论解不等式. 【详解】（1）的分母恒成立，故的定义域为R，函数在R上为奇函数，理由如下：首先定义域关于原点对称，其次，所以在R上为奇函数，证毕. （2）任取，，且，则 ，因为，，且，所以，，所以，故，，所以在单调递增，证毕. （3），即 由（1）知，在R上为奇函数，故，所以，又定义域为，由（2）知，函数在上单调递增，故，解得：，故解集为. 地 城 考点02 利用函数的奇偶性求参数 1. 已知函数是奇函数，则实数a的值为 . 【详解】由题知，的定义域是， 又是奇函数，故对定义域中的每一个，均满足， 即， 即， 即. 故答案为： 2. 已知二次函数，. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 所以，所以. 由的任意性，所以. （2）当时，. 则，解得， 不等式的解集为. （3）函数对称轴，开口方向向上. 因为函数在区间上具有单调性，则，或，解得，或. 所以实数的取值范围为或. 地 城 考点03 利用函数的奇偶性求解析式 1. 已知为偶函数，若当时， ，则（1）x＜0时，的解析式是 .（2）的解析式是 . 【答案】 【分析】由偶函数的定义求时的解析式，两式结合即可得函数的解析式. 【详解】若，则， 则当时，， 又为偶函数，则， 即当时，， 因此可得. 故答案为：. 2. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】利用奇函数性质求函数解析式. 【详解】令，则，故， 又，即时. 故答案为： 地 城 考点04 偶函数增减相反 奇函数增减相同（f（0）=0） 利用函数的奇偶性解不等式 1. 若是偶函数，且都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数在上单调递增，在上单调递减，计算得到，解得答案. 【详解】都有，故函数在上单调递增， ，且函数为偶函数，故，且函数在上单调递减， ，故，， 则，解得. 故选：C 2. 定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性列不等式来求得不等式的解集. 【详解】由于是偶函数，图象关于轴对称， 所以的图象关于直线对称， 在上单调递减，所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 由得，即， 所以，所以不等式的解集为. 故选：C 3. 已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可． 【详解】任意，,，当时总有， 在,上是增函数， 又是定义域为的偶函数， 故在,上是减函数． 由可得． 所以，解得， 即不等式的解集为,， 4. 已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式： (2)判断并用定义法证明在上的单调性： (3)解关于的不等式 【详解】（1）依题意，，即， 则，因此，，又，解得，则， 所以函数的解析式是. （2）函数在上单调递增，证明如下： ，则 ， 由，得，，， 得，则， 所以函数在上单调递增. （3）由函数为奇函数及，得 又函数在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为. 幂函数 地 城 考点01 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 1. 下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 求幂函数的解析式或值 1. 若幂函数的图象经过点，则的解析式为 . 【答案】 2. 已知幂函数的图像经过点和点则 . 【详解】， ， . 故答案为：3 地 城 考点03 根据函数是幂函数求参数 1. 已知函数，则“为幂函数”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由函数为幂函数， 得，解得或， 所以“为幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. “”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【详解】当时，为幂函数，故充分性满足； 当为幂函数时，， 即，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知幂函数，则 . 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 地 城 考点04 幂函数的定义域 1.为正整数时,定义域为；为负整数时,定义域为。 2.为分数(最简),若为奇数,定义域为；为偶数,定义域为。 1. 求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)． (4) (1)定义域为 (2)定义域为 (3)定义域为 (4)，则定义域为. 2. 已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 3. 已知幂函数的定义域是，则 ． 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 地 城 考点05 幂函数的图像及应用 1. 如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 2. 如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 3. 【多选】以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【详解】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 4. 【多选】已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD 地 城 考点06 判断幂函数的单调性 关键是"根据指数的符号分区间判断"； 1.当时,幂函数在上单调递增；在的单调性需结合奇偶性； 2.当时,幂函数在上单调递减；同样需用奇偶性分析负区间； 3.对定义域分段的幂函数(如为偶分数),仅在对应区间判断单调性. 1. 关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 2. 已知幂函数在上是减函数，则 ． 【详解】由题，可得，解得， ，则. 3. 已知幂函数，且． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上是减函数，不满足，舍去； 当时，，满足， 所以； （2）由（1）知，定义域为， 因为，所以为偶函数， 由幂函数的性质可知在上单调递增， 又，则， 可得，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为． 指数 地 城 考点01 利用根式的性质化简或求值 1. 式子的值为　　 A． B． C． D．1 【解析】， 故选：． 2. 已知，则　　 A． B．1 C． D． 【解析】，原式． 故选：． 3. 当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【解析】因为有意义，可得，即， 又由 地 城 考点02 根式与分数指数幂的互化 1. 将化成分数指数幂的形式是　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 2. 下列根式与分数指数幂的互化错误的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，，选项正确； 对于，，选项错误； 对于，，选项正确； 对于，，选项正确． 故选：． 3. 　 　 ． 【解析】原式． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的奇偶性与对称性 地 城 考点01 判断、证明函数的奇偶性 1. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数 (1)写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在上单调递增； (3)若定义域为，解不等式 地 城 考点02 利用函数的奇偶性求参数 1. 已知函数是奇函数，则实数a的值为 . 2. 已知二次函数，. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围. 地 城 考点03 利用函数的奇偶性求解析式 1. 已知为偶函数，若当时， ，则（1）x＜0时，的解析式 是 .（2）的解析式是 . 2. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 地 城 考点04 偶函数增减相反 奇函数增减相同（f（0）=0） 利用函数的奇偶性解不等式 1. 若是偶函数，且都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2. 定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 3. 已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　） A． B． C． D． 4. 已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式： (2)判断并用定义法证明在上的单调性： (3)解关于的不等式 幂函数 地 城 考点01 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 1. 下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 求幂函数的解析式或值 1. 若幂函数的图象经过点，则的解析式为 . 2. 已知幂函数的图像经过点和点则 . 地 城 考点03 根据函数是幂函数求参数 1. 已知函数，则“为幂函数”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. “”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3. 已知幂函数，则 . 地 城 考点04 幂函数的定义域 1.为正整数时,定义域为；为负整数时,定义域为。 2.为分数(最简),若为奇数,定义域为；为偶数,定义域为。 1. 求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)． (4) 2. 已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3. 已知幂函数的定义域是，则 ． 地 城 考点05 幂函数的图像及应用 1. 如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 2. 如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A． ②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 3. 【多选】以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 4. 【多选】已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 地 城 考点06 判断幂函数的单调性 关键是"根据指数的符号分区间判断"； 1.当时,幂函数在上单调递增；在的单调性需结合奇偶性； 2.当时,幂函数在上单调递减；同样需用奇偶性分析负区间； 3.对定义域分段的幂函数(如为偶分数),仅在对应区间判断单调性. 1. 关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 2. 已知幂函数在上是减函数，则 ． 3. 已知幂函数，且． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 指数 地 城 考点01 利用根式的性质化简或求值 1. 式子的值为　　 A． B． C． D．1 2. 已知，则　　 A． B．1 C． D． 3. 当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 地 城 考点02 根式与分数指数幂的互化 1. 将化成分数指数幂的形式是　　 A． B． C． D． 2. 下列根式与分数指数幂的互化错误的是　　 A． B． C． D． 3. 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $